Частица в одномерной решетке

В квантовой механике частица в одномерной решетке — это проблема, возникающая в модели периодической кристаллической решетки . Потенциал создается ионами в периодической структуре кристалла, создающими электромагнитное поле, поэтому электроны подвергаются регулярному потенциалу внутри решетки. Это обобщение модели свободных электронов , которая предполагает нулевой потенциал внутри решетки.

Определение проблемы

Когда речь идет о твердых материалах, речь идет в основном о кристаллах – периодических решетках. Здесь мы обсудим одномерную решетку положительных ионов. Если предположить, что расстояние между двумя ионами равно а , то потенциал в решетке будет выглядеть примерно так:

Математическим представлением потенциала является периодическая функция с периодом а . По теореме Блоха , решение волновой функции уравнения Шредингера , когда потенциал является периодическим, можно записать как:

$$\psi (x)=e^{ikx}u(x),$$

где u ( x ) - периодическая функция , которая удовлетворяет условию u ( x + a ) = u ( x ) . Это фактор Блоха с показателем Флоке. $k$ что приводит к зонной структуре энергетического спектра уравнения Шрёдингера с периодическим потенциалом типа потенциала Кронига–Пенни или косинус-функцией, как в уравнении Матье.

При приближении к краям решетки возникают проблемы с граничным условием. Поэтому мы можем представить ионную решетку в виде кольца, следуя граничным условиям Борна–фон Кармана . Если L — длина решетки так, что L ≫ a , то число ионов в решетке настолько велико, что при рассмотрении одного иона его окружение почти линейно, а волновая функция электрона не меняется. Итак, теперь вместо двух граничных условий мы получаем одно круговое граничное условие: $$\psi (0)=\psi (L).$$

Если N количество ионов в решетке, то имеем соотношение: aN = L. — Замена граничных условий и применение теоремы Блоха приведет к квантованию k : $$\psi (0)=e^{ik\cdot 0}u(0)=e^{ikL}u(L)=\psi (L)$$ $$u(0)=e^{ikL}u(L)=e^{ikL}u(Na)\to e^{ikL}=1$$ $$\Rightarrow kL=2\pi n\to k={2\pi \over L}n\qquad \left(n=0,\pm 1,\dots ,\pm {\frac {N}{2}}\right).$$

Модель Кронига – Пенни

Модель Кронига-Пенни (названа в честь Ральфа Кронига и Уильяма Пенни) . ) — простая идеализированная квантово-механическая система, состоящая из бесконечного периодического массива прямоугольных потенциальных барьеров .

Потенциальная функция аппроксимируется прямоугольным потенциалом:

Используя теорему Блоха , нам нужно найти решение только для одного периода, убедиться в его непрерывности и гладкости, а также убедиться, что функция u ( x ) также непрерывна и гладка.

Учитывая одиночный период потенциала:
У нас здесь два региона. Решим для каждого самостоятельно: Пусть E — значение энергии над ямой (E>0).

• Для $0<x<(a-b)$: $${\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=E\psi \\\Rightarrow \psi &=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}&\left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)\end{aligned}}$$
• Для $-b<x<0$: $${\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=(E+V_{0})\psi \\\Rightarrow \psi &=Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}&\left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).\end{aligned}}$$

Чтобы найти u ( x ) в каждой области, нам нужно манипулировать волновой функцией электрона: $${\begin{aligned}\psi (0<x<a-b)&=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)\\\Rightarrow u(0<x<a-b)&=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}.\end{aligned}}$$

И таким же образом: $$u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}.$$

Для завершения решения нам необходимо убедиться, что функция вероятности непрерывна и гладкая, т.е.: $$\psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+}).$$

И что u ( x ) и u′ ( x ) периодические: $$u(-b)=u(a-b)\qquad u'(-b)=u'(a-b).$$

Эти условия дают следующую матрицу: $${\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.$$

Чтобы мы имели нетривиальное решение, определитель матрицы должен быть равен 0. Это приводит нас к следующему выражению: $$\cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)].$$

