Теорема Блоха

Эта статья о теореме квантовой механики. Чтобы узнать о теореме, используемой в комплексном анализе, см. теорему Блоха (комплексные переменные) .

Изоповерхность квадратного модуля блоховского состояния в решетке кремния

Сплошная линия: схематическое изображение реальной части типичного состояния Блоха в одном измерении. Пунктирная линия — от фактора e ^{я к · р} . Светлые круги представляют атомы.

В конденсированного состояния физике теорема Блоха утверждает, что решения уравнения Шредингера в периодическом потенциале могут быть выражены как плоские волны, модулированные периодическими функциями . Теорема названа в честь швейцарского физика Феликса Блоха , открывшего теорему в 1929 году. Математически они записываются

функция Блоха

$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )$

где $\mathbf {r}$ это позиция, $\psi$ волновая функция , $u$ — периодическая функция с той же периодичностью, что и кристалл, волновой вектор $\mathbf {k}$ — вектор импульса кристалла , $e$ — число Эйлера , а $i$ это мнимая единица .

Функции этого вида известны как функции Блоха или состояния Блоха и служат подходящей основой для волновых функций или состояний электронов в кристаллических твердых телах .

Описание электронов с помощью функций Блоха, называемых блоховскими электронами (или реже волнами Блоха ), лежит в основе концепции зонных электронных структур .

Эти собственные состояния записываются с индексами как $\psi _{n\mathbf {k} }$, где $n$ — это дискретный индекс, называемый индексом полосы , который присутствует, поскольку существует множество различных волновых функций с одинаковыми $\mathbf {k}$ (каждый имеет разную периодическую составляющую $u$). Внутри диапазона (т.е. для фиксированного $n$), $\psi _{n\mathbf {k} }$ непрерывно меняется с $\mathbf {k}$, как и его энергия. Также, $\psi _{n\mathbf {k} }$ уникален только с точностью до постоянного обратной решетки вектора $\mathbf {K}$, или, $\psi _{n\mathbf {k} }=\psi _{n(\mathbf {k+K} )}$. Следовательно, волновой вектор $\mathbf {k}$ можно ограничиться первой зоной Бриллюэна обратной решетки без ограничения общности .

Приложения и последствия

Применимость

Наиболее распространенным примером теоремы Блоха является описание электронов в кристалле, особенно при характеристике электронных свойств кристалла, таких как электронная зонная структура. Однако описание волн Блоха в более общем смысле применимо к любому волновому явлению в периодической среде. Например, периодическая диэлектрическая структура в электромагнетизме приводит к фотонным кристаллам , а периодическая акустическая среда — к фононным кристаллам . Обычно его рассматривают в различных формах динамической теории дифракции .

Волновой вектор

Волновую функцию Блоха (внизу) можно разбить на произведение периодической функции (вверху) и плоской волны (в центре). Левая и правая стороны представляют одно и то же состояние Блоха, разбитое двумя разными способами, с использованием волнового вектора k ₁ (слева) или k ₂ (справа). Разность ( k ₁ − k ₂ ) представляет собой вектор обратной решетки . На всех графиках синий цвет — это действительная часть, а красный — мнимая часть.

Предположим, что электрон находится в блоховском состоянии. $$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$$ где u периодичен с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка. Фактическое квантовое состояние электрона полностью определяется $\psi$, а не непосредственно k или u . Это важно, потому что и u не уникальны k . В частности, если $\psi$ можно записать, как указано выше, используя k , его также можно записать, используя ( k + K ) , где K — любой вектор обратной решетки (см. рисунок справа). Следовательно, волновые векторы, отличающиеся на вектор обратной решетки, эквивалентны в том смысле, что характеризуют один и тот же набор блоховских состояний.

Первая зона Бриллюэна представляет собой ограниченный набор значений k со свойством, что никакие два из них не эквивалентны, однако каждое возможное k эквивалентно одному (и только одному) вектору в первой зоне Бриллюэна. Следовательно, если мы ограничим k первой зоной Бриллюэна, то каждое состояние Блоха будет иметь уникальное k . Поэтому первая зона Бриллюэна часто используется для изображения всех блоховских состояний без избыточности, например, в зонной структуре, и по той же причине используется во многих расчетах.

