Реконструкция сигнала

В сигналов обработке реконструкция обычно означает определение исходного непрерывного сигнала из последовательности равноотстоящих отсчетов.

В этой статье используется обобщенный абстрактный математический подход к выборке и реконструкции сигналов. Более практичный подход, основанный на сигналах с ограниченной полосой частот, см. в формуле интерполяции Уиттекера-Шеннона .

Общий принцип

Пусть F — любой метод выборки, т. е. линейное отображение гильбертова пространства функций, интегрируемых с квадратом. $L^{2}$ в сложное пространство $\mathbb {C} ^{n}$.

В нашем примере векторное пространство дискретизированных сигналов $\mathbb {C} ^{n}$ является n -мерным комплексным пространством. Любое предлагаемое обратное R к F ( формула реконструкции на жаргоне) должно будет отображать $\mathbb {C} ^{n}$ к некоторому подмножеству $L^{2}$. Мы могли бы выбрать это подмножество произвольно, но если нам нужна формула восстановления R, которая также является линейным отображением, тогда нам нужно выбрать n -мерное линейное подпространство $L^{2}$.

Тот факт, что размеры должны согласовываться, связан с теоремой выборки Найквиста-Шеннона .

Здесь работает элементарный подход линейной алгебры. Позволять $d_{k}:=(0,...,0,1,0,...,0)$ (все записи нулевые, за исключением k -й записи, которая равна единице) или какой-либо другой базис $\mathbb {C} ^{n}$. Чтобы определить обратную функцию для F , просто выберите для k каждого $e_{k}\in L^{2}$ так что $F(e_{k})=d_{k}$. Это однозначно определяет (псевдо)обратное значение F .

Конечно, можно сначала выбрать некоторую формулу восстановления, а затем либо вычислить некоторый алгоритм выборки на основе формулы восстановления, либо проанализировать поведение данного алгоритма выборки по отношению к данной формуле.

В идеале формула реконструкции выводится путем минимизации ожидаемой дисперсии ошибки. Для этого необходимо, чтобы либо была известна статистика сигнала, либо могла быть указана априорная вероятность сигнала. В таком случае теория информационного поля является подходящим математическим формализмом для вывода оптимальной формулы реконструкции.

Популярные формулы реконструкции

Вероятно, наиболее широко используемая формула реконструкции выглядит следующим образом. Позволять $\{e_{k}\}$ быть основой $L^{2}$ в смысле гильбертова пространства; например, можно использовать эйконал

$e_{k}(t):=e^{2\pi ikt}\,$,

хотя, конечно, возможны и другие варианты. Обратите внимание, что здесь индекс k может быть любым целым числом, даже отрицательным.

Тогда мы можем определить линейное отображение R следующим образом:

$R(d_{k})=e_{k}\,$

для каждого $k=\lfloor -n/2\rfloor ,...,\lfloor (n-1)/2\rfloor$, где $(d_{k})$ является основой $\mathbb {C} ^{n}$ данный

$d_{k}(j)=e^{2\pi ijk \over n}$

(Это обычный дискретный базис Фурье.)

Выбор диапазона $k=\lfloor -n/2\rfloor ,...,\lfloor (n-1)/2\rfloor$ является несколько произвольным, хотя и удовлетворяет требованию размерности и отражает обычное представление о том, что наиболее важная информация содержится в низких частотах. В некоторых случаях это неверно, поэтому необходимо выбрать другую формулу восстановления.

Аналогичный подход можно получить, используя вейвлеты вместо базисов Гильберта. Для многих приложений лучший подход сегодня до сих пор не ясен.

См. также

• Псевдонимы
• Теорема выборки Найквиста – Шеннона
• Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона