Хейтинг Филд

Поле Гейтинга — один из неэквивалентных способов в конструктивной математике передать классическое понятие поля . По сути, это поле с отношением обособленности .

Определение

Коммутативное кольцо является гейтинговым полем, если оно является полем в том смысле, что

• $\neg (0=1)$
• Каждый необратимый элемент равен нулю.

и если оно, кроме того, локально : Мало того, что необратимое $0$ не равен обратимому $1$, но в более общем смысле допускаются следующие дизъюнкции

• Или $a$ или $1-a$ обратима каждого для $a$

Третью аксиому можно также сформулировать как утверждение, что алгебраическое « $+$" передает обратимость одному из своих входов: Если $a+b$ обратима, то либо $a$ или $b$ тоже есть.

Отношение к классической логике

Структуру, определенную без третьей аксиомы, можно назвать слабым полем Гейтинга. Каждая такая структура с разрешимым равенством, являющаяся полем Гейтинга, эквивалентна исключенному посреднику. Действительно, классически все поля уже локальны.

Обсуждение

Отношение обособленности определяется записью $a\#b$ если $a-b$ является обратимым. Это соотношение теперь часто записывается как $a\neq b$ с предупреждением, что это не эквивалентно $\neg (a=b)$.

Предположение $\neg (a=0)$ тогда, как правило, недостаточно для построения обратного $a$. Однако, $a\#0$ достаточно.

Пример

Прототипическое поле Хейтинга — это действительные числа .

См. также

• Конструктивный анализ
• Псевдо-порядок
• Принцип Маркова

Ссылки

• Майнс, Ричман, Рюйтенберг. Курс конструктивной алгебры . Спрингер, 1987.