Обобщенная функция стоимости Одзаки

В экономике обобщенная функция затрат Одзаки (ГО) представляет собой общее описание себестоимости продукции , предложенное Шиничиро Накамурой. Функция стоимости GO примечательна тем, что явно учитывает негомотетическую технологию, в которой пропорции затрат могут меняться по мере изменения объема выпуска. Это контрастирует со стандартной производственной моделью, которая предполагает гомотетическую технологию.

Функция GO

Для заданного результата $y$, во время $t$ и вектор $m$ входные цены $p_{i}$, функция стоимости обобщенного Одзаки (GO) $C()$ выражается как

$C(p,y,t)=\sum _{i}b_{ii}\left(y^{b_{yi}}e^{b_{ti}t}p_{i}+\sum _{j\,:\,j\neq i}b_{ij}{\sqrt {p_{i}p_{j}}}y^{b_{y}}e^{b_{t}t}\right)$ ( 1 )

Здесь, $b_{ij}=b_{ji}$ и $\sum _{i}b_{ij}=1$, $i,j=1,..,m$. Применяя лемму Шепарда , мы получаем функцию спроса на вводимые ресурсы. $i$, $x_{i}$ :

$x_{i}={\partial c \over \partial p_{i}}=b_{ii}y^{b_{yi}}\exp ^{b_{it}t}+\textstyle \sum _{i\neq j}^{m}b_{ij}{\sqrt {p_{i}/p_{j}}}y^{b_{y}}\exp ^{b_{t}t}$

( 2 )

Функция затрат GO является гибкой в ​​ценовом пространстве и рассматривает эффекты масштаба и технические изменения в весьма общем виде. Условие вогнутости, которое гарантирует, что постоянная функция соответствует минимизации затрат для определенного набора $p$, требует, чтобы его гессиан (матрица вторых частных производных по $p_{i}$ и $p_{j}$) отрицательно полуопределенный.

Можно выделить несколько примечательных особых случаев:

• Гомотичность ( HT) : $b_{yi}=b_{y}$ для всех $i$. Все входные уровни ( $x_{i}$) масштабируется пропорционально общему выходному уровню ( $y$).
• Однородность (первой степени) выпуска ( HG ): $b_{y}=0$ в дополнение к ХТ .
• Фактор ограничения ( FL ): $b_{yi}=0$ для всех $i$. Ни один из входных уровней ( $x_{i}$) зависит от $p$.
• Изменение нейтральной техники ( NT ): $b_{ti}=b_{t}$ для всех $i$.

Когда ( HT ) выполняется, функция GO сводится к обобщенной функции Леонтьева Диверта: Известная гибкая функциональная форма для затратных и производственных функций. Когда ( FL ) движется, это сводится к нелинейной версии модели Леонтьева, которая объясняет поперечное изменение $x_{i}$ когда изменения в ценах на факторы производства были незначительными:

$x_{i}=b_{ii}y^{b_{yi}}$

( 3 )

Фон

Функции затрат и производства

В экономике технология производства обычно представляется производственной функцией. $f$, что в случае одного выхода $y$ и $m$ входы, записывается как $y=f(x)$. При рассмотрении минимизации затрат для данного набора цен $p$ и $y$, соответствующая функция стоимости $C(p,y)$ может быть выражено как:

$C(p,y)=\min _{x}(p^{\top }x|f(x)\geq y)$

( 4 )

Теоремы двойственности затрат и производственных функций утверждают, что как только установлена ​​правильная функция затрат, можно вывести соответствующую производственную функцию, и наоборот. Для заданной функции стоимости $C(p,y)$, соответствующая производственная функция $f$ можно получить как (более строгий вывод предполагает использование функции расстояния вместо производственной функции ) :

$f(x)=\max(y|C(p,y)\leq p^{\top }x,{\text{ for all possible }}p)$

( 5 )

По сути, в общих условиях конкретная технология может быть одинаково эффективно представлена ​​как стоимостной, так и производственной функцией. Одним из преимуществ использования функции затрат, а не производственной функции, является то, что функции спроса на ресурсы можно легко вывести из первой с помощью леммы Шепарда , тогда как этот процесс может стать громоздким из-за производственной функции.

