Модель Латтинджера – Кона

Модель Латтинджера-Кона представляет собой разновидность k·p, теории возмущений используемую для расчета структуры множества вырожденных электронных зон в объемных полупроводниках и с квантовыми ямами полупроводниках . Метод является обобщением однозонной k · p- теории.

В этой модели влияние всех остальных полос учитывается с помощью . метода возмущений Лёвдина

Предыстория

Все полосы можно разделить на два класса:

• Класс А : шесть валентных зон (тяжелая дырка, легкая дырка, отщепленная зона и их спиновые аналоги) и две зоны проводимости.
• Класс B : все остальные диапазоны.

Метод концентрируется на полосах класса A и пертурбативно учитывает класса B. полосы

Мы можем записать возмущенное решение, $\phi _{}^{}$, как линейная комбинация невозмущенных собственных состояний $\phi _{i}^{(0)}$:

$\phi =\sum _{n}^{A,B}a_{n}\phi _{n}^{(0)}$

Предполагая, что невозмущенные собственные состояния ортонормированы, собственные уравнения имеют вид:

$(E-H_{mm})a_{m}=\sum _{n\neq m}^{A}H_{mn}a_{n}+\sum _{\alpha \neq m}^{B}H_{m\alpha }a_{\alpha }$,

где

$H_{mn}=\int \phi _{m}^{(0)\dagger }H\phi _{n}^{(0)}d^{3}\mathbf {r} =E_{n}^{(0)}\delta _{mn}+H_{mn}^{'}$.

Из этого выражения мы можем написать:

$a_{m}=\sum _{n\neq m}^{A}{\frac {H_{mn}}{E-H_{mm}}}a_{n}+\sum _{\alpha \neq m}^{B}{\frac {H_{m\alpha }}{E-H_{mm}}}a_{\alpha }$,

где первая сумма в правой части относится только к состояниям класса A, а вторая сумма относится к состояниям класса B. Поскольку нас интересуют коэффициенты $a_{m}$ для m в классе A мы можем исключить те из класса B с помощью итерационной процедуры, чтобы получить:

$a_{m}=\sum _{n}^{A}{\frac {U_{mn}^{A}-\delta _{mn}H_{mn}}{E-H_{mm}}}a_{n}$,

$U_{mn}^{A}=H_{mn}+\sum _{\alpha \neq m}^{B}{\frac {H_{m\alpha }H_{\alpha n}}{E-H_{\alpha \alpha }}}+\sum _{\alpha ,\beta \neq m,n;\alpha \neq \beta }{\frac {H_{m\alpha }H_{\alpha \beta }H_{\beta n}}{(E-H_{\alpha \alpha })(E-H_{\beta \beta })}}+\ldots$

Эквивалентно, для $a_{n}$ ( $n\in A$):

$a_{n}=\sum _{n}^{A}(U_{mn}^{A}-E\delta _{mn})a_{n}=0,m\in A$

и

$a_{\gamma }=\sum _{n}^{A}{\frac {U_{\gamma n}^{A}-H_{\gamma n}\delta _{\gamma n}}{E-H_{\gamma \gamma }}}a_{n}=0,\gamma \in B$.

Когда коэффициенты $a_{n}$ принадлежность к классу А определяется, как и $a_{\gamma }$.

Шредингера и

Гамильтониан , включающий спин-орбитальное взаимодействие, можно записать как:

$H=H_{0}+{\frac {\hbar }{4m_{0}^{2}c^{2}}}{\bar {\sigma }}\cdot \nabla V\times \mathbf {p}$,

где ${\bar {\sigma }}$– вектор матрицы спина Паули . Подставив в уравнение Шрёдингера в приближении Блоха, получим

$Hu_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left(H_{0}+{\frac {\hbar }{m_{0}}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {\Pi } +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{4m_{0}^{2}c^{2}}}\nabla V\times \mathbf {p} \cdot {\bar {\sigma }}\right)u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=E_{n}(\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$,

где

$\mathbf {\Pi } =\mathbf {p} +{\frac {\hbar }{4m_{0}^{2}c^{2}}}{\bar {\sigma }}\times \nabla V$

а гамильтониан возмущения можно определить как

$H'={\frac {\hbar }{m_{0}}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {\Pi } .$

Невозмущенный гамильтониан относится к спин-орбитальной системе на краю зоны (при k =0). На краю зоны блоховские волны зоны проводимости обладают s-образной симметрией, а состояния валентной зоны — p-подобными (3-кратное вырождение без спина). Обозначим эти состояния как $|S\rangle$, и $|X\rangle$, $|Y\rangle$ и $|Z\rangle$соответственно. Эти функции Блоха можно представить как периодическое повторение атомных орбиталей, повторяющееся с интервалами, соответствующими шагу решетки. Функцию Блоха можно расширить следующим образом:

$u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{j'}^{A}a_{j'}(\mathbf {k} )u_{j'0}(\mathbf {r} )+\sum _{\gamma }^{B}a_{\gamma }(\mathbf {k} )u_{\gamma 0}(\mathbf {r} )$,