Для дальнейшего упрощения выражения проведем следующие аппроксимации: $$b\to 0;\quad V_{0}\to \infty ;\quad V_{0}b=\mathrm {constant}$$ $$\Rightarrow \beta ^{2}b=\mathrm {constant} ;\quad \alpha ^{2}b\to 0$$ $$\Rightarrow \beta b\to 0;\quad \sin(\beta b)\to \beta b;\quad \cos(\beta b)\to 1.$$

Теперь выражение будет таким: $$\cos(ka)=\cos(\alpha a)+P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}},\qquad P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}.$$

Для значений энергии внутри ямы ( E < 0) получаем: $$\cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (a-b)]-{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (a-b)],$$ с $\alpha ^{2}={2m|E| \over \hbar ^{2}}$ и $\beta ^{2}={\frac {2m(V_{0}-|E|)}{\hbar ^{2}}}$.

Следуя тем же приближениям, что и выше ( $b\to 0;\,V_{0}\to \infty ;\,V_{0}b=\mathrm {constant}$), мы приходим к $$\cos(ka)=\cosh(\alpha a)+P{\frac {\sinh(\alpha a)}{\alpha a}}$$ с той же формулой для P, что и в предыдущем случае $\left(P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}\right)$.

Запрещенная зона в модели Кронига – Пенни.

Значение выражения, которому приравнивается cos(ka) в дисперсионном уравнении, при P = 1,5. Черные полосы обозначают регионы $\alpha a$ для которого можно вычислить k.

Дисперсионное уравнение для модели Кронига – Пенни с P = 1,5.

В предыдущем параграфе единственными переменными, не определяемыми параметрами физической системы, являются энергия E и импульс кристалла k . Выбрав значение для E , можно вычислить правую часть, а затем вычислить k , взяв $\arccos$ обеих сторон. Таким образом, выражение порождает дисперсионное соотношение .

Правая часть последнего выражения выше иногда может быть больше 1 или меньше –1, и в этом случае не существует значения k , которое могло бы сделать уравнение верным. С $\alpha a\propto {\sqrt {E}}$, это означает, что существуют определенные значения E , для которых нет собственных функций уравнения Шредингера. Эти значения составляют запрещенную зону .

Таким образом, модель Кронига – Пенни является одним из простейших периодических потенциалов, демонстрирующих запрещенную зону.

Модель Кронига – Пенни: альтернативное решение

Альтернативное лечение аналогичная проблема дана. Здесь мы имеем дельта -периодический потенциал: $$V(x)=A\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-na).$$

A — некоторая константа, а — постоянная решетки (расстояние между каждым узлом). Поскольку этот потенциал является периодическим, мы могли бы разложить его в ряд Фурье: $$V(x)=\sum _{K}{\tilde {V}}(K)\cdot e^{iKx},$$ где $${\tilde {V}}(K)={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\,V(x)\,e^{-iKx}={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\sum _{n=-\infty }^{\infty }A\cdot \delta (x-na)\,e^{-iKx}={\frac {A}{a}}.$$

Волновая функция, согласно теореме Блоха, равна $\psi _{k}(x)=e^{ikx}u_{k}(x)$ где $u_{k}(x)$ — функция, периодическая в решетке, а это значит, что мы можем разложить ее и в ряд Фурье: $$u_{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)e^{iKx}.$$

Таким образом, волновая функция: $$\psi _{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)\,e^{i(k+K)x}.$$

Подставляя это в уравнение Шредингера, мы получаем: $$\left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(K-K')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0$$ или скорее: $$\left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0$$

Теперь мы признаем, что: $$u_{k}(0)=\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')$$

Подставьте это в уравнение Шрёдингера: $$\left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}u_{k}(0)=0$$

Решая это для ${\tilde {u}}_{k}(K)$ мы получаем: $${\tilde {u}}_{k}(K)={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}f(k)}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)$$

Суммируем это последнее уравнение по всем значениям K, чтобы получить: $$\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)$$

Или: $$u_{k}(0)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)$$

Удобно, $u_{k}(0)$ сокращается и мы получаем: $$1=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}$$