Гомотетическая и негомотетичная технология

Обычно используемые формы производственных функций, такие как функции Кобба-Дугласа и функции постоянной эластичности замещения (CES), демонстрируют гомоттичность. Это свойство означает, что производственная функция $f$ можно представить как положительное монотонное преобразование линейно-однородной функции $h$:

$y=f(x)=\phi (h(x))$

где $h(\lambda x)=\lambda h(x)$ для любого $\lambda >0$. Функция Кобба-Дугласа представляет собой частный случай функции CES , для которой эластичность замещения между входами $\sigma$, является одним.

Для гомотетической технологии функцию стоимости можно представить как

$C(p,y)=c(p)d(y)$

где $d$ является монотонно возрастающей функцией, а $c$ называется функцией единичных затрат. Из леммы Шепарда получаем следующее выражение для отношения входов $i$ и $j$:

${\frac {x_{i}}{x_{j}}}={\frac {\partial c(p)/\partial p_{i}}{\partial c(p)/\partial p_{j}}}$,

это означает, что для гомотетической технологии соотношение затрат зависит исключительно от цен, а не от масштаба выпуска. Однако эмпирические исследования срезов предприятий показывают, что модель FL ( 3 ) эффективно объясняет данные, особенно для тяжелых отраслей промышленности, таких как сталелитейные заводы, бумажные фабрики, базовые химические отрасли и электростанции, указывая на то, что гомотетичность не может быть применимый.

Более того, в сфере торговли гомотетические и монолитные функциональные модели не позволяют точно предсказать результаты. Одним из примеров является уравнение гравитации для торговли или то, сколько две страны будут торговать друг с другом в зависимости от ВВП и расстояния. Это побудило исследователей изучить негомотетичные модели производства, чтобы они соответствовали перекрестному анализу поведения производителей, например, когда производители начнут минимизировать затраты путем переключения ресурсов или инвестирования в увеличение производства.

Гибкие функциональные формы

CES Функции (обратите внимание, что Кобб-Дуглас представляет собой особый случай CES) обычно включают только два входа, такие как капитал и рабочая сила. Хотя их можно расширить, включив в них более двух вводимых ресурсов, предположение об одинаковой степени взаимозаменяемости для всех вводимых ресурсов может показаться чрезмерно ограничительным (дополнительную информацию по этой теме см. в CES , включая возможность учета различной эластичности замещения среди вводимых ресурсов, хотя это возможности несколько ограничены). Чтобы устранить это ограничение, были разработаны гибкие функциональные формы. Эти общие функциональные формы называются гибкими функциональными формами (ГФФ), поскольку они не накладывают априорных ограничений на степень взаимозаменяемости входных данных. Эти FFF могут обеспечить аппроксимацию второго порядка для любой дважды дифференцируемой функции, которая удовлетворяет необходимым нормативным условиям, включая базовые технологические условия и условия, соответствующие минимизации затрат. Широко используемыми примерами FFF являются трансцендентно-логарифмическая (транслогарифмическая) функция и обобщенная функция Леонтьева (GL). Функция транслогарифма расширяет функцию Кобба-Дугласа до второго порядка, а функция GL выполняет аналогичное расширение производственной функции Леонтьева.

Ограничения

Недостатком функции GL является ее неспособность быть вогнутой в глобальном масштабе без ущерба для гибкости в ценовом пространстве. Это ограничение также применимо к функции GO, поскольку она является негомотетичным расширением GL. В последующем исследовании Накамура попытался решить эту проблему, используя обобщенную функцию Макфаддена. За дальнейшими достижениями в этой области обращайтесь к Райану и Уэльсу.

Более того, и функция GO, и лежащая в ее основе функция GL предполагают немедленную корректировку входных данных в ответ на изменения в $p$ и $y$. Это чрезмерно упрощает реальность, когда технологические изменения влекут за собой значительные инвестиции в заводы и оборудование, что требует времени, часто происходящего в течение многих лет, а не мгновенно.Одним из способов решения этой проблемы будет использование функции переменных затрат, которая явно учитывает различия в скорости корректировки ресурсов.

См. также

Производственная функция

Перечень производственных функций

Постоянная эластичность замещения

Лемма Шепарда

Возврат к масштабу