Плотный переплет

Чтобы узнать о других значениях, см. Жесткая привязка (значения) .

В физике твердого тела модель сильной связи (или модель TB ) представляет собой подход к расчету электронной зонной структуры с использованием приближенного набора волновых функций , основанного на суперпозиции волновых функций для изолированных атомов , расположенных в каждом атомном узле. Этот метод тесно связан с методом ЛКАО (методом линейной комбинации атомных орбиталей), используемым в химии. Модели с сильной связью применяются к широкому спектру твердых тел. Модель дает хорошие качественные результаты во многих случаях и может быть объединена с другими моделями, которые дают лучшие результаты там, где модель жесткой привязки не работает. Хотя модель сильной связи представляет собой одноэлектронную модель, она также обеспечивает основу для более сложных расчетов, таких как расчет поверхностных состояний и применение к различным видам задач многих тел и расчетам квазичастиц .

Введение

Название «сильная связь» этой модели электронной зонной структуры предполагает, что эта квантово-механическая модель описывает свойства прочно связанных электронов в твердых телах. Электроны , в этой модели должны быть тесно связаны с атомом которому они принадлежат, и иметь ограниченное взаимодействие с состояниями и потенциалами окружающих атомов твердого тела. В результате волновая функция электрона будет весьма похожа на атомную орбиталь свободного атома, которому он принадлежит. Энергия электрона также будет достаточно близка к энергии ионизации электрона в свободном атоме или ионе, поскольку взаимодействие с потенциалами и состояниями соседних атомов ограничено.

Хотя математическая формулировка Одночастичного гамильтониана сильной связи на первый взгляд может показаться сложной, модель совсем не сложна и ее довольно легко понять интуитивно. Есть только три вида матричных элементов , которые играют существенную роль в теории. Два из этих трех типов элементов должны быть близки к нулю, и ими часто можно пренебречь. Наиболее важными элементами модели являются межатомные матричные элементы, которые назвали бы просто энергиями связи химики .

несколько уровней атомной энергии В общем, в модели задействовано и атомных орбиталей. Это может привести к сложным зонным структурам, поскольку орбитали принадлежат разным представлениям точечных групп . и Обратная решетка зона Бриллюэна часто принадлежат к другой пространственной группе, чем кристалл твердого тела. Точки высокой симметрии в зоне Бриллюэна принадлежат разным представлениям точечных групп. Когда изучаются простые системы, такие как решетки элементов или простые соединения, часто не очень сложно аналитически вычислить собственные состояния в точках высокой симметрии. Таким образом, модель жесткой связи может служить хорошим примером для тех, кто хочет больше узнать о теории групп .

Модель жесткой привязки имеет долгую историю и применялась разными способами, с разными целями и разными результатами. Модель не стоит сама по себе. Части модели могут быть дополнены или расширены с помощью других видов расчетов и моделей, таких как модель почти свободных электронов . Сама модель или ее части могут служить основой для других расчетов. Например, при исследовании проводящих полимеров , органических полупроводников и молекулярной электроники применяются модели, подобные сильной связи, в которых роль атомов в исходной концепции заменяется молекулярными орбиталями сопряженных систем и где межатомные матричные элементы заменяются параметрами меж- или внутримолекулярного прыжка и туннелирования . Почти все эти проводники обладают очень анизотропными свойствами и иногда почти идеально одномерны.

Историческая справка

К 1928 году идея молекулярной орбитали была выдвинута Робертом Малликеном , на которого значительное влияние оказали работы Фридриха Хунда . Метод LCAO для аппроксимации молекулярных орбиталей был введен в 1928 году Б. Н. Финклештейном и GE Horowitz, тогда как метод LCAO для твердых тел был разработан Феликсом Блохом в рамках его докторской диссертации в 1928 году одновременно с подходом LCAO-MO и независимо от него. Гораздо более простая схема интерполяции для аппроксимации электронной зонной структуры, особенно для d-зон переходных металлов , — это параметризованный метод сильной связи, задуманный в 1954 году Джоном Кларком Слейтером и Джорджем Фредом Костером . иногда называемый методом жесткой привязки SK . При использовании метода сильной связи SK расчеты электронной зонной структуры твердого тела не обязательно должны выполняться с полной строгостью, как в исходной теореме Блоха, а, скорее, расчеты из первых принципов выполняются только в точках с высокой симметрией и зонной структурой. интерполируется по остальной части зоны Бриллюэна между этими точками.