где j' находится в классе A и $\gamma$ находится в классе B. Базисные функции могут быть выбраны так:

$u_{10}(\mathbf {r} )=u_{el}(\mathbf {r} )=\left|S{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right\rangle =\left|S\uparrow \right\rangle$

$u_{20}(\mathbf {r} )=u_{SO}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|(X+iY)\downarrow \rangle +{\frac {1}{\sqrt {3}}}|Z\uparrow \rangle$

$u_{30}(\mathbf {r} )=u_{lh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {6}}}|(X+iY)\downarrow \rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|Z\uparrow \rangle$

$u_{40}(\mathbf {r} )=u_{hh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}|(X+iY)\uparrow \rangle$

$u_{50}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{el}(\mathbf {r} )=\left|S{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right\rangle =-|S\downarrow \rangle$

$u_{60}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{SO}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|(X-iY)\uparrow \rangle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}|Z\downarrow \rangle$

$u_{70}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{lh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {6}}}|(X-iY)\uparrow \rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|Z\downarrow \rangle$

$u_{80}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{hh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},-{\frac {3}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}|(X-iY)\downarrow \rangle$.

Используя метод Лёвдина, необходимо решить только следующую проблему собственных значений:

$\sum _{j'}^{A}(U_{jj'}^{A}-E\delta _{jj'})a_{j'}(\mathbf {k} )=0,$

где

$U_{jj'}^{A}=H_{jj'}+\sum _{\gamma \neq j,j'}^{B}{\frac {H_{j\gamma }H_{\gamma j'}}{E_{0}-E_{\gamma }}}=H_{jj'}+\sum _{\gamma \neq j,j'}^{B}{\frac {H_{j\gamma }^{'}H_{\gamma j'}^{'}}{E_{0}-E_{\gamma }}}$,

$H_{j\gamma }^{'}=\left\langle u_{j0}\right|{\frac {\hbar }{m_{0}}}\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {p} +{\frac {\hbar }{4m_{0}c^{2}}}{\bar {\sigma }}\times \nabla V\right)\left|u_{\gamma 0}\right\rangle \approx \sum _{\alpha }{\frac {\hbar k_{\alpha }}{m_{0}}}p_{j\gamma }^{\alpha }.$

Второй срок $\Pi$можно пренебречь по сравнению с аналогичным членом с p вместо k . Аналогично однозонному случаю мы можем написать для $U_{jj'}^{A}$

$D_{jj'}\equiv U_{jj'}^{A}=E_{j}(0)\delta _{jj'}+\sum _{\alpha \beta }D_{jj'}^{\alpha \beta }k_{\alpha }k_{\beta },$

$D_{jj'}^{\alpha \beta }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left[\delta _{jj'}\delta _{\alpha \beta }+\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{j\gamma }^{\alpha }p_{\gamma j'}^{\beta }+p_{j\gamma }^{\beta }p_{\gamma j'}^{\alpha }}{m_{0}(E_{0}-E_{\gamma })}}\right].$

Теперь мы определяем следующие параметры

$A_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma }^{x}p_{\gamma x}^{x}}{E_{0}-E_{\gamma }}},$

$B_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma }^{y}p_{\gamma x}^{y}}{E_{0}-E_{\gamma }}},$

$C_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma }^{x}p_{\gamma y}^{y}+p_{x\gamma }^{y}p_{\gamma y}^{x}}{E_{0}-E_{\gamma }}},$

а параметры зонной структуры (или параметры Латтинджера ) можно определить как

$\gamma _{1}=-{\frac {1}{3}}{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}(A_{0}+2B_{0}),$

$\gamma _{2}=-{\frac {1}{6}}{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}(A_{0}-B_{0}),$

$\gamma _{3}=-{\frac {1}{6}}{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}C_{0},$

Эти параметры очень тесно связаны с эффективными массами дырок в различных валентных зонах. $\gamma _{1}$ и $\gamma _{2}$ описать связь между $|X\rangle$, $|Y\rangle$ и $|Z\rangle$штатов в другие штаты. Третий параметр $\gamma _{3}$ связано с анизотропией зонной энергетической структуры вокруг $\Gamma$ точка, когда $\gamma _{2}\neq \gamma _{3}$.

Явная

Гамильтониан Латтинджера-Кона $\mathbf {D_{jj'}}$ можно явно записать в виде матрицы 8X8 (с учетом 8 зон - 2 проводимости, 2 тяжелых дырок, 2 легких дырок и 2 отщепления)

$\mathbf {H} =\left({\begin{array}{cccccccc}E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\P_{z}^{\dagger }&P+\Delta &{\sqrt {2}}Q^{\dagger }&-S^{\dagger }/{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}P_{+}^{\dagger }&0&-{\sqrt {3/2}}S&-{\sqrt {2}}R\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\\end{array}}\right)$

Ссылки

2. Латтинджер, Дж. М. Кон, В., "Движение электронов и дырок в возмущенных периодических полях", Phys. Откр. 97,4. стр. 869–883, (1955). https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.97.869