Модель Эренфеста
Модель Эренфеста (или модель собаки-блохи ) диффузии была предложена Татьяной и Паулем Эренфестами для объяснения второго закона термодинамики . [1] [2] Модель рассматривает N частиц в двух контейнерах. Частицы самостоятельно меняют контейнер со скоростью λ . Если X ( t ) = i определяется как количество частиц в одном контейнере в момент времени t , то это процесс рождения-смерти со скоростями перехода
- для i = 1, 2, ..., N
- для i = 0, 1, ..., N – 1
и равновесное распределение .
Марк Кац доказал в 1947 году, что если начальное состояние системы не является равновесным, то энтропия , определяемая выражением
монотонно возрастает ( H-теорема ). Это является следствием стремления к равновесному распределению.
Интерпретация результатов
[ редактировать ]Учтите, что вначале все частицы находятся в одном из контейнеров. Ожидается, что со временем количество частиц в этом контейнере приблизится и стабилизироваться вблизи этого состояния (в контейнерах будет примерно одинаковое количество частиц). Однако с математической точки зрения возврат в исходное состояние возможен (даже почти наверняка). Из теоремы о средней повторяемости следует, что даже ожидаемое время возврата в исходное состояние конечно, и оно . Используя приближение Стирлинга, можно обнаружить, что если мы начнем с состояния равновесия (равное количество частиц в контейнерах), ожидаемое время возврата к равновесию асимптотически равно . Если предположить, что частицы меняют контейнеры со скоростью одна в секунду, то в частном случае частиц, начиная с состояния равновесия, ожидается, что возвращение к равновесию произойдет в секунд, начиная с конфигурации в одном из контейнеров, с другой стороны, ожидается, что возвращение в это состояние займет годы. Это предполагает, что, хотя теоретически это и верно, возврат к исходному крайне непропорциональному состоянию вряд ли будет наблюдаться.
Библиография
[ редактировать ]- Пауль и Татьяна Эренфест: О двух известных возражениях против H-теоремы Больцмана. Физический журнал , вып. 8 (1907) , стр. 311–314. [1]
- Ф.П. Келли : Модель Эренфеста в книге «Обратимость и стохастические сети» . Уайли, Чичестер, 1979 год. ISBN 0-471-27601-4 стр. 17–20. [3]
- Дэвид О. Зигмунд: Модель диффузии Эренфеста (математика) . Британская энциклопедия . [4]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Эренфест, Пол; Эренфест, Татьяна (1907). «О двух известных возражениях против Н-теоремы Больцмана» . Физический журнал (на немецком языке). 8 : 311–314 . Проверено 18 октября 2022 г.
В обычной формулировке теорема H гласит: Если предоставленная самой себе кинетическая модель газа имеет состояния ...Z1, Z2....Zn ... (A) в ходе своего движения в моменты времени T1, T2. .. проходит Tn..., то неравенства ....H1 > H2 > H3 .... > Hn .... (1) применимы к последовательным значениям величин H.
- ^ Науенберг, М. (2004). «Эволюция излучения к тепловому равновесию: решаемая модель, иллюстрирующая основы статистической механики». Американский журнал физики . 72 (3): 313–323. arXiv : cond-mat/0305219 . Бибкод : 2004AmJPh..72..313N . дои : 10.1119/1.1632488 .
- ^ Келли, ФП (1979). «Обратимость и стохастические сети» . statslab.cam.ac.uk . Проверено 8 октября 2022 г.
- ^ Зигмунд, Дэвид О. «Модель диффузии Эренфеста (математика)» . www.britanica.com . Британская энциклопедия . Проверено 18 октября 2022 г.