Периодические граничные условия

Периодические граничные условия в 2D

Элементарная ячейка с молекулами воды, используемая для моделирования текущей воды.

Периодические граничные условия ( ПБК ) — это набор граничных условий , которые часто выбираются для аппроксимации большой (бесконечной) системы с использованием небольшой части, называемой элементарной ячейкой . PBC часто используются в компьютерном моделировании и математических моделях . Топология ; двумерного PBC аналогична топологии карты мира в некоторых видеоиграх геометрия элементарной ячейки удовлетворяет идеальному двумерному мозаике, и когда объект проходит через одну сторону элементарной ячейки, он снова появляется на противоположной стороне с той же скоростью. С топологической точки зрения пространство, созданное двумерными PBC, можно рассматривать как отображенное на тор ( компактификация ). Большие системы, аппроксимируемые КПБ, состоят из бесконечного числа элементарных ячеек. В компьютерном моделировании одним из них является исходный ящик моделирования, а другими — копии, называемые изображениями . Во время моделирования необходимо записывать и распространять только свойства исходного блока моделирования. Соглашение о минимальном изображении — это распространенная форма учета частиц PBC, в которой каждая отдельная частица в моделировании взаимодействует с ближайшим изображением остальных частиц в системе.

Один из примеров периодических граничных условий может быть определен в соответствии с гладкими действительными функциями. $\phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ к

${\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{1}^{m}}}\phi (a_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{1}^{m}}}\phi (b_{1},x_{2},...,x_{n}),$

${\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{2}^{m}}}\phi (x_{1},a_{2},...,x_{n})={\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{2}^{m}}}\phi (x_{1},b_{2},...,x_{n}),$

$...,$

${\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{n}^{m}}}\phi (x_{1},x_{2},...,a_{n})={\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{n}^{m}}}\phi (x_{1},x_{2},...,b_{n})$

для всех m = 0, 1, 2,... и для констант $a_{i}$ и $b_{i}$.

В молекулярно-динамическом моделировании и молекулярном моделировании Монте-Карло PBC обычно применяются для расчета свойств объемных газов, жидкостей, кристаллов или смесей. В обычном приложении PBC используется для моделирования сольватированных макромолекул в ванне с явным растворителем . Граничные условия Борна–фон Кармана представляют собой периодические граничные условия для специальной системы.

В электромагнетике PBC может применяться для различных типов сеток для анализа электромагнитных свойств периодических структур.

Требования и артефакты

Трехмерные ПБЦ полезны для аппроксимации поведения макромасштабных систем газов, жидкостей и твердых тел. Трехмерные ПБК также можно использовать для моделирования плоских поверхностей, и в этом случае двумерные ПБК часто оказываются более подходящими. Двумерные PBC для плоских поверхностей также называются граничными условиями плиты ; в этом случае PBC используются для двух декартовых координат (например, x и y), а третья координата (z) простирается до бесконечности.

PBC можно использовать в сочетании с методами суммирования Эвальда (например, методом Эвальда на сетке частиц) для расчета электростатических сил в системе. Однако PBC также вносят корреляционные артефакты, которые не учитывают трансляционную инвариантность системы. и требует ограничений на состав и размер поля моделирования.

При моделировании твердых систем поле деформаций , возникающее из-за любой неоднородности в системе, будет искусственно усечено и изменено периодической границей. Точно так же длина волны звуковых или ударных волн и фононов в системе ограничена размером ящика.

В моделях, содержащих ионные (кулоновские) взаимодействия, чистый электростатический заряд системы должен быть равен нулю, чтобы избежать суммирования бесконечного заряда при применении ПБЦ. В некоторых случаях уместно добиться нейтральности путем добавления ионов, таких как натрий или хлорид (в качестве противоионов ), в соответствующих количествах, если интересующие молекулы заряжены. Иногда ионы даже добавляются в систему, в которой интересующие молекулы нейтральны, чтобы приблизиться к ионной силе раствора, в котором эти молекулы естественным образом появляются. Соблюдение соглашения о минимальном изображении также обычно требует, чтобы сферический радиус отсечки для несвязанных сил составлял не более половины длины одной стороны кубического ящика. Даже в электростатически нейтральных системах чистый дипольный момент элементарной ячейки может привнести ложную энергию объемной поверхности, эквивалентную пироэлектричеству в полярных кристаллах . Другим последствием применения ПБЦ к моделируемой системе, такой как жидкость или твердое тело, является то, что эта гипотетическая система не имеет контакта со своим «окружением», поскольку она бесконечна во всех направлениях. Таким образом, дальнодействующие энергетические вклады, такие как электростатический потенциал и, как следствие, энергии заряженных частиц, таких как электроны, не выравниваются автоматически с экспериментальными энергетическими шкалами. Математически эта неоднозначность уровня энергии соответствует сумме электростатической энергии, зависящей от поверхностного члена, который должен быть установлен пользователем метода.

