Число Генокки

В математике числа Генокки Gn _{последовательность} , названные в честь Анджело Дженокки , представляют собой целых чисел , удовлетворяющих соотношению

{\frac {2t}{1+e^{t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }G_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}

Первые несколько чисел Генокки — 0, 1, −1, 0, 1, 0, −3, 0, 17 (последовательность A226158 в OEIS ), см. OEIS : A001469 .

Характеристики

Определение производящей функции чисел Генокки подразумевает, что они являются рациональными числами . В самом деле, G _2n+1 = 0 при n ≥ 1 и (−1) ^нG _2n — нечетное положительное целое число.
Числа Генокки G _n связаны с числами Бернулли B _n формулой

G_{n}=2\,(1-2^{n})\,B_{n}.

Комбинаторные интерпретации

Экспоненциальная производящая функция для четных чисел Генокки со знаком (−1) ^нG _2n

t\tan \left({\frac {t}{2}}\right)=\sum _{n\geq 1}(-1)^{n}G_{2n}{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}

Они перечисляют следующие объекты:

Перестановки в S _{2 n −1} со спуском после четных чисел и подъемом после нечетных чисел.
Перестановки π в S _{2 n −2} с 1 ≤ π (2 i −1) ≤ 2 n −2 i и 2 n −2 i ≤ π (2 i ) ≤ 2 n −2.
Пары ( a ₁ ,..., a _{n −1} ) и ( b ₁ ,..., b _{n −1} ) такие, что a _i и b _i находятся между 1 и i и каждое k между 1 и n −1 встречается хотя бы один раз среди а _я и б _я .
Обратные чередующиеся перестановки a ₁ < a ₂ > a ₃ < a ₄ >...> a _{2 n −1} из [2 n −1], таблица инверсий которых содержит только четные записи.

Простые числа

Единственные известные простые числа, встречающиеся в последовательности Генокки, — это 17 при n = 8 и -3 при n = 6 (в зависимости от того, как определяются простые числа). Доказано, что в последовательности не встречаются другие простые числа.

См. также

число Эйлера

Ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Число Генокки» . Математический мир .
Ричард П. Стэнли (1999). Перечислительная комбинаторика , Том 2 , Упражнение 5.8. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-56069-1
Жерар Вьенно, Комбинаторные интерпретации чисел Эйлера и Дженокки , Семинар по теории чисел в Бордо, том 11 (1981–1982)
Серкан Арачи, Мехмет Аджикгоз, Эрдоган Шен, Некоторые новые тождества чисел Генокки и полиномов