Когда k умножается на приведенную постоянную Планка электрона , она равна кристаллическому импульсу . В связи с этим групповую скорость электрона можно рассчитать на основе того, как энергия блоховского состояния меняется с k ; более подробную информацию см. в разделе «Импульс кристалла».

Подробный пример

Подробный пример, на котором разрабатываются следствия теоремы Блоха в конкретной ситуации, см. в статье Частица в одномерной решетке (периодический потенциал) .

Заявление

Теорема Блоха . Для электронов в идеальном кристалле существует основа волновых функций со следующими двумя свойствами:

• каждая из этих волновых функций является собственным состоянием энергии,
• каждая из этих волновых функций является состоянием Блоха, а это означает, что эта волновая функция $\psi$ можно записать в форме $$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$$ где u ( r ) имеет ту же периодичность, что и атомная структура кристалла, так что $$u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} ).$$

Второй и эквивалентный способ формулировки теоремы заключается в следующем.

Теорема Блоха . Для любой волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера, и для перевода вектора решетки. $\mathbf {a}$, существует хотя бы один вектор $\mathbf {k}$ такой, что: $$\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {a} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} ).$$

Доказательство

Использование периодичности решетки

Поскольку теорема Блоха является утверждением о периодичности решетки, в этом доказательстве все симметрии закодированы как трансляционная симметрия самой волновой функции.

Доказательство с использованием периодичности решетки.

Источник:

Предварительные сведения: кристаллические симметрии, решетка и обратная решетка.

Определяющим свойством кристалла является трансляционная симметрия. Это означает, что если кристалл сдвинуть на соответствующую величину, все его атомы окажутся в одних и тех же местах. (Кристалл конечного размера не может иметь идеальную трансляционную симметрию, но это полезное приближение.)

Трехмерный кристалл имеет три примитивных вектора решетки a ₁ , a ₂ , a ₃ . Если кристалл сдвинут любым из этих трех векторов или их комбинацией вида $$n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},$$ где n _i — три целых числа, то атомы оказываются в том же наборе мест, в котором они находились в начале.

Еще одним полезным ингредиентом доказательства являются векторы обратной решетки . Это три вектора b ₁ , b ₂ , b ₃ (с единицами обратной длины) со свойством a _i · b _i = 2 π , но a _i · b _j = 0, когда i ≠ j . (Формулу для b _i см. в разделе вектор обратной решетки .)

Лемма об операторах перевода

Позволять ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ обозначаем оператор перевода , который сдвигает каждую волновую функцию на величину n ₁ a ₁ + n ₂ a ₂ + n ₃ a ₃ (как указано выше, n _j — целые числа). Для доказательства теоремы Блоха полезен следующий факт:

Лемма . Если волновая функция ψ является собственным состоянием всех операторов перевода (одновременно), то ψ является состоянием Блоха.

Доказательство леммы

Предположим, что у нас есть волновая функция ψ , которая является собственным состоянием всех операторов сдвига. В качестве частного случая этого $$\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=C_{j}\psi (\mathbf {r} )$$ для j = 1, 2, 3 , где C _j — три числа ( собственные значения ), не зависящие от r . полезно записать Числа C _j в другой форме, выбрав три числа θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ с e ^{2 πiθ _j} = С _j : $$\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )$$ Опять же, θj _{— это три числа ,} которые не зависят от r . Определим k = θ ₁ b ₁ + θ ₂ b ₂ + θ ₃ b ₃ , где b _j — векторы обратной решетки (см. выше). Наконец, определите $$u(\mathbf {r} )=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\psi (\mathbf {r} )\,.$$ Затем $${\begin{aligned}u(\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})&=e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})}\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})\\&={\big (}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{j}}{\big )}{\big (}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} ){\big )}\\&=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-2\pi i\theta _{j}}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )\\&=u(\mathbf {r} ).\end{aligned}}$$ Это доказывает, что u имеет периодичность решетки. С $\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$ это доказывает, что государство является государством Блоха.

Наконец, мы готовы к основному доказательству теоремы Блоха, которое заключается в следующем.

