Индекс Вурхува

В математике индекс Вурхува — это неотрицательное действительное число , связанное с определенными функциями над комплексными числами , названное в честь Марка Вурхува . Его можно использовать для распространения теоремы Ролля с вещественных функций на комплексные функции, взяв на себя роль, которую для действительных функций играет количество нулей функции в интервале .

Определение

Индекс Вурхува $V_{I}(f)$ комплексной функции f, в аналитической ​​комплексной окрестности вещественного интервала $I$ = [ a , b ] определяется выражением

$V_{I}(f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{a}^{b}\!\left|{\frac {d}{dt}}{\rm {Arg}}\,f(t)\right|\,\,dt\,={\frac {1}{2\pi }}\int _{a}^{b}\!\left|{\rm {Im}}\left({\frac {f'}{f}}\right)\right|\,dt.$

(Разные авторы используют разные коэффициенты нормализации.)

Теорема Ролля

Теорема Ролля утверждает, что если $f$ — непрерывно дифференцируемая вещественная функция на действительной прямой , и $f(a)=$ $f(b)=0$, где $a<b$, то его производная $f'$ имеет ноль строго между $a$ и $b$. Или, в более общем смысле, если $N_{I}(f)$ обозначает количество нулей непрерывно дифференцируемой функции $f$ на интервале $I$, затем $N_{I}(f)\leq N_{I}(f')+1.$

Теперь имеется аналог теоремы Ролля:

$V_{I}(f)\leq V_{I}(f')+{\frac {1}{2}}.$

Это приводит к ограничениям на количество нулей аналитической функции в комплексной области.

Ссылки

• Вурхув, Марк (1976), «О колебаниях экспоненциальных полиномов», Math. З. , 151 : 277–294, doi : 10.1007/bf01214940
• Хованский А.; Яковенко С. (1996), "Обобщенная теорема Ролля в $R^{n}$ и $C$", J. Dyn. Control Syst. , 2 : 103–123, doi : 10.1007/bf02259625