В этом подходе взаимодействия между различными атомными позициями рассматриваются как возмущения . Существует несколько видов взаимодействий, которые мы должны учитывать. Кристаллический гамильтониан представляет собой лишь приблизительную сумму атомных гамильтонианов, расположенных в разных местах, а волновые функции атомов перекрывают соседние атомные места в кристалле и поэтому не являются точным представлением точной волновой функции. В следующем разделе есть дополнительные пояснения с некоторыми математическими выражениями.

В недавних исследованиях сильно коррелированного материала подход сильной связи является основным приближением, поскольку сильно локализованные электроны, такие как электроны трехмерных переходных металлов, иногда демонстрируют сильно коррелированное поведение. В этом случае роль электрон-электронного взаимодействия необходимо учитывать, используя описание физики многих тел .

Модель сильной связи обычно используется для расчетов электронной зонной структуры и запрещенных зон в статическом режиме. Однако в сочетании с другими методами, такими как модель приближения случайной фазы (RPA), также можно изучать динамический отклик систем. В 2019 году Баннварт и др. представил метод GFN2-xTB, в первую очередь для расчета структур и энергий нековалентного взаимодействия.

Математическая формулировка

Введем атомные орбитали $\varphi _{m}(\mathbf {r} )$, которые являются собственными гамильтониана функциями $H_{\rm {at}}$ одного изолированного атома. Когда атом помещается в кристалл, эта атомная волновая функция перекрывает соседние атомные позиции и поэтому не является истинными собственными функциями кристаллического гамильтониана. Перекрытие меньше, когда электроны тесно связаны, что является источником дескриптора «тесная связь». Любые поправки к атомному потенциалу $\Delta U$ необходимое для получения истинного гамильтониана $H$ системы предполагаются малыми:

$H(\mathbf {r} )=H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )+\sum _{\mathbf {R} _{n}\neq \mathbf {0} }V(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})=H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )+\Delta U(\mathbf {r} )\ ,$

где $V(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})$ обозначает атомный потенциал одного атома, находящегося в позиции $\mathbf {R} _{n}$ в кристаллической решетке . Решение $\psi _{m}$ к независимому от времени одноэлектронному уравнению Шредингера затем аппроксимируется как линейная комбинация атомных орбиталей $\varphi _{m}(\mathbf {r-R_{n}} )$:

$\psi _{m}(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}(\mathbf {R} _{n})\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})$,

где $m$ относится к m-му уровню атомной энергии.

Трансляционная симметрия и нормализация

Теорема Блоха утверждает, что волновая функция в кристалле может изменяться при трансляции только на фазовый коэффициент:

$\psi (\mathbf {r+R_{\ell }} )=e^{i\mathbf {k\cdot R_{\ell }} }\psi (\mathbf {r} )\ ,$

где $\mathbf {k}$ – волновой вектор волновой функции. Следовательно, коэффициенты удовлетворяют

$\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}(\mathbf {R} _{n})\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n}+\mathbf {R} _{\ell })=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{\ell }}\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}(\mathbf {R} _{n})\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\ .$

Подставив $\mathbf {R} _{p}=\mathbf {R} _{n}-\mathbf {R_{\ell }}$, мы находим

$b_{m}(\mathbf {R} _{p}+\mathbf {R} _{\ell })=e^{i\mathbf {k\cdot R_{\ell }} }b_{m}(\mathbf {R} _{p})\ ,$ (где в RHS мы заменили фиктивный индекс $\mathbf {R} _{n}$ с $\mathbf {R} _{p}$)