Или: $${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}$$

Чтобы избавить себя от ненужных усилий по обозначению, мы определяем новую переменную: $$\alpha ^{2}:={\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}$$ и, наконец, наше выражение: $${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+K)^{2}}}$$

Теперь K — вектор обратной решетки, а это означает, что сумма по K на самом деле является суммой по целым кратным числам. ${\frac {2\pi }{a}}$: $${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}$$

Мы можем немного подтасовать это выражение, чтобы сделать его более наглядным (используйте разложение на частичные дроби ): $${\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}\\&=-{\frac {1}{2\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})-\alpha }}-{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})+\alpha }}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\end{aligned}}$$

Если мы используем хорошее тождество суммы котангенса ( уравнение 18 ), которое гласит: $$\cot(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi n+2x}}-{\frac {1}{2\pi n-2x}}$$ и подставим его в наше выражение, получим: $${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]$$

Мы используем сумму раскладок , а затем произведение греха (которое является частью формулы суммы раскладушек ), чтобы получить: $$\cos(ka)=\cos(\alpha a)+{\frac {mA}{\hbar ^{2}\alpha }}\sin(\alpha a)$$

Это уравнение показывает связь между энергией (через α ) и волновым вектором k , и, как вы можете видеть, поскольку левая часть уравнения может находиться в диапазоне только от −1 до 1 , то существуют некоторые ограничения на значения. которые может принимать α (и, следовательно, энергия), то есть в некоторых диапазонах значений энергии нет решения согласно этим уравнениям, и, следовательно, система не будет иметь этих энергий: энергетических щелей. Это так называемые запрещенные зоны, существование которых можно показать в любой форме периодического потенциала (а не только в дельта- или квадратных барьерах).

Другой и подробный расчет формулы щели (т. е. щели между зонами) и расщепления уровней собственных значений одномерного уравнения Шредингера см. Мюллера-Кирстена. Соответствующие результаты для косинусного потенциала (уравнение Матье) также подробно приведены в этой ссылке.

Конечная решетка

В некоторых случаях уравнение Шредингера можно решить аналитически на одномерной решетке конечной длины. с использованием теории периодических дифференциальных уравнений. Предполагается, что длина решетки равна $L=Na$, где $a$ потенциальный период и количество периодов $N$ является положительным целым числом. Два конца решетки находятся на $\tau$ и $L+\tau$, где $\tau$ определяет точку завершения. Волновая функция обращается в нуль вне интервала $[\tau ,L+\tau ]$.

Собственные состояния конечной системы можно найти через блоховские состояния бесконечной системы с тем же периодическим потенциалом. Если между двумя последовательными энергетическими зонами бесконечной системы существует запрещенная зона, существует резкое различие между двумя типами состояний в конечной решетке. Для каждой энергетической зоны бесконечной системы существуют $N-1$ объемные состояния, энергия которых зависит от длины $N$ но не при прекращении $\tau$. Эти состояния представляют собой стоячие волны, построенные как суперпозиция двух блоховских состояний с импульсами $k$ и $-k$, где $k$ выбирается так, чтобы волновая функция на границах обращалась в нуль. Энергии этих состояний соответствуют энергетическим зонам бесконечной системы.

Для каждой запрещенной зоны существует одно дополнительное состояние. Энергии этих состояний зависят от точки окончания $\tau$ но не по длине $N$. Энергия такого состояния может лежать либо на краю зоны, либо внутри запрещенной зоны. Если энергия находится в пределах запрещенной зоны, состояние представляет собой поверхностное состояние, локализованное на одном конце решетки, но если энергия находится на краю зоны, состояние делокализовано поперек решетки.

См. также

• Модель свободных электронов
• Приближение пустой решетки
• Модель почти свободных электронов
• Кристаллическая структура
• функция Матье

Внешние ссылки

• « Модель Кронига-Пенни » Майкла Краучера, интерактивный расчет одномерной периодической потенциальной зонной структуры с использованием Mathematica , из Демонстрационного проекта Wolfram .