Как и выше, пусть ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ Обозначаем оператор перевода , который сдвигает каждую волновую функцию на величину n ₁ a ₁ + n ₂ a ₂ + n ₃ a ₃ , где n _i — целые числа. Поскольку кристалл обладает трансляционной симметрией, этот оператор коммутирует с оператором Гамильтона . Более того, каждый такой оператор перевода коммутирует со всеми другими. Следовательно, существует одновременно собственный базис оператора Гамильтона и все возможные ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!$ оператор. Эта основа и есть то, что мы ищем. Волновые функции в этом базисе являются собственными состояниями энергии (поскольку они являются собственными состояниями гамильтониана), а также состояниями Блоха (потому что они являются собственными состояниями операторов перевода; см. лемму выше).

Использование операторов

В этом доказательстве все симметрии кодируются как коммутационные свойства операторов перевода.

Доказательство с помощью операторов

Источник:

Определим оператор перевода $${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {r} )&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })\\&=\psi (\mathbf {r} +n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {A} \mathbf {n} )\end{aligned}}$$ с $$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}$$ Используем гипотезу среднего периодического потенциала $$U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=U(\mathbf {x} )$$ и приближение независимого электрона с гамильтонианом $${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+U(\mathbf {x} )$$ Учитывая, что гамильтониан инвариантен для сдвигов, он должен коммутировать с оператором перевода $$[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }]=0$$ и два оператора должны иметь общий набор собственных функций. Поэтому начинаем рассматривать собственные функции оператора перевода: $${\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )=\lambda _{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )$$ Данный ${\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }$ является аддитивным оператором $${\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} _{1}+\mathbf {A} \mathbf {n} _{2})={\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )$$ Если мы подставим сюда уравнение собственных значений и разделим обе части на $\psi (\mathbf {x} )$ у нас есть $$\lambda _{\mathbf {n} _{1}}\lambda _{\mathbf {n} _{2}}=\lambda _{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}$$

Это верно для $$\lambda _{\mathbf {n} }=e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }$$ где $s\in \mathbb {C}$ если мы воспользуемся условием нормализации по одной примитивной ячейке объёма V $$1=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =\int _{V}\left|{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )\right|^{2}d\mathbf {x} =|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x}$$ и поэтому $$1=|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}$$ и $$s=ik$$ где $k\in \mathbb {R}$. Окончательно, $$\mathbf {{\hat {T}}_{n}} \psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }\psi (\mathbf {x} ),$$ что верно для волны Блоха, т.е. для $\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )$ с $u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} )$

Использование теории групп

Помимо технических деталей теории групп, это доказательство интересно тем, что становится ясно, как обобщить теорему Блоха для групп, которые являются не только сдвигами. Обычно это делается для пространственных групп , которые представляют собой комбинацию трансляции и точечной группы , и используется для расчета зонной структуры, спектра и удельной теплоемкости кристаллов с учетом определенной симметрии кристаллической группы, такой как FCC или BCC, и, в конечном итоге, дополнительного базиса . В этом доказательстве также можно заметить, насколько важно то, что дополнительная точечная группа определяется симметрией эффективного потенциала, но она должна коммутировать с гамильтонианом.

Доказательство с помощью теории персонажей

Все переводы унитарные ​ и абелевы . Переводы можно записать в терминах единичных векторов. $${\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a} _{i}$$ Мы можем думать о них как о коммутирующих операторах. $${\hat {\boldsymbol {\tau }}}={\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{2}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{3}$$ где $${\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}=n_{i}{\hat {\mathbf {a} }}_{i}$$

Коммутативность ${\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}$ операторы дают три коммутирующие циклические подгруппы (при условии, что они могут быть порождены только одним элементом), которые являются бесконечными, одномерными и абелевыми. Все неприводимые представления абелевых групп одномерны.

Учитывая, что они одномерны, матричное представление и символ одинаковы. Символ — это представление комплексных чисел группы или также след представления , которое в данном случае является одномерной матрицей. Все эти подгруппы, поскольку они циклические, имеют характеры, являющиеся соответствующими корнями из единицы . По факту у них один генератор $\gamma$ который должен подчиняться $\gamma ^{n}=1$, и, следовательно, характер $\chi (\gamma )^{n}=1$. Обратите внимание, что это просто в случае конечной циклической группы, но в счетном бесконечном случае бесконечной циклической группы (т.е. группы трансляции в данном случае) существует предел для $n\to \infty$ где характер остается конечным.