или

$b_{m}(\mathbf {R} _{\ell })=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{\ell }}b_{m}(\mathbf {0} )\ .$

Нормализация волновой функции к единице:

$\int d^{3}r\ \psi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )=1$

$=\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})\sum _{\mathbf {R_{\ell }} }b_{m}(\mathbf {R_{\ell }} )\int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{\ell })$

$=b_{m}^{*}(0)b_{m}(0)\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{-i\mathbf {k\cdot R_{n}} }\sum _{\mathbf {R_{\ell }} }e^{i\mathbf {k\cdot R_{\ell }} }\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{\ell })$

$=Nb_{m}^{*}(0)b_{m}(0)\sum _{\mathbf {R} _{p}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{p}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{p})\varphi _{m}(\mathbf {r} )\$

$=Nb_{m}^{*}(0)b_{m}(0)\sum _{\mathbf {R} _{p}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{p}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{p})\ ,$

поэтому нормализация устанавливает $b_{m}(0)$ как

$b_{m}^{*}(0)b_{m}(0)={\frac {1}{N}}\ \cdot \ {\frac {1}{1+\sum _{\mathbf {R} _{p}\neq 0}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{p}}\alpha _{m}(\mathbf {R} _{p})}}\ ,$

где ${\alpha _{m}(\mathbf {R} _{p})}$ являются интегралами перекрытия атомов, которыми часто пренебрегают, что приводит к

$b_{m}(0)\approx {\frac {1}{\sqrt {N}}}\ ,$

и

$\psi _{m}(\mathbf {r} )\approx {\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\ .$

Гамильтониан сильной связи

Используя форму сильной связи для волновой функции и предполагая, что только m-й уровень атомной энергии важен для m-й энергетической зоны, энергии Блоха $\varepsilon _{m}$ имеют форму

$\varepsilon _{m}=\int d^{3}r\ \psi _{m}^{*}(\mathbf {r} )H(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )$

$=\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})H(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )$

$=\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )+\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\Delta U(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )$

$=\sum _{\mathbf {R} _{n},\mathbf {R} _{l}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})b_{m}(\mathbf {R} _{l})\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )\varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{l})+b_{m}^{*}(0)\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\Delta U(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )$

$=b_{m}^{*}(\mathbf {0} )b_{m}(\mathbf {0} )\ N\int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )\varphi _{m}(\mathbf {r} )+b_{m}^{*}(0)\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\Delta U(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )$

$\approx E_{m}+b_{m}^{*}(0)\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\Delta U(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )\ .$

Здесь на последнем этапе предполагалось, что интеграл перекрытия равен нулю и, следовательно, $b_{m}^{*}(\mathbf {0} )b_{m}(\mathbf {0} )={\frac {1}{N}}$. Тогда энергия становится

$\varepsilon _{m}(\mathbf {k} )=E_{m}-N\ |b_{m}(0)|^{2}\left(\beta _{m}+\sum _{\mathbf {R} _{n}\neq 0}\sum _{l}\gamma _{m,l}(\mathbf {R} _{n})e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\right)\ ,$

$=E_{m}-\ {\frac {\beta _{m}+\sum _{\mathbf {R} _{n}\neq 0}\sum _{l}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\gamma _{m,l}(\mathbf {R} _{n})}{\ \ 1+\sum _{\mathbf {R} _{n}\neq 0}\sum _{l}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\alpha _{m,l}(\mathbf {R} _{n})}}\ ,$

где E _m — энергия m -го атомного уровня, а $\alpha _{m,l}$, $\beta _{m}$ и $\gamma _{m,l}$ — это матричные элементы жесткой привязки, обсуждаемые ниже.

