Теорема Бапата – Бега

В теории вероятностей теорема Бапата -Бега дает совместное распределение вероятностей порядковой статистики независимых , но не обязательно одинаково распределенных случайных величин в терминах кумулятивных функций распределения случайных величин. Равиндра Бапат и М.И. Бег опубликовали теорему в 1989 году. хотя они не предоставили доказательств. Простое доказательство было предложено Ханде в 1994 году.

Часто все элементы выборки берутся из одной и той же генеральной совокупности и, следовательно, имеют одинаковое распределение вероятностей . Теорема Бапата-Бега описывает порядковую статистику, когда каждый элемент выборки получен из другой статистической совокупности и, следовательно, имеет свое собственное распределение вероятностей .

Заявление

Позволять $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ быть независимыми действительными случайными величинами с кумулятивными функциями распределения соответственно $F_{1}(x),F_{2}(x),\ldots ,F_{n}(x)$. Писать $X_{(1)},X_{(2)},\ldots ,X_{(n)}$ для статистики заказов. Тогда совместное распределение вероятностей $n_{1},n_{2}\ldots ,n_{k}$ статистика заказов (с $n_{1}<n_{2}<\cdots <n_{k}$ и $x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k}$) является

${\begin{aligned}F_{X_{(n_{1})},\ldots ,X_{(n_{k})}}(x_{1},\ldots ,x_{k})&=\Pr(X_{(n_{1})}\leq x_{1}\land X_{(n_{2})}\leq x_{2}\land \cdots \land X_{(n_{k})}\leq x_{k})\\&=\sum _{i_{k}=n_{k}}^{n}\cdots \sum _{i_{2}=n_{2}}^{i_{3}}\sum _{i_{1}=n_{1}}^{i_{2}}{\frac {P_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{k})}{i_{1}!(i_{2}-i_{1})!\cdots (n-i_{k})!}},\end{aligned}}$

где

${\begin{aligned}P_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{k})=\operatorname {per} {\begin{bmatrix}F_{1}(x_{1})\cdots F_{1}(x_{1})&F_{1}(x_{2})-F_{1}(x_{1})\cdots F_{1}(x_{2})-F_{1}(x_{1})&\cdots &1-F_{1}(x_{k})\cdots 1-F_{1}(x_{k})\\F_{2}(x_{1})\cdots F_{2}(x_{1})&F_{2}(x_{2})-F_{2}(x_{1})\cdots F_{2}(x_{2})-F_{2}(x_{1})&\cdots &1-F_{2}(x_{k})\cdots 1-F_{1}(x_{k})\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\underbrace {F_{n}(x_{1})\cdots F_{n}(x_{1})} _{i_{1}}&\underbrace {F_{n}(x_{2})-F_{n}(x_{1})\cdots F_{n}(x_{2})-F_{n}(x_{1})} _{i_{2}-i_{1}}&\cdots &\underbrace {1-F_{n}(x_{k})\cdots 1-F_{n}(x_{k})} _{n-i_{k}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

является перманентом данной блочной матрицы . (Цифры под фигурными скобками показывают количество столбцов.)

Независимый одинаково распределенный случай

В случае, когда переменные $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ независимы и одинаково распределены с кумулятивной функцией распределения вероятностей $F_{i}=F$ для всех i теорема сводится к

${\begin{aligned}F_{X_{(n_{1})},\ldots ,X_{(n_{k})}}(x_{1},\ldots ,x_{k})=\sum _{i_{k}=n_{k}}^{n}\cdots \sum _{i_{2}=n_{2}}^{i_{3}}\sum _{i_{1}=n_{1}}^{i_{2}}n!{\frac {F(x_{1})^{i_{1}}}{i_{1}!}}{\frac {(1-F(x_{k}))^{n-i_{k}}}{(n-i_{k})!}}\prod \limits _{j=2}^{k}{\frac {\left[F(x_{j})-F(x_{j-1})\right]^{i_{j}-i_{j-1}}}{(i_{j}-i_{j-1})!}}.\end{aligned}}$

Примечания

• Никаких предположений о непрерывности кумулятивных функций распределения не требуется.
• Если неравенства x ₁ < x ₂ < ... < x _k не налагаются, некоторые из неравенств «могут оказаться избыточными и вероятность можно будет оценить после проведения необходимого сокращения».

Сложность

Глюк и др. Обратите внимание, что формула Бапата-Бега вычислительно сложна, поскольку она включает в себя экспоненциальное количество постоянных величин, равное количеству случайных величин. Однако, когда случайные величины имеют только два возможных распределения, сложность можно уменьшить до $O(m^{2k})$. Таким образом, в случае двух популяций сложность полиномиальна по $m$ для любого фиксированного количества статистики $k$.