Неполные функции Бесселя

В математике неполные функции Бесселя представляют собой типы специальных функций полного типа , которые действуют как своего рода расширение функций Бесселя .

Определение

Неполные функции Бесселя определяются как те же дифференциальные уравнения с запаздыванием, полного типа что и функции Бесселя :

$J_{v-1}(z,w)-J_{v+1}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}J_{v}(z,w)$

$Y_{v-1}(z,w)-Y_{v+1}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}Y_{v}(z,w)$

$I_{v-1}(z,w)+I_{v+1}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}I_{v}(z,w)$

$K_{v-1}(z,w)+K_{v+1}(z,w)=-2{\dfrac {\partial }{\partial z}}K_{v}(z,w)$

$H_{v-1}^{(1)}(z,w)-H_{v+1}^{(1)}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}H_{v}^{(1)}(z,w)$

$H_{v-1}^{(2)}(z,w)-H_{v+1}^{(2)}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}H_{v}^{(2)}(z,w)$

И следующие подходящие формы расширения дифференциальных уравнений с запаздыванием от функций Бесселя полного типа :

$J_{v-1}(z,w)+J_{v+1}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}J_{v}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}J_{v}(z,w)$

$Y_{v-1}(z,w)+Y_{v+1}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}Y_{v}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}Y_{v}(z,w)$

$I_{v-1}(z,w)-I_{v+1}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}I_{v}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}I_{v}(z,w)$

$K_{v-1}(z,w)-K_{v+1}(z,w)=-{\dfrac {2v}{z}}K_{v}(z,w)+{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}K_{v}(z,w)$

$H_{v-1}^{(1)}(z,w)+H_{v+1}^{(1)}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}H_{v}^{(1)}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}H_{v}^{(1)}(z,w)$

$H_{v-1}^{(2)}(z,w)+H_{v+1}^{(2)}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}H_{v}^{(2)}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}H_{v}^{(2)}(z,w)$

Где новый параметр $w$ определяет интегральную оценку верхней неполной формы и нижней неполной формы модифицированной функции Бесселя второго рода :

$K_{v}(z,w)=\int _{w}^{\infty }e^{-z\cosh t}\cosh vt~dt$

$J_{v}(z,w)=\int _{0}^{w}e^{-z\cosh t}\cosh vt~dt$

Характеристики

$J_{v}(z,w)=J_{v}(z)+{\dfrac {e^{\frac {v\pi i}{2}}J(iz,v,w)-e^{-{\frac {v\pi i}{2}}}J(-iz,v,w)}{i\pi }}$

$Y_{v}(z,w)=Y_{v}(z)+{\dfrac {e^{\frac {v\pi i}{2}}J(iz,v,w)+e^{-{\frac {v\pi i}{2}}}J(-iz,v,w)}{\pi }}$

$I_{-v}(z,w)=I_{v}(z,w)$ для целого числа $v$

$I_{-v}(z,w)-I_{v}(z,w)=I_{-v}(z)-I_{v}(z)-{\dfrac {2\sin v\pi }{\pi }}J(z,v,w)$

$I_{v}(z,w)=I_{v}(z)+{\dfrac {J(-z,v,w)-e^{-v\pi i}J(z,v,w)}{i\pi }}$

$I_{v}(z,w)=e^{-{\frac {v\pi i}{2}}}J_{v}(iz,w)$

$K_{-v}(z,w)=K_{v}(z,w)$

$K_{v}(z,w)={\dfrac {\pi }{2}}{\dfrac {I_{-v}(z,w)-I_{v}(z,w)}{\sin v\pi }}$ для нецелого числа $v$

$H_{v}^{(1)}(z,w)=J_{v}(z,w)+iY_{v}(z,w)$

$H_{v}^{(2)}(z,w)=J_{v}(z,w)-iY_{v}(z,w)$

$H_{-v}^{(1)}(z,w)=e^{v\pi i}H_{v}^{(1)}(z,w)$

$H_{-v}^{(2)}(z,w)=e^{-v\pi i}H_{v}^{(2)}(z,w)$

$H_{v}^{(1)}(z,w)={\dfrac {J_{-v}(z,w)-e^{-v\pi i}J_{v}(z,w)}{i\sin v\pi }}={\dfrac {Y_{-v}(z,w)-e^{-v\pi i}Y_{v}(z,w)}{\sin v\pi }}$ для нецелого числа $v$