Жесткая привязка матричных элементов

Элементы $$\beta _{m}=-\int {\varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\Delta U(\mathbf {r} )\varphi _{m}(\mathbf {r} )\,d^{3}r}{\text{,}}$$ – сдвиг атомной энергии из-за потенциала на соседних атомах. В большинстве случаев этот срок относительно невелик. Если оно велико, это означает, что потенциалы соседних атомов оказывают большое влияние на энергию центрального атома.

Следующий класс терминов $$\gamma _{m,l}(\mathbf {R} _{n})=-\int {\varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\Delta U(\mathbf {r} )\varphi _{l}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\,d^{3}r}{\text{,}}$$ — межатомный матричный элемент между атомными орбиталями m и l на соседних атомах. Его также называют интегралом энергии связи или двухцентровым интегралом, и это доминирующий термин в модели сильной связи.

Последний класс терминов $$\alpha _{m,l}(\mathbf {R} _{n})=\int {\varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\varphi _{l}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\,d^{3}r}{\text{,}}$$ обозначают интегралы перекрытия между атомными орбиталями m и l на соседних атомах. Они тоже обычно небольшие; если нет, то отталкивание Паули оказывает немаловажное влияние на энергию центрального атома.

Оценка элементов матрицы

Как упоминалось ранее, значения $\beta _{m}$-матричные элементы не так велики по сравнению с энергией ионизации, поскольку потенциалы соседних атомов на центральном атоме ограничены. Если $\beta _{m}$ не является относительно малым, это означает, что потенциал соседнего атома центрального атома также не мал. В этом случае это указывает на то, что модель сильной связи по каким-то причинам не является очень хорошей моделью для описания зонной структуры. Межатомные расстояния могут быть слишком малы или, например, заряды атомов или ионов в решетке неправильные.

Межатомные матричные элементы $\gamma _{m,l}$ можно вычислить непосредственно, если волновые функции атома и потенциалы известны подробно. Чаще всего это не так. Существует множество способов получить параметры для этих элементов матрицы. Параметры могут быть получены из данных об энергии химической связи . энергии и собственные состояния в некоторых точках высокой симметрии в зоне Бриллюэна, Можно оценить а интегралы значений в матричных элементах можно сопоставить с данными зонной структуры из других источников.

Межатомные элементы матрицы перекрытия $\alpha _{m,l}$ должно быть весьма небольшим или пренебрежимо малым. Если они велики, это снова указывает на то, что модель жесткой привязки имеет ограниченную ценность для некоторых целей. Например, большое перекрытие является признаком слишком короткого межатомного расстояния. В металлах и переходных металлах широкую s-зону или sp-зону можно лучше подогнать под расчет существующей зонной структуры за счет введения матричных элементов следующего ближайшего соседа и интегралов перекрытия, но такая подгонка не дает очень полезной модели. для электронной волновой функции металла. Широкие зоны в плотных материалах лучше описываются моделью почти свободных электронов .

Модель сильной связи особенно хорошо работает в случаях, когда ширина зоны мала и электроны сильно локализованы, например, в случае d-зон и f-зон. Модель также дает хорошие результаты в случае открытых кристаллических структур, таких как алмаз или кремний, где число соседей невелико. Эту модель можно легко объединить с моделью почти свободных электронов в гибридной модели NFE-TB.

Подключение к функциям Ванье

Функции Блоха описывают электронные состояния в периодической кристаллической решетке . Функции Блоха можно представить в виде ряда Фурье.

$\psi _{m}\mathbf {(k,r)} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n}{a_{m}\mathbf {(R_{n},r)} }e^{\mathbf {ik\cdot R_{n}} }\ ,$

где R _n обозначает атомный узел в периодической кристаллической решетке, k — волновой вектор функции Блоха, r — положение электрона, m — индекс зоны, а сумма ведется по всем N атомным узлам. Функция Блоха представляет собой точное собственное решение волновой функции электрона в периодическом кристаллическом потенциале, соответствующем энергии Em _. ( k ), и распространена по всему объему кристалла

Используя анализ преобразования Фурье , пространственно локализованную волновую функцию для m -го энергетического диапазона можно построить из нескольких функций Блоха:

$a_{m}\mathbf {(R_{n},r)} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }{e^{\mathbf {-ik\cdot R_{n}} }\psi _{m}\mathbf {(k,r)} }={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }{e^{\mathbf {ik\cdot (r-R_{n})} }u_{m}\mathbf {(k,r)} }.$

Эти реальные космические волновые функции ${a_{m}\mathbf {(R_{n},r)} }$ называются функциями Ванье довольно близко локализованы в атомном узле Rn _. и Конечно, если у нас есть точные функции Ванье , точные функции Блоха можно получить с помощью обратного преобразования Фурье.

непросто Однако непосредственно вычислить функции Блоха или функции Ванье . Приближенный подход необходим при расчете электронной структуры твердых тел. Если мы рассмотрим крайний случай изолированных атомов, функция Ванье станет изолированной атомной орбиталью. Этот предел предполагает выбор атомной волновой функции в качестве приближенной формы функции Ванье, так называемого приближения сильной связи.

Второе квантование

Современные объяснения электронной структуры, такие как модель tJ и модель Хаббарда, основаны на модели жесткой связи. Жесткую привязку можно понять, работая в рамках формализма вторичного квантования .

Используя атомную орбиталь в качестве базового состояния, оператор Гамильтона второго квантования в рамках сильной связи можно записать как:

$H=-t\sum _{\langle i,j\rangle ,\sigma }(c_{i,\sigma }^{\dagger }c_{j,\sigma }^{}+h.c.)$,

$c_{i\sigma }^{\dagger },c_{j\sigma }$ - операторы создания и уничтожения

$\displaystyle \sigma$ - спиновая поляризация

$\displaystyle t$ - прыгающий интеграл

$\displaystyle \langle i,j\rangle$ - индекс ближайшего соседа

$\displaystyle h.c.$ - эрмитово сопряжение другого термина(ов)

Здесь прыгающий интеграл $\displaystyle t$ соответствует интегралу переноса $\displaystyle \gamma$ в модели с жестким переплетом. Учитывая крайние случаи $t\rightarrow 0$, электрон не может перепрыгнуть на соседние узлы. Этот случай представляет собой изолированную атомную систему. Если параметр скачкообразного изменения включен ( $\displaystyle t>0$) электроны могут оставаться в обоих местах, понижая свою кинетическую энергию .

В сильнокоррелированной электронной системе необходимо учитывать электрон-электронное взаимодействие. Этот термин можно записать в

$\displaystyle H_{ee}={\frac {1}{2}}\sum _{n,m,\sigma }\langle n_{1}m_{1},n_{2}m_{2}|{\frac {e^{2}}{|r_{1}-r_{2}|}}|n_{3}m_{3},n_{4}m_{4}\rangle c_{n_{1}m_{1}\sigma _{1}}^{\dagger }c_{n_{2}m_{2}\sigma _{2}}^{\dagger }c_{n_{4}m_{4}\sigma _{2}}c_{n_{3}m_{3}\sigma _{1}}$

Этот гамильтониан взаимодействия включает в себя энергию прямого кулоновского взаимодействия и энергию обменного взаимодействия между электронами. Существует несколько новых физических явлений, вызванных этой энергией электрон-электронного взаимодействия, таких как переходы металл-изолятор (MIT), высокотемпературная сверхпроводимость и несколько квантовых фазовых переходов .

Пример: одномерный s-диапазон

Здесь модель сильной связи проиллюстрирована моделью s-зоны для цепочки атомов с одной s-орбиталью, расположенной по прямой линии с расстоянием связями a и σ между атомными .

