Приближение пустой решетки

Приближение пустой решетки представляет собой теоретическую модель зонной электронной структуры , в которой потенциал является периодическим и слабым (близким к постоянному). Можно также рассмотреть пустое ^{[ нужны разъяснения ]} неправильная решетка, в которой потенциал даже не является периодическим. ^[1] Приближение пустой решетки описывает ряд свойств законов дисперсии энергии невзаимодействующих свободных электронов , движущихся через кристаллическую решетку . Энергия электронов в «пустой решетке» такая же, как энергия свободных электронов. Модель полезна, поскольку она ясно иллюстрирует ряд иногда очень сложных особенностей законов дисперсии энергии в твердых телах, которые являются фундаментальными для всех электронных зонных структур.

Рассеяние и периодичность

Зоны свободных электронов в одномерной решетке

Периодический потенциал решетки в этой модели свободных электронов должен быть слабым, потому что в противном случае электроны не были бы свободными. Сила рассеяния в основном зависит от геометрии и топологии системы. Топологически определенные параметры, такие как рассеяния сечения , зависят от величины потенциала и размера потенциальной ямы . Для одно-, двух- и трехмерных пространств потенциальные ямы всегда рассеивают волны, независимо от того, насколько малы их потенциалы, каковы их знаки или насколько ограничены их размеры. Для частицы в одномерной решетке, такой как модель Кронига – Пенни , можно рассчитать зонную структуру аналитически, подставив значения потенциала, шага решетки и размера потенциальной ямы. ^[2] Для двух- и трехмерных задач сложнее точно рассчитать зонную структуру на основе аналогичной модели с небольшим количеством параметров. Тем не менее свойства зонной структуры в большинстве областей легко аппроксимировать методами возмущений .

Теоретически решетка бесконечно велика, поэтому слабый периодический потенциал рассеяния в конечном итоге окажется достаточно сильным, чтобы отразить волну. Процесс рассеяния приводит к хорошо известным брэгговским отражениям электронов от периодического потенциала кристаллической структуры . Отсюда возникает периодичность дисперсионного соотношения и разделение k-пространства на зоны Бриллюэна. Периодическое соотношение дисперсии энергии выражаетсякак:

E_{n}(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} +\mathbf {G} _{n})^{2}}{2m}}

The $\mathbf {G} _{n}$ — векторы обратной решетки , к которым относятся полосы ^{[ нужны разъяснения ]} $E_{n}(\mathbf {k} )$ принадлежать.

На рисунке справа показано дисперсионное уравнение для трех периодов в обратном пространстве одномерной решетки с ячейками решетки длины a .

Энергетические зоны и плотность состояний

В одномерной решетке количество векторов обратной решетки $\mathbf {G} _{n}$ которые определяют полосы в энергетическом интервале, ограничиваются двумя при повышении энергии. В двумерных и трехмерных решетках количество векторов обратной решетки, определяющих зоны свободных электронов $E_{n}(\mathbf {k} )$ увеличивается быстрее, когда длина волнового вектора увеличивается и энергия возрастает. Это связано с тем, что количество векторов обратной решетки $\mathbf {G} _{n}$ которые лежат в интервале $[\mathbf {k} ,\mathbf {k} +d\mathbf {k} ]$ увеличивается. Плотность состояний в интервале энергий $[E,E+dE]$ зависит от количества состояний в интервале $[\mathbf {k} ,\mathbf {k} +d\mathbf {k} ]$ в обратном пространстве и наклон дисперсионного соотношения $E_{n}(\mathbf {k} )$ .

Хотя ячейки решетки не являются сферически симметричными, дисперсионное уравнение все же имеет сферическую симметрию с точки зрения фиксированной центральной точки в ячейке обратной решетки, если дисперсионное уравнение распространяется за пределы центральной зоны Бриллюэна. Плотность состояний в трехмерной решетке будет такой же, как и в случае отсутствия решетки. Для трехмерного случая плотность состояний $D_{3}\left(E\right)$ является;

D_{3}\left(E\right)=2\pi {\sqrt {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{3}}}}\ .

В трехмерном пространстве границами зоны Бриллюэна являются плоскости. Дисперсионные соотношения показывают коники парабол дисперсии энергии свободных электронов для всех возможных векторов обратной решетки. Это приводит к очень сложному набору пересечений кривых при расчете дисперсионных соотношений, поскольку существует большое количество возможных углов между расчетными траекториями, границами зоны Бриллюэна первого и более высоких порядков и конусами пересечения дисперсионных парабол.

Вторая, третья и высшие зоны Бриллюэна

«Свободные электроны», которые движутся через решетку твердого тела с волновыми векторами. $\mathbf {k}$ далеко за пределами первой зоны Бриллюэна все еще отражаются обратно в первую зону Бриллюэна. см . в разделе внешних ссылок Сайты с примерами и рисунками .

Модель почти свободных электронов

В большинстве простых металлов , таких как алюминий , эффект экранирования сильно уменьшает электрическое поле ионов в твердом теле. Электростатический потенциал выражается как

V(r)={\frac {Ze}{r}}e^{-qr}

где Z — атомный номер , e — заряд элементарной единицы, r — расстояние до ядра внедренного иона, а q — параметр экранирования, определяющий диапазон потенциала. Преобразование Фурье , $U_{\mathbf {G} }$ , потенциала решетки, $V(\mathbf {r} )$ , выражается как

U_{\mathbf {G} }={\frac {4\pi Ze}{q^{2}+G^{2}}}

Когда значения недиагональных элементов $U_{\mathbf {G} }$ между векторами обратной решетки в гамильтониане практически стремятся к нулю. В результате величина запрещенной зоны $2|U_{\mathbf {G} }|$ коллапсирует и получается приближение пустой решетки.

Электронные зоны кристаллов обычных металлов

За некоторыми экзотическими исключениями, металлы кристаллизуются в трех типах кристаллических структур: кубических кристаллических структурах ОЦК и ГЦК и гексагональной плотноупакованной кристаллической структуре ГКП .

Объемноцентрированный куб (I)
Гранецентрированный куб (F)
Шестиугольные плотноупакованные

Полосы свободных электронов в кристаллической структуре ОЦК

Зоны свободных электронов в кристаллической структуре ГЦК

Полосы свободных электронов в кристаллической структуре ГПУ

Ссылки

^ Конспекты лекций по физике. П.Дирак, Фейнман Р., 1968. Интернет, Амазон, 25.03.2014.
^ К. Киттель (1953–1976). Введение в физику твердого тела . Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-49024-1 .

Внешние ссылки

[1] Конспекты лекций по физике. П.Дирак, Фейнман Р., 1968. Интернет, Амазон, 25.03.2014.

[Kittel-2] К. Киттель (1953–1976). Введение в физику твердого тела . Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-49024-1 .

[1]

[2]