Перечень производственных функций

Это список производственных функций , которые использовались в экономической литературе. Производственные функции являются ключевой частью моделирования национального производства и национального дохода . Гораздо более подробное обсуждение различных типов производственных функций и их свойств, их взаимосвязей и происхождения см. в Chambers (1988). и Сиклс и Зеленюк (2019, глава 6).

Перечисленные ниже производственные функции и их свойства показаны для случая двух факторов производства: капитала (K) и труда (L), главным образом в эвристических целях. Эти функции и их свойства легко обобщить, включив в них дополнительные факторы производства (такие как земля, природные ресурсы, предпринимательство и т. д.).

Технология

Существует три распространенных способа включения технологии (или эффективности использования факторов производства) в производственную функцию (здесь A — коэффициент масштаба , F — производственная функция, а Y — объем произведенной физической продукции):

• Нейтральная по Хиксу технология , или «фактор увеличения»: $\ Y=AF(K,L)$
• Харрод-нейтральная технология, или «увеличение рабочей силы»: $\ Y=F(K,AL)$
• Солоу-нейтральная технология, или «приумножение капитала»: $\ Y=F(AK,L)$

Эластичность замещения

Эластичность замещения факторов производства является мерой того, насколько легко один фактор может быть заменен другим. При наличии двух факторов производства, скажем, K и L , это мера кривизны изокванты производства . Математическое определение:

$\ \epsilon =\left[{\frac {\partial (slope)}{\partial (L/K)}}{\frac {L/K}{slope}}\right]^{-1}$

где «наклон» обозначает наклон изокванты, определяемый формулой

$\ slope=-{\frac {\partial F(K,L)/\partial K}{\partial F(K,L)/\partial L}}.$

Возврат к масштабу

Отдача от масштаба может быть

• Увеличение отдачи от масштаба: удвоение всех видов использования ресурсов более чем вдвое увеличивает выпуск продукции.
• Уменьшение отдачи от масштаба: удвоение всех видов использования ресурсов менее чем в два раза увеличивает выпуск.
• Постоянная отдача от масштаба: удвоение всех видов использования ресурсов точно удваивает выпуск продукции.

Некоторые широко используемые формы

• Функция постоянной эластичности замещения (CES):

$Y=A[\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }]^{\frac {1}{\gamma }}$, с $\gamma \in [-\infty ,1]$

который включает в себя особые случаи:

• Линейное производство (или идеальные заменители)

$\ Y=A[\alpha K+(1-\alpha )L]$ когда $\ \gamma =1$

• Производственная функция Кобба – Дугласа (или несовершенные дополнения)

$\ Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }$ когда $\gamma \to 0$

• Производственная функция Леонтьева (или совершенные дополнения)

$\ Y={\text{Min}}[K,L]$ когда $\gamma \to -\infty$

• Translog , линейная аппроксимация CES с помощью полинома Тейлора относительно $\gamma =0$

$\ln(Y)=\ln(A)+a_{L}\ln(L)+a_{K}\ln(K)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{LK}\ln(L)\ln(K)+b_{KK}\ln ^{2}(K)$

• Стоун-Гири , вариант производственной функции Кобба-Дугласа, который учитывает существование требования к пороговому фактору (представленному как $z$) каждого выхода

$Y=A\prod _{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i})^{\alpha _{i}}$

Некоторые экзотические производственные функции

• Переменная эластичность производственной функции замещения (VES)

$Y=AK^{av}[L+baK]^{(1-a)v}$

• Трансцендентная производственная функция

$Y=Ae^{a_{1}K+a_{2}L}K^{1-b}L^{b}$

• Доля с постоянной предельной стоимостью (CMS)

$Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }-mL$

• Производственная функция Спиллмана (эта функция упоминается в исследованиях по экономике сельского хозяйства)

$y=m-A\prod _{i=1}^{n}a_{i}^{x_{i}}$

• Производственная функция фон Либиха

$Y=\min\{Y^{*},\beta _{1}+\beta _{2}L,\beta _{2}+\beta _{4}K\}$

где $Y^{*}$ — максимальная доходность (с учетом ограничений мощности).

• Обобщенная функция Одзаки (GO) стоимости (из-за двойственности функций затрат и производства конкретная технология может быть одинаково хорошо представлена ​​либо функцией затрат, либо функцией производства). ).

$C(p,y)=\sum _{i}b_{ii}\left(y^{b_{yi}}p_{i}+\sum _{j\,:\,j\neq i}b_{ij}{\sqrt {p_{i}p_{j}}}y^{b_{y}}\right)$.

где $c$ обозначает себестоимость единицы продукции, себестоимость единицы продукции, $b_{ij}=b_{ji}$, и $\sum _{i}b_{ij}=1$. Эта функция стоимости сводится к известной обобщенной функции Леонтьева Диверта. когда $b_{yi}=0$ для всех входов.

Применяя лемму Шепарда , мы получаем функцию спроса на вводимые ресурсы. $i$, $x_{i}$:

$x_{i}={\partial C \over \partial p_{i}}=b_{ii}y^{b_{yi}}+\textstyle \sum _{i\neq j}^{m}b_{ij}{\sqrt {p_{i}/p_{j}}}y^{b_{y}}$

Здесь, $a_{i}$ обозначает количество ввода $i$ на единицу продукции.