Самоподобное решение

При изучении уравнений в частных производных , особенно в гидродинамике , самоподобное решение — это форма решения, которая подобна самой себе, если независимые и зависимые переменные соответствующим образом масштабированы. Автомодельные решения появляются всякий раз, когда задача не имеет характерной длины или масштаба времени (например, пограничный слой Блазиуса бесконечной пластины, но не пластины конечной длины). К ним относятся, например, пограничный слой Блазиуса или оболочка Седова–Тейлора . ^[1]^[2]

Концепция

Мощным инструментом в физике является концепция анализа размерностей и законов масштабирования. Изучая физические эффекты, присутствующие в системе, мы можем оценить их размер и, следовательно, которыми, например, можно пренебречь. В некоторых случаях система может не иметь фиксированной естественной длины или масштаба времени, а решение зависит от пространства или времени. Затем необходимо построить шкалу, используя пространство или время и другие присутствующие размерные величины, такие как вязкость. $\nu$ . Эти конструкции не «угадываются», а выводятся непосредственно из масштабирования основных уравнений.

Классификация

Нормальное самоподобное решение также называют самоподобным решением первого рода , поскольку для задач конечного размера существует другой тип самоподобия, который не может быть получен из анализа размерностей , известный как самоподобное решение. второго рода .

Автомодельное решение второго рода

Раннее выявление автомодельных решений второго рода можно найти в задачах о схлопывающихся ударных волнах ( задача Гудерли–Ландау–Станюковича ), проанализированных Г. Гудерли (1942) и Львом Ландау и К. П. Станюковичем (1944), ^[3] и распространение ударных волн коротким импульсом, проанализированное Карлом Фридрихом фон Вайцзеккером. ^[4] и Яков Борисович Зельдович (1956), который также впервые отнес его ко второму виду. ^[5] Полное описание сделано в 1972 году Григорием Баренблаттом и Яковом Борисовичем Зельдовичем . ^[6] Автомодельное решение второго рода также появляется в различных контекстах, например, в задачах пограничного слоя, подверженных небольшим возмущениям, ^[7] как было установлено Китом Стюартсоном , ^[8] Пол А. Либби и Герберт Фокс. ^[9] Вихри Моффата также являются автомодельным решением второго рода.

Пример: задача Рэлея

Простой пример — полубесконечная область, ограниченная твердой стенкой и заполненная вязкой жидкостью. ^[10] Во время $t=0$ стена движется с постоянной скоростью $U$ в фиксированном направлении (для определенности скажем $x$ направлении и рассматривать только $x-y$ плоскости), видно, что в задаче не задан выделенный масштаб длины. Это известно как проблема Рэлея . Граничные условия прилипания: $u{(y\!=\!0)}=U$

Кроме того, условие, что пластина не оказывает влияния на жидкость на бесконечности, выполняется как $u{(y\!\to \!\infty )}=0.$

Теперь из уравнений Навье-Стокса $\rho \left({\dfrac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+{\vec {u}}\cdot \nabla {\vec {u}}\right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}{\vec {u}}$ можно заметить, что этот поток будет прямолинейным с градиентами в $y$ направление и течение в $x$ направлении, и что член давления не будет иметь тангенциальной составляющей, так что ${\dfrac {\partial p}{\partial y}}=0$ . $x$ тогда компонента уравнений Навье-Стокса становится ${\dfrac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}=\nu \partial _{y}^{2}{\vec {u}}$ и аргументы масштабирования могут быть применены, чтобы показать, что ${\frac {U}{t}}\sim \nu {\frac {U}{y^{2}}}$ что дает масштабирование $y$ координировать как $y\sim (\nu t)^{1/2}$ .

Это позволяет сформулировать самоподобный анзац такой, что при $f$ и $\eta$ безразмерный, $u=Uf\left(\eta \equiv {\dfrac {y}{(\nu t)^{1/2}}}\right)$

Вышеупомянутое содержит всю необходимую физику, и следующим шагом будет решение уравнений, которое во многих случаях будет включать численные методы. Это уравнение $-\eta f'/2=f''$ с решением, удовлетворяющим граничным условиям, которые $f=1-\operatorname {erf} (\eta /2)\quad {\text{ or }}\quad u=U\left(1-\operatorname {erf} \left(y/(4\nu t)^{1/2}\right)\right)$ что является автомодельным решением первого рода.