$H_{v}^{(2)}(z,w)={\dfrac {e^{v\pi i}J_{v}(z,w)-J_{-v}(z,w)}{i\sin v\pi }}={\dfrac {Y_{-v}(z,w)-e^{v\pi i}Y_{v}(z,w)}{\sin v\pi }}$ для нецелого числа $v$

Дифференциальные уравнения

$K_{v}(z,w)$ удовлетворяет неоднородному дифференциальному уравнению Бесселя

$z^{2}{\dfrac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\dfrac {dy}{dz}}-(x^{2}+v^{2})y=(v\sinh vw+z\cosh vw\sinh w)e^{-z\cosh w}$

Оба $J_{v}(z,w)$ , $Y_{v}(z,w)$ , $H_{v}^{(1)}(z,w)$ и $H_{v}^{(2)}(z,w)$ удовлетворяют уравнению в частных производных

$z^{2}{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial z^{2}}}+z{\dfrac {\partial y}{\partial z}}+(z^{2}-v^{2})y-{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial w^{2}}}+2v\tanh vw{\dfrac {\partial y}{\partial w}}=0$

Оба $I_{v}(z,w)$ и $K_{v}(z,w)$ удовлетворяют уравнению в частных производных

$z^{2}{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial z^{2}}}+z{\dfrac {\partial y}{\partial z}}-(z^{2}+v^{2})y-{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial w^{2}}}+2v\tanh vw{\dfrac {\partial y}{\partial w}}=0$

Интегральные представления

На основании приведенных выше предварительных определений можно было бы непосредственно вывести следующие интегральные формы $J_{v}(z,w)$ , $Y_{v}(z,w)$:

${\begin{aligned}J_{v}(z,w)&=J_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi i}}\left(\int _{0}^{w}e^{{\frac {v\pi i}{2}}-iz\cosh t}\cosh vt~dt-\int _{0}^{w}e^{iz\cosh t-{\frac {v\pi i}{2}}}\cosh vt~dt\right)\\&=J_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi i}}\left(\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt-i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right.\\&\quad \quad \quad \quad \quad \quad \left.-\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt-i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right)\\&=J_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi i}}\left(-2i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right)\\&=J_{v}(z)-{\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\end{aligned}}$

${\begin{aligned}Y_{v}(z,w)&=Y_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi }}\left(\int _{0}^{w}e^{{\frac {v\pi i}{2}}-iz\cosh t}\cosh vt~dt+\int _{0}^{w}e^{iz\cosh t-{\frac {v\pi i}{2}}}\cosh vt~dt\right)\\&=Y_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi }}\left(\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt-i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right.\\&\quad \quad \quad \quad \quad \quad \left.+\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt+i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right)\\&=Y_{v}(z)+{\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\end{aligned}}$

С помощью интегральных выражений Мелера – Сонина $J_{v}(z)={\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt$ и $Y_{v}(z)=-{\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt$ упоминается в Электронной библиотеке математических функций ,

мы можем еще больше упростить $J_{v}(z,w)={\dfrac {2}{\pi }}\int _{w}^{\infty }\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt$ и $Y_{v}(z,w)=-{\dfrac {2}{\pi }}\int _{w}^{\infty }\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt$ , но вопрос не совсем хороший, так как диапазон сходимости сильно уменьшится до $|v|<1$.

Внешние ссылки

• Агрест, Матест М.; Максимов, Михаил С. (1971). Теория неполных цилиндрических функций и их приложения . Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN  978-3-642-65023-9 .
• Чикетти, Р.; Фараоне, А. (декабрь 2004 г.). «Неполные функции Ханкеля и модифицированные функции Бесселя: класс специальных функций для электромагнетизма». Транзакции IEEE по антеннам и распространению . 52 (12): 3373–3389. Бибкод : 2004ITAP...52.3373C . дои : 10.1109/TAP.2004.835269 . S2CID   25089438 .
• Джонс, DS (октябрь 2007 г.). «Неполные функции Бесселя. II. Асимптотические разложения при большом аргументе» . Труды Эдинбургского математического общества . 50 (3): 711–723. дои : 10.1017/S0013091505000908 .