Размер поля моделирования также должен быть достаточно большим, чтобы предотвратить возникновение периодических артефактов из-за нефизической топологии моделирования. В слишком маленьком ящике макромолекула может взаимодействовать со своим изображением в соседнем ящике, что функционально эквивалентно взаимодействию «головы» молекулы с собственным «хвостом». Это приводит к крайне нефизической динамике в большинстве макромолекул, хотя масштабы последствий и, следовательно, соответствующий размер ящика относительно размера макромолекул зависят от предполагаемой продолжительности моделирования, желаемой точности и ожидаемой динамики. Например, моделирование сворачивания белка , которое начинается с нативного состояния , может подвергаться меньшим флуктуациям и, следовательно, может не требовать такого большого ящика, как моделирование, которое начинается со случайной конформации клубка . Однако влияние сольватных оболочек на наблюдаемую динамику – в моделировании или в эксперименте – недостаточно изучено. Общая рекомендация, основанная на моделировании ДНК должна требовать не менее 1 нм растворителя вокруг интересующих молекул в каждом измерении.

Практическая реализация: непрерывность и минимальная условность изображения

Объект, прошедший через одну грань симуляционного блока, должен снова войти через противоположную грань — или это должно сделать его изображение. Очевидно, необходимо принять стратегическое решение: будем ли мы (А) «сворачивать» частицы в коробку моделирования, когда они покидают ее, или мы (Б) позволим им идти дальше (но вычислим взаимодействия с ближайшими изображениями)? Решение не влияет на ход моделирования, но если пользователя интересуют средние перемещения, диффузионные длины и т.п., второй вариант предпочтительнее.

(A) Ограничить координаты частицы полем моделирования.

Для реализации алгоритма PBC необходимы как минимум два шага.

Ограничение координат — это простая операция, которую можно описать с помощью следующего кода, где x_size — длина прямоугольника в одном направлении (при условии, что элементарная ячейка ортогональна с центром в начале координат), а x — положение частицы в том же направлении. :

if (periodic_x) then
  if (x <  -x_size * 0.5) x = x + x_size
  if (x >=  x_size * 0.5) x = x - x_size
end if

Расстояние и вектор между объектами должны подчиняться критерию минимального изображения. Это можно реализовать согласно следующему коду (в случае одномерной системы, где dx — вектор направления расстояния от объекта i до объекта j):

if (periodic_x) then
  dx = x(j) - x(i)
  if (dx >   x_size * 0.5) dx = dx - x_size
  if (dx <= -x_size * 0.5) dx = dx + x_size
end if

Для трехмерных КПК обе операции следует повторить во всех трех измерениях.

Эти операции можно записать в гораздо более компактной форме для ромбических ячеек, если сместить начало координат в угол прямоугольника. Тогда мы имеем в одном измерении позиции и расстояния соответственно:

! After x(i) update without regard to PBC:
x(i) = x(i) - floor(x(i) / x_size) * x_size  ! For a box with the origin at the lower left vertex
! Works for x's lying in any image.
dx = x(j) - x(i)
dx = dx - nint(dx / x_size) * x_size

(B) Не ограничивайте координаты частиц

Предполагая ромбическую рамку моделирования с началом координат в нижнем левом переднем углу, минимальное соглашение об изображении для расчета эффективных расстояний между частицами может быть рассчитано с помощью функции «ближайшего целого числа», как показано выше, здесь в виде кода C/C++:

x_rsize = 1.0 / x_size; // compute only when box size is set or changed

dx = x[j] - x[i];
dx -= x_size * nearbyint(dx * x_rsize);

Самый быстрый способ выполнения этой операции зависит от архитектуры процессора. Если знак dx не имеет значения, метод

dx = fabs(dx);
dx -= static_cast<int>(dx * x_rsize +  0.5) * x_size;

оказался самым быстрым на процессорах x86-64 в 2013 году.