Чтобы найти приближенные собственные состояния гамильтониана, мы можем использовать линейную комбинацию атомных орбиталей

$|k\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n=1}^{N}e^{inka}|n\rangle$

где N = общее количество сайтов и $k$ реальный параметр с $-{\frac {\pi }{a}}\leqq k\leqq {\frac {\pi }{a}}$. (Эта волновая функция нормируется к единице ведущим множителем 1/√N при условии, что перекрытие атомных волновых функций игнорируется.) Предполагая перекрытие только ближайших соседей, единственные ненулевые матричные элементы гамильтониана могут быть выражены как

$\langle n|H|n\rangle =E_{0}=E_{i}-U\ .$

$\langle n\pm 1|H|n\rangle =-\Delta \$

$\langle n|n\rangle =1\ ;$   $\langle n\pm 1|n\rangle =S\ .$

Энергия E _i — это энергия ионизации, соответствующая выбранной атомной орбитали, а U — энергетический сдвиг орбитали в результате потенциала соседних атомов. $\langle n\pm 1|H|n\rangle =-\Delta$ элементы, являющиеся межатомными матричными элементами Слейтера и Костера , представляют собой энергии связи $E_{i,j}$. В этой одномерной модели s-диапазона мы имеем только $\sigma$-связи между s-орбиталями с энергией связи $E_{s,s}=V_{ss\sigma }$. Перекрытие состояний соседних атомов S. равно Мы можем получить энергию состояния $|k\rangle$ используя приведенное выше уравнение:

$H|k\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n}e^{inka}H|n\rangle$

$\langle k|H|k\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{n,\ m}e^{i(n-m)ka}\langle m|H|n\rangle$ $={\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n|H|n\rangle +{\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n-1|H|n\rangle e^{+ika}+{\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n+1|H|n\rangle e^{-ika}$ $=E_{0}-2\Delta \,\cos(ka)\ ,$

где, например,

${\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n|H|n\rangle =E_{0}{\frac {1}{N}}\sum _{n}1=E_{0}\ ,$

и

${\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n-1|H|n\rangle e^{+ika}=-\Delta e^{ika}{\frac {1}{N}}\sum _{n}1=-\Delta e^{ika}\ .$

${\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n-1|n\rangle e^{+ika}=Se^{ika}{\frac {1}{N}}\sum _{n}1=Se^{ika}\ .$

Таким образом, энергия этого состояния $|k\rangle$ можно представить в привычном виде дисперсии энергии:

$E(k)={\frac {E_{0}-2\Delta \,\cos(ka)}{1+2S\,\cos(ka)}}$.

• Для $k=0$ энергия $E=(E_{0}-2\Delta )/(1+2S)$ а состояние состоит из суммы всех атомных орбиталей. Это состояние можно рассматривать как цепочку связывающих орбиталей .
• Для $k=\pi /(2a)$ энергия $E=E_{0}$ а состояние состоит из суммы атомных орбиталей, которые являются фактором $e^{i\pi /2}$ не в фазе. Это состояние можно рассматривать как цепочку несвязывающих орбиталей .
• Наконец для $k=\pi /a$ энергия $E=(E_{0}+2\Delta )/(1-2S)$ и состояние состоит из знакопеременной суммы атомных орбиталей. Это состояние можно рассматривать как цепочку разрыхляющих орбиталей .

Этот пример легко расширить на три измерения, например, на объемноцентрированную кубическую или гранецентрированную кубическую решетку, вводя местоположения векторов ближайших соседей вместо просто na . Аналогично, метод можно распространить на несколько зон, используя несколько разных атомных орбиталей в каждом месте. Общая формулировка, приведенная выше, показывает, как можно осуществить эти расширения.

Таблица межатомных матричных элементов

В 1954 году Дж. К. Слейтер и Г. Ф. Костер опубликовали, главным образом для расчета d-зон переходных металлов , таблицу межатомных матричных элементов.

