Перемещение кластера реплик

Движение кластеров реплик в физике конденсированного состояния относится к семейству нелокальных кластерных алгоритмов, используемых для моделирования спиновых стекол . Это расширение алгоритма Свендсена-Ванга , поскольку оно генерирует нетривиальные спиновые кластеры, информированные состояниями взаимодействия на двух (или более) репликах вместо одной. Он отличается от метода обмена репликами (или параллельного темперирования), поскольку он выполняет нелокальное обновление части сайтов между двумя репликами при одинаковой температуре, в то время как при параллельном темперировании происходит непосредственный обмен всеми спинами между двумя репликами при разных температурах. температура. Тем не менее, эти два метода часто используются вместе для достижения высочайшей эффективности моделирования моделей спинового стекла.

The Chayes-Machta-Redner representation

Представление Чейса -Мачты-Реднера (CMR) представляет собой графическое изображение спинового стекла Изинга. которое расширяет стандартное представление FK . Он основан на наблюдении, что общий гамильтониан двух независимых реплик Изинга α и β,

$H=-\sum _{<ij>}J_{ij}{\big (}\sigma _{i}^{\alpha }\sigma _{j}^{\alpha }+\sigma _{i}^{\beta }\sigma _{j}^{\beta }{\big )},$

может быть записан как гамильтониан модели часов с 4 состояниями . Чтобы увидеть это, мы определяем следующее отображение

$(\sigma ^{\alpha },\sigma ^{\beta })\to \theta :\quad {\big \{}(+1,+1),(+1,-1),(-1,-1),(-1,+1){\big \}}\mapsto {\big \{}0,{\frac {\pi }{2}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}}{\big \}},$

где $\theta$ - ориентация часов с 4 состояниями, тогда полный гамильтониан можно представить как

$H=-2J_{ij}\sum _{<ij>}\cos(\theta _{j}-\theta _{i}).$

В графическом представлении этой модели существует два типа облигаций, которые могут быть открытыми , называемые синими и красными . Для образования связей на решетке применяются следующие правила:

• Если $J_{ij}\cos(\theta _{j}-\theta _{i})=1$, или когда взаимодействия на ребре $(i,j)$ удовлетворены на обеих репликах, то с вероятностью открывается синяя связь $p_{\text{blue}}=1-e^{-4\beta |J_{ij}|}$.
• Если $J_{ij}\cos(\theta _{j}-\theta _{i})=0$, или когда взаимодействие на ребре $(i,j)$ выполняется ровно в одной реплике, то красная связь с вероятностью открыта $p_{\text{red}}=1-e^{-2\beta |J_{ij}|}$.
• В противном случае образуется закрытая связь.

Согласно этим правилам можно проверить, что цикл открытых облигаций может содержать только четное количество красных облигаций. Кластер, образованный синими связями, называется синим кластером , а суперкластер, образованный вместе как синими, так и красными связями, называется серым кластером .

После создания кластеров существует два типа нелокальных обновлений, которые могут быть внесены в состояния часов независимо в кластерах часов (и, следовательно, в состояниях вращения в обеих репликах). Во-первых, для каждого синего кластера мы можем перевернуть (или повернуть $180^{\circ }$) часы состояния с некоторой произвольной вероятностью. После этого для каждого серого кластера (синие кластеры, связанные красными связями) мы можем одновременно повернуть все состояния часов на случайный угол.

Можно показать, что оба обновления соответствуют правилам формирования облигаций и удовлетворяют подробному балансу . Следовательно, алгоритм, основанный на этом представлении CMR, будет корректным при использовании в сочетании с другими эргодическими алгоритмами. Однако алгоритм не обязательно эффективен, поскольку гигантский серый кластер будет стремиться охватить всю решетку при достаточно низких температурах (например, даже в парамагнитных фазах моделей спинового стекла ).

Переезд кластера Удайер

— Перемещение кластера Удайера это более простой кластерный алгоритм, основанный на процессе перколяции сайтов на сайтах с перекрытием отрицательных спинов. Его обнаружил Джером Удайер в 2001 году. Для двух независимых реплик Изинга мы можем определить перекрытие спинов как

$q_{i}=\sigma _{i}^{\alpha }\sigma _{j}^{\beta },$

и кластер формируется путем случайного выбора сайта и просачивания через соседние сайты с $q=-1$ (с коэффициентом перколяции 1) до тех пор, пока не сформируется максимальный кластер. Затем спины в кластере обмениваются между двумя репликами. Можно показать, что обновление обмена является изоэнергетическим , что означает, что полная энергия сохраняется при обновлении. Это дает коэффициент принятия 1, рассчитанный по правилу Метрополиса-Гастингса . Другими словами, обновление не имеет отклонений.

Подавление просачивания больших кластеров

Эффективность этого алгоритма очень чувствительна к порогу перколяции узлов базовой решетки. Если порог перколяции слишком мал, то гигантский кластер, скорее всего, охватит всю решетку, что приведет к тривиальному обновлению, заключающемуся в обмене почти всеми спинами между репликами. Вот почему оригинальный алгоритм хорошо работает только в условиях низкой размерности. (где коэффициент перколяции сайта достаточно высок). Чтобы эффективно расширить этот алгоритм на более высокие измерения, необходимо выполнить определенные алгоритмические вмешательства.

Например, можно ограничить перемещение кластера низкотемпературными репликами, где ожидается появление лишь небольшого количества сайтов с отрицательным перекрытием. (так что алгоритм не работает сверхкритически). Кроме того, можно выполнить глобальное спин-флип в одной из двух реплик, когда количество сайтов с отрицательным перекрытием превышает половину размера решетки, чтобы еще больше подавить процесс перколяции.

Йорг Перемещение кластера это еще один способ уменьшить размеры кластеров Удайера. В каждом кластере Удайера алгоритм образует открытые связи с вероятностью $1-e^{-4\beta |J_{ij}|}$, аналогичный алгоритму Свендена-Ванга . Это сформирует подкластеры, которые меньше, чем кластеры Удайера, и вращения в этих подкластерах затем могут обмениваться между репликами аналогично перемещению кластера Удайера.