Для неорторомбических ячеек ситуация сложнее.

При моделировании ионных систем более сложные операции. может потребоваться для обработки дальнодействующих кулоновских взаимодействий, охватывающих несколько коробочных изображений, например, суммирование Эвальда .

Геометрия элементарной ячейки

PBC требует, чтобы элементарная ячейка имела форму, которая идеально вписывается в трехмерный кристалл. Таким образом, каплю сферической или эллиптической формы использовать нельзя. Кубическая . или прямоугольная призма является наиболее интуитивно понятным и распространенным выбором, но может быть дорогостоящим в вычислительном отношении из-за ненужного количества молекул растворителя в углах, удаленных от центральных макромолекул Распространенной альтернативой, требующей меньшего объема, является усеченный октаэдр .

Общий размер

Для моделирования в 2D и 3D пространстве чаще всего используются кубические периодические граничные условия, поскольку они наиболее просты в кодировании. Однако при компьютерном моделировании систем большой размерности гиперкубическое периодическое граничное условие может быть менее эффективным, поскольку углы занимают большую часть пространства. В общем измерении элементарную ячейку можно рассматривать как ячейку Вигнера-Зейтца определенной решетчатой ​​упаковки . Например, гиперкубическое периодическое граничное условие соответствует гиперкубической решетчатой ​​упаковке. В этом случае предпочтительно выбрать элементарную ячейку, которая соответствует плотной упаковке этого измерения. В 4D это решетка D4 ; и решетка E8 в 8-мерном измерении. Реализация этих многомерных периодических граничных условий эквивалентна подходам с использованием кодов с коррекцией ошибок в теории информации .

Сохраненные свойства

При периодических граничных условиях линейный момент системы сохраняется, а угловой момент — нет. Традиционное объяснение этого факта основано на теореме Нётер , которая утверждает, что сохранение углового момента следует из вращательной инвариантности лагранжиана . Однако было показано, что этот подход несостоятелен: он не объясняет отсутствие сохранения углового момента одиночной частицы, движущейся в периодической ячейке. Лагранжиан частицы постоянен и, следовательно, вращательно-инвариантен, а угловой момент частицы не сохраняется. Это противоречие вызвано тем, что теорема Нётер обычно формулируется для закрытых систем. Периодическая ячейка обменивается массовым моментом, угловым моментом и энергией с соседними ячейками.

Применительно к микроканоническому ансамблю (постоянное число частиц, объем и энергия, сокращенно NVE), использование PBC вместо отражающих стен немного изменяет выборку моделирования из-за сохранения общего линейного импульса и положения центра масс; этот ансамбль получил название « ансамбль молекулярной динамики ». или ансамбль НВЭПГ. Эти дополнительные сохраняющиеся величины вносят незначительные артефакты, связанные со статистико-механическим определением температуры , отклонением распределения скоростей от распределения Больцмана и нарушением равнораспределения для систем, содержащих частицы с неоднородными массами . Самый простой из этих эффектов состоит в том, что система из N частиц будет вести себя в ансамбле молекулярной динамики как система из N-1 частиц. Эти артефакты имеют измеримые последствия для небольших игрушечных систем, содержащих только совершенно твердые частицы; они не были глубоко изучены для стандартного биомолекулярного моделирования, но, учитывая размер таких систем, эффекты будут в значительной степени незначительными.

См. также

• Спиральные граничные условия
• Молекулярное моделирование
• Программное обеспечение для моделирования молекулярной механики

Ссылки

• Рапапорт, округ Колумбия (2004). Искусство молекулярно-динамического моделирования (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-82568-7 . См. особенно. стр. 15–20.
• Шлик, Т. (2002). Молекулярное моделирование и моделирование: междисциплинарное руководство . Междисциплинарная прикладная математика. Том. 21. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-95404-Х . См. особенно. стр. 272–6.