Анализ направленных компонентов

Направленный компонентный анализ ( DCA ) ^[1]^[2]^[3] представляет собой статистический метод, используемый в науке о климате для выявления репрезентативных закономерностей изменчивости в наборах пространственно-временных данных, таких как исторические наблюдения за климатом, ^[1] ансамбли прогнозов погоды ^[2] или климатические ансамбли . ^[3]

Первая модель DCA — это модель изменчивости погоды или климата, которая может возникнуть (измеряется с использованием вероятности ) и оказать большое влияние (для заданной линейной функции воздействия и при определенных математических условиях: см. ниже).

Первый шаблон DCA контрастирует с первым шаблоном PCA , который может возникнуть, но может не иметь большого влияния, а также с шаблоном, полученным из градиента функции воздействия, который имеет большое влияние, но маловероятен. происходить.

DCA отличается от других методов идентификации закономерностей, используемых в исследованиях климата, таких как EOF , ^[4] повернутые EOF ^[5] и расширенные EOF ^[6] в том, что он учитывает внешний вектор - градиент воздействия.

DCA предоставляет возможность сократить большие ансамбли прогнозов погоды. ^[2] или климатические модели ^[3] всего два шаблона. Первый шаблон — это среднее значение по ансамблю, а второй шаблон — это шаблон DCA, который представляет изменчивость вокруг среднего по ансамблю таким образом, чтобы учитывать влияние.DCA контрастирует с другими методами, предложенными для сокращения ансамблей. ^[7]^[8] в том смысле, что помимо структуры ансамбля учитывается воздействие.

Обзор

Входы

DCA рассчитывается на основе двух входных данных: ^[1]^[2]^[3]

многомерный набор данных о погоде или климате, такой как исторические наблюдения за климатом или ансамбль погоды или климата
линейная функция воздействия. Функция линейного воздействия — это функция, которая определяет уровень воздействия для каждой пространственной структуры в данных о погоде или климате как взвешенная сумма значений в разных местах пространственной структуры. Примером является среднее значение по пространственной структуре. Линейная функция воздействия может быть сгенерирована как первый член многомерного ряда Тейлора нелинейной функции воздействия. ^[3]

Формула

Рассмотрим набор пространственно-временных данных $X$ , содержащий отдельные векторы пространственной структуры $x$ , где каждый отдельный шаблон рассматривается как отдельная выборка из многомерного нормального распределения с нулевым средним значением и ковариационной матрицей $C$ .

Мы определяем линейную функцию воздействия пространственного рисунка как $r^{t}x$ , где $r$ — вектор пространственных весов.

Первый шаблон DCA представлен в виде ковариационной матрицы. $C$ и веса $r$ пропорциональным выражением $x\propto Cr$ . ^[1]^[2]^[3]

Затем шаблон можно нормализовать до любой длины по мере необходимости. ^[1]

Характеристики

Если данные о погоде или климате распределены эллиптически (например, распределены как многомерное нормальное распределение или многомерное t-распределение ), то первый шаблон DCA (DCA1) определяется как пространственный шаблон со следующими математическими свойствами:

DCA1 максимизирует плотность вероятности для заданного значения воздействия ^[1]
DCA1 максимизирует воздействие при заданном значении плотности вероятности ^[1]
DCA1 максимизирует произведение воздействия и плотности вероятности ^[3]
DCA1 — условное ожидание, зависящее от превышения определенного уровня воздействия. ^[3]
DCA1 — среднее значение ансамбля, взвешенное по воздействию. ^[3]
Любая модификация DCA1 приведет либо к менее экстремальной модели, либо к более низкой плотности вероятности.

Пример осадков

Например, в наборе данных об аномалиях осадков, используя метрику воздействия, определенную как аномалия общего количества осадков, первый шаблон DCA представляет собой пространственный шаблон, который имеет самую высокую плотность вероятности для данной аномалии общего количества осадков. Если заданная аномалия общего количества осадков выбрана с большим значением, то этот шаблон сочетает в себе экстремальность с точки зрения метрики (т. е. представление большого количества общего количества осадков) с вероятностью с точки зрения шаблона, и поэтому хорошо подходит в качестве репрезентативная крайняя модель.

Сравнение с PCA

Основные различия между анализом главных компонентов (PCA) и DCA: ^[1]

PCA является функцией только ковариационной матрицы, и первый шаблон PCA определяется так, чтобы максимизировать объясненную дисперсию.
DCA является функцией ковариационной матрицы и направления вектора (градиент функции воздействия), а первый шаблон DCA определяется так, чтобы максимизировать плотность вероятности для заданного значения метрики воздействия.

В результате для пространственных структур единичного вектора:

Первая пространственная структура PCA всегда соответствует более высокой объясненной дисперсии, но имеет более низкое значение метрики воздействия (например, аномалии общего количества осадков), за исключением вырожденных случаев.
Первый пространственный паттерн DCA всегда соответствует более высокому значению метрики воздействия, но имеет более низкое значение объясняемой дисперсии, за исключением вырожденных случаев.

Вырожденные случаи возникают, когда шаблоны PCA и DCA равны.

Кроме того, учитывая первый шаблон PCA, шаблон DCA можно масштабировать так, чтобы:

Масштабированный шаблон DCA имеет ту же плотность вероятности, что и первый шаблон PCA, но более сильное влияние, или
Масштабированный шаблон DCA имеет такое же воздействие, как и первый шаблон PCA, но с более высокой плотностью вероятности.

Двумерный пример

Источник: ^[1]

Рисунок 1: Векторы PCA (синий) и DCA (красный) в двумерном примере.

На рисунке 1 приведен пример, который можно понять следующим образом:

Две оси представляют аномалии среднегодового количества осадков в двух местах, причем самые высокие значения аномалий общего количества осадков расположены в верхнем правом углу диаграммы.
Предполагается, что совместная изменчивость аномалий осадков в двух местах подчиняется двумерному нормальному распределению.
Эллипс показывает единственный контур плотности вероятности от этой двумерной нормали с более высокими значениями внутри эллипса.
Красная точка в центре эллипса показывает отсутствие аномалий количества осадков в обоих местах.
Синяя стрелка, параллельная линии, показывает главную ось эллипса, который также является первым вектором пространственной структуры PCA.
В этом случае шаблон PCA масштабируется так, что касается эллипса.
Диагональная прямая линия показывает линию постоянной положительной аномалии общего количества осадков, которая, как предполагается, находится на некотором довольно экстремальном уровне.
Красная пунктирная стрелка показывает первый шаблон DCA, который указывает на точку, в которой диагональная линия касается эллипса.
В этом случае шаблон DCA масштабируется так, что касается эллипса.

Из этой диаграммы видно, что шаблон DCA обладает следующими свойствами:

Из всех точек диагональной линии именно эта имеет наибольшую плотность вероятности.
Из всех точек эллипса это точка с самой высокой аномалией общего количества осадков.
Он имеет ту же плотность вероятности, что и шаблон PCA, но представляет более высокое общее количество осадков (т. е. указывает дальше в верхний правый угол диаграммы).
Любое изменение шаблона DCA уменьшит либо плотность вероятности (если он выходит за пределы эллипса), либо уменьшит общую аномалию осадков (если он движется вдоль эллипса или внутрь него).

В этом случае общая аномалия осадков на схеме PCA довольно мала из-за антикорреляции между аномалиями осадков в двух местах. В результате первый шаблон PCA не является хорошим репрезентативным примером шаблона с большой аномалией общего количества осадков, в отличие от первого шаблона DCA.

В $n$ размеров эллипс становится эллипсоидом, диагональная линия становится $n-1$ плоскости измерений, а шаблоны PCA и DCA являются векторами в $n$ размеры.

Приложения

Применение к изменчивости климата

DCA был применен к CRU об исторической изменчивости осадков. набору данных ^[9] чтобы понять наиболее вероятные закономерности экстремальных осадков в США и Китае. ^[1]

Приложение к ансамблевым прогнозам погоды

DCA применялся к ECMWF с целью выявления наиболее вероятных моделей экстремальных температур в ансамблевом прогнозе. ансамблям среднесрочных прогнозов погоды ^[2]

Применение к прогнозам ансамблевой климатической модели

DCA применялся к прогнозам ансамблевой модели климата, чтобы определить наиболее вероятные закономерности экстремальных осадков в будущем. ^[3]

Вывод первого шаблона DCA

Источник: ^[1]

Рассмотрим набор пространственно-временных данных $X$ , содержащий отдельные векторы пространственной структуры $x$ , где каждый отдельный шаблон рассматривается как отдельная выборка из многомерного нормального распределения с нулевым средним значением и ковариационной матрицей $C$ .

В качестве функции $x$ , логарифмическая плотность вероятности пропорциональна $-x^{t}C^{-1}x$ .

Мы определяем линейную функцию воздействия пространственного рисунка как $r^{t}x$ , где $r$ — вектор пространственных весов.

Затем мы стремимся найти пространственную структуру, которая максимизирует плотность вероятности для данного значения линейной функции воздействия. Это эквивалентно поиску пространственной структуры, которая максимизирует логарифмическую плотность вероятности для заданного значения линейной функции воздействия, которую немного проще решить.

Это задача максимизации с ограничениями, и ее можно решить с помощью метода множителей Лагранжа .

Функция Лагранжа определяется выражением

$L(x,\lambda )=-x^{t}C^{-1}x-\lambda (r^{t}x-1)$

Дифференциация по $x$ и установка нуля дает решение

$x\propto Cr$

Нормируем так, чтобы $x$ единичный вектор дает

$x=Cr/(r^{t}CCr)^{1/2}$

Это первый шаблон DCA.

Могут быть получены последующие шаблоны, ортогональные первому, чтобы сформировать ортонормированный набор и метод факторизации матрицы.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Джусон, С. (2020). «Альтернатива PCA для оценки доминирующих моделей изменчивости климата и экстремальных явлений с применением к сезонным осадкам в США и Китае» . Атмосфера . 11 (4): 354. Бибкод : 2020Атмос..11..354J . дои : 10.3390/atmos11040354 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Шер, С.; Джусон, С.; Мессори, Г. (2021). «Надежные наихудшие сценарии на основе ансамблевых прогнозов» . Погода и прогнозирование . 36 (4): 1357–1373. Бибкод : 2021WtFor..36.1357S . дои : 10.1175/WAF-D-20-0219.1 . S2CID 236300040 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Джусон, С.; Мессори, Г.; Барбато, Г.; Меркольяно, П.; Мысиак, Дж.; Сасси, М. (2022). «Разработка репрезентативных сценариев воздействия на основе ансамблей климатических проекций с применением к UKCP18 и осадкам EURO-CORDEX» . Журнал достижений в моделировании систем Земли . 15 (1). дои : 10.1029/2022MS003038 . S2CID 254965361 .
^ Ханначи, А.; Джоллифф, И.; Стивенсон, Д. (2007). «Эмпирические ортогональные функции и связанные с ними методы в науке об атмосфере: обзор». Международный журнал климатологии . 27 (9): 1119. Бибкод : 2007IJCli..27.1119H . дои : 10.1002/joc.1499 . S2CID 52232574 .
^ Местас-Нунес, А. (2000). «Свойства ортогональности повернутых эмпирических мод». Международный журнал климатологии . 20 (12): 1509–1516. doi : 10.1002/1097-0088(200010)20:12<1509::AID-JOC553>3.0.CO;2-Q .
^ Фредрих, К.; Макбрайд, Дж.; Франк, В.; Ван, Р. (1997). «Расширенный EOF-анализ тропических нарушений: TOGA COARE» . Журнал атмосферных наук . 41 (19): 2363. Бибкод : 1997JAtS...54.2363F . doi : 10.1175/1520-0469(1997)054<2363:EEAOTD>2.0.CO;2 .
^ Эванс, Дж.; Джи, Ф.; Абрамовиц, Г.; Экстром, М. (2013). «Оптимальный выбор небольших членов ансамбля для создания надежного моделирования климата» . Письма об экологических исследованиях . 8 (4): 044050. Бибкод : 2013ERL.....8d4050E . дои : 10.1088/1748-9326/8/4/044050 . S2CID 155021417 .
^ Хергер, Н.; Абрамовиц, Г.; Кнутти, Р.; Анжелил, О.; Леманн, К.; Сандерсон, Б. (2017). «Выбор подмножества климатической модели для оптимизации ключевых свойств ансамбля» . Динамика системы Земли . 9 : 135–151. дои : 10.5194/esd-9-135-2018 . hdl : 20.500.11850/246202 .
^ Харрис, И.; Джонс, П.; Осборн, Т.; Листер, Д. (2013). «Обновленные сетки ежемесячных климатических наблюдений высокого разрешения — набор данных CRU TS3.10» (PDF) . Международный журнал климатологии . 34 (3): 623. Бибкод : 2014IJCli..34..623H . дои : 10.1002/joc.3711 . S2CID 54866679 .

[jewson-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Джусон, С. (2020). «Альтернатива PCA для оценки доминирующих моделей изменчивости климата и экстремальных явлений с применением к сезонным осадкам в США и Китае» . Атмосфера . 11 (4): 354. Бибкод : 2020Атмос..11..354J . дои : 10.3390/atmos11040354 .

[scheretal-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Шер, С.; Джусон, С.; Мессори, Г. (2021). «Надежные наихудшие сценарии на основе ансамблевых прогнозов» . Погода и прогнозирование . 36 (4): 1357–1373. Бибкод : 2021WtFor..36.1357S . дои : 10.1175/WAF-D-20-0219.1 . S2CID 236300040 .

[jewsonetal-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Джусон, С.; Мессори, Г.; Барбато, Г.; Меркольяно, П.; Мысиак, Дж.; Сасси, М. (2022). «Разработка репрезентативных сценариев воздействия на основе ансамблей климатических проекций с применением к UKCP18 и осадкам EURO-CORDEX» . Журнал достижений в моделировании систем Земли . 15 (1). дои : 10.1029/2022MS003038 . S2CID 254965361 .

[hannachi-4] Ханначи, А.; Джоллифф, И.; Стивенсон, Д. (2007). «Эмпирические ортогональные функции и связанные с ними методы в науке об атмосфере: обзор». Международный журнал климатологии . 27 (9): 1119. Бибкод : 2007IJCli..27.1119H . дои : 10.1002/joc.1499 . S2CID 52232574 .

[mestas-5] Местас-Нунес, А. (2000). «Свойства ортогональности повернутых эмпирических мод». Международный журнал климатологии . 20 (12): 1509–1516. doi : 10.1002/1097-0088(200010)20:12<1509::AID-JOC553>3.0.CO;2-Q .

[fraedrich-6] Фредрих, К.; Макбрайд, Дж.; Франк, В.; Ван, Р. (1997). «Расширенный EOF-анализ тропических нарушений: TOGA COARE» . Журнал атмосферных наук . 41 (19): 2363. Бибкод : 1997JAtS...54.2363F . doi : 10.1175/1520-0469(1997)054<2363:EEAOTD>2.0.CO;2 .

[evans-7] Эванс, Дж.; Джи, Ф.; Абрамовиц, Г.; Экстром, М. (2013). «Оптимальный выбор небольших членов ансамбля для создания надежного моделирования климата» . Письма об экологических исследованиях . 8 (4): 044050. Бибкод : 2013ERL.....8d4050E . дои : 10.1088/1748-9326/8/4/044050 . S2CID 155021417 .

[herger-8] Хергер, Н.; Абрамовиц, Г.; Кнутти, Р.; Анжелил, О.; Леманн, К.; Сандерсон, Б. (2017). «Выбор подмножества климатической модели для оптимизации ключевых свойств ансамбля» . Динамика системы Земли . 9 : 135–151. дои : 10.5194/esd-9-135-2018 . hdl : 20.500.11850/246202 .

[harris-9] Харрис, И.; Джонс, П.; Осборн, Т.; Листер, Д. (2013). «Обновленные сетки ежемесячных климатических наблюдений высокого разрешения — набор данных CRU TS3.10» (PDF) . Международный журнал климатологии . 34 (3): 623. Бибкод : 2014IJCli..34..623H . дои : 10.1002/joc.3711 . S2CID 54866679 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]