Модель Эренфеста

Модель Эренфеста (или модель собаки-блохи ) диффузии была предложена Татьяной и Паулем Эренфестами для объяснения второго закона термодинамики . ^[1]^[2] Модель рассматривает N частиц в двух контейнерах. Частицы самостоятельно меняют контейнер со скоростью λ . Если X ( t ) = i определяется как количество частиц в одном контейнере в момент времени t , то это процесс рождения-смерти со скоростями перехода

$q_{i,i-1}=i\,\lambda$ для i = 1, 2, ..., N
$q_{i,i+1}=(N-i\,)\lambda$ для i = 0, 1, ..., N – 1

и равновесное распределение $\pi _{i}=2^{-N}{\tbinom {N}{i}}$ .

Марк Кац доказал в 1947 году, что если начальное состояние системы не является равновесным, то энтропия , определяемая выражением

H(t)=-\sum _{i}P(X(t)=i)\log \left({\frac {P(X(t)=i)}{\pi _{i}}}\right),

монотонно возрастает ( H-теорема ). Это является следствием стремления к равновесному распределению.

Интерпретация результатов

Учтите, что вначале все частицы находятся в одном из контейнеров. Ожидается, что со временем количество частиц в этом контейнере приблизится $N/2$ и стабилизироваться вблизи этого состояния (в контейнерах будет примерно одинаковое количество частиц). Однако с математической точки зрения возврат в исходное состояние возможен (даже почти наверняка). Из теоремы о средней повторяемости следует, что даже ожидаемое время возврата в исходное состояние конечно, и оно $2^{N}$ . Используя приближение Стирлинга, можно обнаружить, что если мы начнем с состояния равновесия (равное количество частиц в контейнерах), ожидаемое время возврата к равновесию асимптотически равно $\textstyle {\sqrt {\pi N/2}}$ . Если предположить, что частицы меняют контейнеры со скоростью одна в секунду, то в частном случае $N=100$ частиц, начиная с состояния равновесия, ожидается, что возвращение к равновесию произойдет в $13$ секунд, начиная с конфигурации $100$ в одном из контейнеров, $0$ с другой стороны, ожидается, что возвращение в это состояние займет $4\cdot 10^{22}$ годы. Это предполагает, что, хотя теоретически это и верно, возврат к исходному крайне непропорциональному состоянию вряд ли будет наблюдаться.

Библиография

Пауль и Татьяна Эренфест: О двух известных возражениях против H-теоремы Больцмана. Физический журнал , вып. 8 (1907) , стр. 311–314. ^[1]
Ф.П. Келли : Модель Эренфеста в книге «Обратимость и стохастические сети» . Уайли, Чичестер, 1979 год. ISBN 0-471-27601-4 стр. 17–20. ^[3]
Дэвид О. Зигмунд: Модель диффузии Эренфеста (математика) . Британская энциклопедия . ^[4]

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Эренфест, Пол; Эренфест, Татьяна (1907). «О двух известных возражениях против Н-теоремы Больцмана» . Физический журнал (на немецком языке). 8 : 311–314 . Проверено 18 октября 2022 г. В обычной формулировке теорема H гласит: Если предоставленная самой себе кинетическая модель газа имеет состояния ...Z1, Z2....Zn ... (A) в ходе своего движения в моменты времени T1, T2. .. проходит Tn..., то неравенства ....H1 > H2 > H3 .... > Hn .... (1) применимы к последовательным значениям величин H.
^ Науенберг, М. (2004). «Эволюция излучения к тепловому равновесию: решаемая модель, иллюстрирующая основы статистической механики». Американский журнал физики . 72 (3): 313–323. arXiv : cond-mat/0305219 . Бибкод : 2004AmJPh..72..313N . дои : 10.1119/1.1632488 .
^ Келли, ФП (1979). «Обратимость и стохастические сети» . statslab.cam.ac.uk . Проверено 8 октября 2022 г.
^ Зигмунд, Дэвид О. «Модель диффузии Эренфеста (математика)» . www.britanica.com . Британская энциклопедия . Проверено 18 октября 2022 г.

[Ehrenfest-1] Перейти обратно: ^а ^б Эренфест, Пол; Эренфест, Татьяна (1907). «О двух известных возражениях против Н-теоремы Больцмана» . Физический журнал (на немецком языке). 8 : 311–314 . Проверено 18 октября 2022 г. В обычной формулировке теорема H гласит: Если предоставленная самой себе кинетическая модель газа имеет состояния ...Z1, Z2....Zn ... (A) в ходе своего движения в моменты времени T1, T2. .. проходит Tn..., то неравенства ....H1 > H2 > H3 .... > Hn .... (1) применимы к последовательным значениям величин H.

[2] Науенберг, М. (2004). «Эволюция излучения к тепловому равновесию: решаемая модель, иллюстрирующая основы статистической механики». Американский журнал физики . 72 (3): 313–323. arXiv : cond-mat/0305219 . Бибкод : 2004AmJPh..72..313N . дои : 10.1119/1.1632488 .

[3] Келли, ФП (1979). «Обратимость и стохастические сети» . statslab.cam.ac.uk . Проверено 8 октября 2022 г.

[4] Зигмунд, Дэвид О. «Модель диффузии Эренфеста (математика)» . www.britanica.com . Британская энциклопедия . Проверено 18 октября 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]