Функция Гимеля

В аксиоматической теории множеств функция Гимеля — это следующая функция, отображающая кардинальные числа в кардинальные числа:

\gimel \colon \kappa \mapsto \kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}

где cf обозначает функцию конфинальности ; функция Гимеля используется для изучения функции континуума и кардинальной функции возведения в степень. Символ $\gimel$ — это форма еврейской буквы гимель с засечками .

Значения функции гимел

Функция gimel обладает свойством $\gimel (\kappa )>\kappa$ для всех бесконечных кардиналов $\kappa$ по теореме Кенига .

Для обычных кардиналов $\kappa$ , $\gimel (\kappa )=2^{\kappa }$ , а теорема Истона говорит, что мы мало что знаем о значениях этой функции. Для единственного числа $\kappa$ , верхние границы для $\gimel (\kappa )$ можно найти из Шела теории PCF .

Гипотеза Гимеля

Гипотеза Гимеля утверждает, что $\gimel (\kappa )=\max(2^{{\text{cf}}(\kappa )},\kappa ^{+})$ . По сути, это означает, что $\gimel (\kappa )$ для единственного числа $\kappa$ - наименьшее значение, разрешенное аксиомами теории множеств Цермело – Френкеля (при условии непротиворечивости).

Согласно этой гипотезе кардинальное возведение в степень упрощается, хотя и не до такой степени, как гипотеза континуума (которая подразумевает гипотезу Гимеля).

Приведение функции возведения в степень к функции Гимеля

Буковский (1965) показал, что все кардинальное возведение в степень определяется (рекурсивно) функцией Гимеля следующим образом.

Если $\kappa$ является бесконечным регулярным кардиналом (в частности, любым бесконечным преемником), тогда $2^{\kappa }=\gimel (\kappa )$
Если $\kappa$ бесконечна и сингулярна, а функция континуума в конечном итоге постоянна ниже $\kappa$ затем $2^{\kappa }=2^{<\kappa }$
Если $\kappa$ является пределом, и функция континуума не является постоянной ниже $\kappa$ затем $2^{\kappa }=\gimel (2^{<\kappa })$

Остальные правила действуют всякий раз, когда $\kappa$ и $\lambda$ оба бесконечны:

Если $ℵ 0 \leq κ \leq λ$ , то $κ л = 2 л$
Если $ л \geq κ$ для некоторого $µ < κ,$ то $κ л = м л$
Если $κ > λ$ и $µ л < κ$ для всех $µ < κ$ и $cf(κ) \leq λ$ , то $κ л = Мистер ср(к)$
Если $κ > λ$ и $µ л < κ$ для всех $µ < κ$ и $cf(κ) > λ$ , то $κ л = Мистер$

См. также

Ссылки

Буковский, Л. (1965), "Проблема континуума и степени алефов", Комментарий. Математика. унив. Каролина , 6 : 181–197, hdl : 10338.dmlcz/105009 , MR 0183649
Джех, Томас Дж. (1973), «Свойства функции Гимеля и классификация сингулярных кардиналов» (PDF) , Fund. Математика. , Сборник статей, посвященных Анджею Мостовскому по случаю его шестидесятилетия, I., 81 (1): 57–64, doi : 10.4064/fm-81-1-57-64 , MR 0389593
Томас Джех , Теория множеств , изд. 3-го тысячелетия, 2003, Монографии Спрингера по математике, Springer, ISBN 3-540-44085-2 .