$E_{i,j}({\vec {\mathbf {r} }}_{n,n'})=\langle n,i|H|n',j\rangle$

которую также можно напрямую вывести из кубических гармонических орбиталей . В таблице матричные элементы представлены как функции ЛКАО интегралов двухцентровых связей между двумя кубическими гармоническими орбиталями i и j на соседних атомах. Интегралами связи являются, например, $V_{ss\sigma }$, $V_{pp\pi }$ и $V_{dd\delta }$ для сигма- , пи- и дельта -связей (обратите внимание, что эти интегралы также должны зависеть от расстояния между атомами, т.е. являются функцией $(l,m,n)$, хотя это не всегда явно указывается.).

Межатомный вектор выражается как

${\vec {\mathbf {r} }}_{n,n'}=(r_{x},r_{y},r_{z})=d(l,m,n)$

где d — расстояние между атомами, а l , m и n — направляющие косинусы к соседнему атому.

$E_{s,s}=V_{ss\sigma }$

$E_{s,x}=lV_{sp\sigma }$

$E_{x,x}=l^{2}V_{pp\sigma }+(1-l^{2})V_{pp\pi }$

$E_{x,y}=lmV_{pp\sigma }-lmV_{pp\pi }$

$E_{x,z}=lnV_{pp\sigma }-lnV_{pp\pi }$

$E_{s,xy}={\sqrt {3}}lmV_{sd\sigma }$

$E_{s,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}(l^{2}-m^{2})V_{sd\sigma }$

$E_{s,3z^{2}-r^{2}}=[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{sd\sigma }$

$E_{x,xy}={\sqrt {3}}l^{2}mV_{pd\sigma }+m(1-2l^{2})V_{pd\pi }$

$E_{x,yz}={\sqrt {3}}lmnV_{pd\sigma }-2lmnV_{pd\pi }$

$E_{x,zx}={\sqrt {3}}l^{2}nV_{pd\sigma }+n(1-2l^{2})V_{pd\pi }$

$E_{x,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}l(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }+l(1-l^{2}+m^{2})V_{pd\pi }$

$E_{y,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}m(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }-m(1+l^{2}-m^{2})V_{pd\pi }$

$E_{z,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}n(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }-n(l^{2}-m^{2})V_{pd\pi }$

$E_{x,3z^{2}-r^{2}}=l[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }-{\sqrt {3}}ln^{2}V_{pd\pi }$

$E_{y,3z^{2}-r^{2}}=m[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }-{\sqrt {3}}mn^{2}V_{pd\pi }$

$E_{z,3z^{2}-r^{2}}=n[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }+{\sqrt {3}}n(l^{2}+m^{2})V_{pd\pi }$

$E_{xy,xy}=3l^{2}m^{2}V_{dd\sigma }+(l^{2}+m^{2}-4l^{2}m^{2})V_{dd\pi }+(n^{2}+l^{2}m^{2})V_{dd\delta }$

$E_{xy,yz}=3lm^{2}nV_{dd\sigma }+ln(1-4m^{2})V_{dd\pi }+ln(m^{2}-1)V_{dd\delta }$

$E_{xy,zx}=3l^{2}mnV_{dd\sigma }+mn(1-4l^{2})V_{dd\pi }+mn(l^{2}-1)V_{dd\delta }$

$E_{xy,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}lm(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }+2lm(m^{2}-l^{2})V_{dd\pi }+[lm(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }$

$E_{yz,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}mn(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }-mn[1+2(l^{2}-m^{2})]V_{dd\pi }+mn[1+(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }$

$E_{zx,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}nl(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }+nl[1-2(l^{2}-m^{2})]V_{dd\pi }-nl[1-(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }$

$E_{xy,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[lm(n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)V_{dd\sigma }-2lmn^{2}V_{dd\pi }+[lm(1+n^{2})/2]V_{dd\delta }\right]$

$E_{yz,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[mn(n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)V_{dd\sigma }+mn(l^{2}+m^{2}-n^{2})V_{dd\pi }-[mn(l^{2}+m^{2})/2]V_{dd\delta }\right]$

$E_{zx,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[ln(n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)V_{dd\sigma }+ln(l^{2}+m^{2}-n^{2})V_{dd\pi }-[ln(l^{2}+m^{2})/2]V_{dd\delta }\right]$

$E_{x^{2}-y^{2},x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{4}}(l^{2}-m^{2})^{2}V_{dd\sigma }+[l^{2}+m^{2}-(l^{2}-m^{2})^{2}]V_{dd\pi }+[n^{2}+(l^{2}-m^{2})^{2}/4]V_{dd\delta }$

$E_{x^{2}-y^{2},3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[(l^{2}-m^{2})[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{dd\sigma }/2+n^{2}(m^{2}-l^{2})V_{dd\pi }+[(1+n^{2})(l^{2}-m^{2})/4]V_{dd\delta }\right]$

$E_{3z^{2}-r^{2},3z^{2}-r^{2}}=[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]^{2}V_{dd\sigma }+3n^{2}(l^{2}+m^{2})V_{dd\pi }+{\frac {3}{4}}(l^{2}+m^{2})^{2}V_{dd\delta }$

Не все межатомные матричные элементы перечислены явно. Элементы матрицы, не указанные в этой таблице, могут быть построены перестановкой индексов и косинусов других элементов матрицы в таблице. Обратите внимание, что замена орбитальных индексов означает взятие $(l,m,n)\rightarrow (-l,-m,-n)$, то есть $E_{\alpha ,\beta }(l,m,n)=E_{\beta ,\alpha }(-l,-m,-n)$. Например, $E_{x,s}=-lV_{sp\sigma }$.

См. также

• Электронная зонная структура
• Модель почти свободных электронов
• Теоремы Блоха
• Модель Кронига-Пенни
• поверхность Ферми
• Функция Ванье
• Модель Хаббарда
• модель tJ
• Эффективная масса
• Правило Андерсона
• Динамическая теория дифракции
• Физика твердого тела
• Метод линейной комбинации атомных орбиталей молекулярных орбиталей (ЛКАО)
• Метод Гольштейна – Херринга
• Замена Пайерлса
• метод Хюккеля

Ссылки

• Н. В. Эшкрофт и Н. Д. Мермин, Физика твердого тела (Thomson Learning, Торонто, 1976).
• Стивен Бланделл «Магнетизм в конденсированном состоянии» (Оксфорд, 2001).
• С.Маекава и др. Физика оксидов переходных металлов (Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004).
• Джон Синглтон Зонная теория и электронные свойства твердых тел (Оксфорд, 2001).

Дальнейшее чтение

• Уолтер Эшли Харрисон (1989). Электронная структура и свойства твердых тел . Дуврские публикации. ISBN  0-486-66021-4 .
• Н. В. Эшкрофт и Н. Д. Мермин (1976). Физика твердого тела . Торонто: Thomson Learning.
• Дэвис, Джон Х. (1998). Физика низкоразмерных полупроводников: Введение . Кембридж, Соединенное Королевство: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-48491-Х .
• Гориндж, CM; Боулер, ДР; Эрнандес, Э (1997). «Жесткая привязка моделирования материалов». Отчеты о прогрессе в физике . 60 (12): 1447–1512. Бибкод : 1997РПФ...60.1447Г . дои : 10.1088/0034-4885/60/12/001 . S2CID   250846071 .
• Слейтер, Дж. К.; Костер, Г. Ф. (1954). «Упрощенный метод ЛКАО для задачи периодического потенциала». Физический обзор . 94 (6): 1498–1524. Бибкод : 1954PhRv...94.1498S . дои : 10.1103/PhysRev.94.1498 .

Внешние ссылки

• Теория кристаллического поля, метод сильной связи и эффект Яна-Теллера в книге Э. Паварини, Э. Коха, Ф. Андерса и М. Джаррелла (ред.): Коррелированные электроны: от моделей к материалам, Юлих, 2012 г., ISBN   978-3-89336-796-2
• Tight-Binding Studio : пакет технического программного обеспечения для поиска параметров гамильтониана сильной связи