Учитывая, что символ является корнем из единицы, для каждой подгруппы символ можно записать как $$\chi _{k_{1}}({\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}$$

Если ввести граничное условие Борна–фон Кармана на потенциале: $$V\left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=V(\mathbf {r} +\mathbf {L} )=V(\mathbf {r} )$$ где L — макроскопическая периодичность в направлении $\mathbf {a}$ это также можно рассматривать как кратное $a_{i}$ где ${\textstyle \mathbf {L} =\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}}$

Эта замена в независимом от времени уравнении Шредингера простым эффективным гамильтонианом $${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )$$ вызывает периодичность с волновой функцией: $$\psi \left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=\psi (\mathbf {r} )$$

И для каждого измерения оператор перевода с периодом L $${\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}}$$

Отсюда мы видим, что характер также будет инвариантным при переводе $L_{i}$: $$e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}$$ и из последнего уравнения получаем для каждого измерения периодическое условие: $$k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}$$ где $m_{1}\in \mathbb {Z}$ является целым числом и $k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}$

Волновой вектор $k_{1}$ идентифицируем неприводимое представление таким же образом, как $m_{1}$, и $L_{1}$ – макроскопическая периодическая длина кристалла в направлении $a_{1}$. В этом контексте волновой вектор служит квантовым числом для оператора перевода.

Мы можем обобщить это на 3 измерения. $\chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$ и общая формула для волновой функции будет выглядеть так: $${\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)$$ т.е. специализируя его на переводе $${\hat {P}}_{\varepsilon |{\boldsymbol {\tau }}}\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}=\psi (\mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }})$$ и мы доказали теорему Блоха.

В обобщенной версии теоремы Блоха преобразование Фурье, то есть разложение волновой функции, обобщается из дискретного преобразования Фурье , которое применимо только для циклических групп и, следовательно, переводов, в характерное разложение волновой функции, характеры где заданной из конкретной конечной точечной группы .

Также здесь можно увидеть, как символы (как инварианты неприводимых представлений) можно рассматривать как фундаментальные строительные блоки, а не сами неприводимые представления.

Скорость и эффективная масса

Если мы применим независимое от времени уравнение Шредингера к волновой функции Блоха, мы получим $${\hat {H}}_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}+U(\mathbf {r} )\right]u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\varepsilon _{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$$ с граничными условиями $$u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )$$ Учитывая, что это определено в конечном объеме, мы ожидаем бесконечное семейство собственных значений; здесь ${\mathbf {k} }$ является параметром гамильтониана, и поэтому мы приходим к «непрерывному семейству» собственных значений $\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )$ зависит от непрерывного параметра ${\mathbf {k} }$ и, таким образом, в базовой концепции электронной зонной структуры.

Доказательство

$$E_{\mathbf {k} }\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} )\right]\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)$$

Мы остаемся с $${\begin{aligned}E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\left(i\mathbf {k} \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\mathbf {k} ^{2}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-2i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+U(\mathbf {x} )u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\end{aligned}}$$

Это показывает, как эффективный импульс можно рассматривать как состоящий из двух частей: $${\hat {\mathbf {p} }}_{\text{eff}}=-i\hbar \nabla +\hbar \mathbf {k} ,$$ стандартный импульс $-i\hbar \nabla$ и кристаллический импульс $\hbar \mathbf {k}$. Точнее, импульс кристалла не является импульсом, но он обозначает импульс так же, как электромагнитный импульс в минимальной связи , и как часть канонического преобразования импульса.