Ссылки

^ Граттон, Дж. (1991). Подобие и самоподобие в гидродинамике . Основы космической физики. Том. 15. Нью-Йорк: Гордон и Брич. стр. 1–106. ОСЛК 35504041 .
^ Баренблатт, Григорий Исаакович (1996). Масштабирование, самоподобие и промежуточная асимптотика: анализ размерностей и промежуточная асимптотика . Том. 14. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-43522-6 .
^ Станюкович, КП (2016). Нестационарное движение сплошных сред. Эльзевир. Страница 521
^ Вайцзеккер, CF (1954). Приближенное представление сильных нестационарных ударных волн через гомологические решения. Журнал естественных исследований А, 9 (4), 269–275.
^ Зельдович, Ю.Б. (1956). «Движение газа под действием кратковременного скачка давления». Акуст. Ж . 2 (1): 28–38.
^ Баренблатт, GI; Зельдович Ю.Б. (1972). «Автомодельные решения как промежуточная асимптотика». Ежегодный обзор механики жидкости . 4 (1): 285–312. Бибкод : 1972АнРФМ...4..285Б . дои : 10.1146/annurev.fl.04.010172.001441 .
^ Коэнен, В.; Раджаманикам, П.; Вайс, AD; Санчес, Алабама; Уильямс, ФА (2019). «Закрученный поток, вызванный струями и шлейфами». Акта Механика . 230 (6): 2221–2231. дои : 10.1007/s00707-019-02382-2 . S2CID 126488392 .
^ Стюартсон, К. (1957). «Об асимптотических разложениях в теории пограничных слоев». Журнал математики и физики . 36 (1–4): 173–191. дои : 10.1002/sapm1957361173 .
^ Либби, Пенсильвания; Фокс, Х. (1963). «Некоторые решения для возмущений в теории ламинарного пограничного слоя». Журнал механики жидкости . 17 (3): 433–449. дои : 10.1017/S0022112063001439 . S2CID 123824364 .
^ Бэтчелор (2000) [1967]. Введение в гидродинамику . п. 189. ИСБН 9780521663960 .

[1] Граттон, Дж. (1991). Подобие и самоподобие в гидродинамике . Основы космической физики. Том. 15. Нью-Йорк: Гордон и Брич. стр. 1–106. ОСЛК 35504041 .

[2] Баренблатт, Григорий Исаакович (1996). Масштабирование, самоподобие и промежуточная асимптотика: анализ размерностей и промежуточная асимптотика . Том. 14. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-43522-6 .

[3] Станюкович, КП (2016). Нестационарное движение сплошных сред. Эльзевир. Страница 521

[4] Вайцзеккер, CF (1954). Приближенное представление сильных нестационарных ударных волн через гомологические решения. Журнал естественных исследований А, 9 (4), 269–275.

[5] Зельдович, Ю.Б. (1956). «Движение газа под действием кратковременного скачка давления». Акуст. Ж . 2 (1): 28–38.

[6] Баренблатт, GI; Зельдович Ю.Б. (1972). «Автомодельные решения как промежуточная асимптотика». Ежегодный обзор механики жидкости . 4 (1): 285–312. Бибкод : 1972АнРФМ...4..285Б . дои : 10.1146/annurev.fl.04.010172.001441 .

[7] Коэнен, В.; Раджаманикам, П.; Вайс, AD; Санчес, Алабама; Уильямс, ФА (2019). «Закрученный поток, вызванный струями и шлейфами». Акта Механика . 230 (6): 2221–2231. дои : 10.1007/s00707-019-02382-2 . S2CID 126488392 .

[8] Стюартсон, К. (1957). «Об асимптотических разложениях в теории пограничных слоев». Журнал математики и физики . 36 (1–4): 173–191. дои : 10.1002/sapm1957361173 .

[9] Либби, Пенсильвания; Фокс, Х. (1963). «Некоторые решения для возмущений в теории ламинарного пограничного слоя». Журнал механики жидкости . 17 (3): 433–449. дои : 10.1017/S0022112063001439 . S2CID 123824364 .

[10] Бэтчелор (2000) [1967]. Введение в гидродинамику . п. 189. ИСБН 9780521663960 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]