Для эффективной скорости мы можем получить

средняя скорость блоховского электрона

${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }={\frac {\hbar }{m}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle =\hbar \langle {\hat {\mathbf {v} }}\rangle$

Доказательство

Оцениваем производные ${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}$ и ${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}$ учитывая, что они являются коэффициентами следующего разложения по q , где q считается малым по отношению к k $$\varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )=\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )+\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}+O(q^{3})$$ Данный $\varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )$ являются собственными значениями ${\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }$ Мы можем рассмотреть следующую задачу возмущения в q: $${\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }={\hat {H}}_{\mathbf {k} }+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}$$ Теория возмущений второго порядка утверждает, что $$E_{n}=E_{n}^{0}+\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}|^{2}}{E_{n}^{0}-E_{n'}^{0}}}+...$$ Для вычислений в линейном порядке по q $$\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}=\sum _{i}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}(-i\nabla +\mathbf {k} )_{i}q_{i}u_{n\mathbf {k} }$$ где интегрирование ведется по примитивной ячейке или по всему кристаллу, если интеграл $$\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}u_{n\mathbf {k} }$$ нормируется по ячейке или кристаллу.

Мы можем упростить q, чтобы получить $${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }$$ и мы можем повторно вставить полные волновые функции $${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }$$

По эффективной массе

Теорема об эффективной массе

${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}$

Доказательство

Член второго порядка $${\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n'\mathbf {k} }|^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}$$ Опять с $\psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }$ $${\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle n\mathbf {k} |{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla )|n'\mathbf {k} \rangle |^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}$$ Устранение $q_{i}$ и $q_{j}$ у нас есть теорема $${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}$$

Количество справа, умноженное на коэффициент ${\frac {1}{\hbar ^{2}}}$ называется тензором эффективной массы $\mathbf {M} (\mathbf {k} )$ и мы можем использовать его, чтобы написать полуклассическое уравнение для носителя заряда в зоне

Квазиклассическое уравнение движения носителя заряда второго порядка в зоне

$\mathbf {M} (\mathbf {k} )\mathbf {a} =\mp e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} (\mathbf {k} )\times \mathbf {B} \right)$

где $\mathbf {a}$ это ускорение . Это уравнение аналогично де Бройля аппроксимации волнового типа

Квазиклассическое уравнение движения электрона первого порядка в зоне

$\hbar {\dot {k}}=-e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

При интуитивной интерпретации оба предыдущих уравнения формально напоминают и находятся в полуклассической аналогии со вторым законом Ньютона для электрона во внешней силе Лоренца .

История и связанные с ней уравнения

Концепция государства Блоха была разработана Феликсом Блохом в 1928 году. для описания проводимости электронов в кристаллических твердых телах. Однако та же основная математика была открыта независимо несколько раз: Джорджем Уильямом Хиллом (1877 г.), Гастон Флоке (1883), и Александр Ляпунов (1892). В результате распространено множество номенклатур: в применении к обыкновенным дифференциальным уравнениям она называется теорией Флоке (или иногда теоремой Ляпунова-Флоке ). Общей формой одномерного периодического потенциального уравнения является уравнение Хилла : $${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,$$ где f ( t ) — периодический потенциал. Конкретные периодические одномерные уравнения включают модель Кронига – Пенни и уравнение Матье .

Математически теорема Блоха интерпретируется в терминах унитарных характеров группы решетки и применяется к спектральной геометрии .

См. также

• Блоховские колебания
• Волна Блоха – метод МоМ
• Электронная зонная структура
• Модель почти свободных электронов
• Периодические граничные условия
• Симметрии в квантовой механике
• Модель жесткой привязки
• Функция Ванье

Дальнейшее чтение

• Эшкрофт, Нил ; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN  978-0-03-083993-1 .
• Дрессельхаус, MS (2010). Теория групп: приложение к физике конденсированного состояния . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-3-642-06945-1 . OCLC   692760083 .
• Х. Фёлль. «Периодические потенциалы и теорема Блоха – лекции в «Полупроводниках I» » . Кильский университет.
• MSP Истхэм (1973). Спектральная теория периодических дифференциальных уравнений . Тексты по математике. Эдинбург: Шотландская академическая пресса.
• Ж. Газалет; С. Дюпон; Дж. К. Кастелик; К. Роллан и Б. Джафари-Рухани (2013). «Учебный обзор волн, распространяющихся в периодических средах: Электронные, фотонные и фононные кристаллы. Восприятие теоремы Блоха как в реальной, так и в Фурье-областях» . Волновое движение . 50 (3): 619–654. дои : 10.1016/j.wavemoti.2012.12.010 .