Формула Фрииса для шума

Не путать с уравнением передачи Фрииса .

Формула Фрииса или формула Фрииса (иногда формула Фрииса ), названная в честь датско-американского инженера-электрика Харальда Т. Фрииса , представляет собой одну из двух формул, используемых в телекоммуникационной технике для расчета отношения сигнал/шум многокаскадного усилителя . Один из них связан с коэффициентом шума , а другой — с шумовой температурой .

Формула Фрииса для коэффициента шума

Формула Фрииса используется для расчета общего коэффициента шума каскада ступеней, каждый из которых имеет свой собственный коэффициент шума и коэффициент усиления мощности (при условии, что импедансы согласованы на каждом этапе). Общий коэффициент шума затем можно использовать для расчета общего коэффициента шума . Общий коэффициент шума определяется как

$F_{\text{total}}=F_{1}+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}+{\frac {F_{4}-1}{G_{1}G_{2}G_{3}}}+\cdots +{\frac {F_{n}-1}{G_{1}G_{2}\cdots G_{n-1}}}$

где $F_{i}$ и $G_{i}$ – коэффициент шума и располагаемый коэффициент усиления мощности соответственно i -го каскада, n – количество каскадов. Обе величины выражаются в соотношениях, а не в децибелах.

Последствия

Важным следствием этой формулы является то, что общий коэффициент шума радиоприемника определяется в первую очередь коэффициентом шума его первого усилительного каскада. Последующие этапы оказывают уменьшающееся влияние на соотношение сигнал/шум . По этой причине усилитель первой ступени в приемнике часто называют малошумящим усилителем (МШУ). Общий «коэффициент» шума приемника тогда равен

$F_{\mathrm {receiver} }=F_{\mathrm {LNA} }+{\frac {F_{\mathrm {rest} }-1}{G_{\mathrm {LNA} }}}$

где $F_{\mathrm {rest} }$ – общий коэффициент шума последующих ступеней. Согласно уравнению, общий коэффициент шума, $F_{\mathrm {receiver} }$, преобладает коэффициент шума МШУ, $F_{\mathrm {LNA} }$, если выигрыш достаточно велик. Результирующий коэффициент шума, выраженный в дБ, равен:

$\mathrm {NF} _{\mathrm {receiver} }=10\log(F_{\mathrm {receiver} })$

Вывод

Для вывода формулы Фрииса для случая трех каскадных усилителей ( $n=3$) рассмотрите изображение ниже.

Источник выдает сигнал мощности $S_{i}$ и шум мощности $N_{i}$. Следовательно, отношение сигнал/шум на входе приемной цепи равно ${\text{SNR}}_{i}=S_{i}/N_{i}$. Сигнал силы $S_{i}$ усиливается всеми тремя усилителями. Таким образом, мощность сигнала на выходе третьего усилителя равна $S_{o}=S_{i}\cdot G_{1}G_{2}G_{3}$. Мощность шума на выходе цепочки усилителя состоит из четырех частей:

• Усиленный шум источника ( $N_{i}\cdot G_{1}G_{2}G_{3}$)
• Выходной отраженный шум первого усилителя $N_{a1}$ усиливается вторым и третьим усилителем ( $N_{a1}\cdot G_{2}G_{3}$)
• Выходной отраженный шум второго усилителя $N_{a2}$ усиливается третьим усилителем ( $N_{a2}\cdot G_{3}$)
• Выходной отраженный шум третьего усилителя $N_{a3}$

Поэтому полная мощность шума на выходе цепочки усилителей равна

$N_{o}=N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3}+N_{a3}$

а отношение сигнал/шум на выходе цепочки усилителей равно

${\text{SNR}}_{o}={\frac {S_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3}+N_{a3}}}$.

Общий коэффициент шума теперь можно рассчитать как частное отношение сигнал/шум на входе и выходе:

$F_{\text{total}}={\frac {{\text{SNR}}_{i}}{{\text{SNR}}_{o}}}={\frac {\frac {S_{i}}{N_{i}}}{\frac {S_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3}+N_{a3}}}}=1+{\frac {N_{a1}}{N_{i}G_{1}}}+{\frac {N_{a2}}{N_{i}G_{1}G_{2}}}+{\frac {N_{a3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}}$

Используя определения коэффициентов шума усилителей, получаем конечный результат:

$F_{\text{total}}=\underbrace {1+{\frac {N_{a1}}{N_{i}G_{1}}}} _{=F_{1}}+\underbrace {\frac {N_{a2}}{N_{i}G_{1}G_{2}}} _{={\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}}+\underbrace {\frac {N_{a3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}} _{={\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}}=F_{1}+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}$.

Общий вывод для каскада $n$ усилители:

Общий коэффициент шума выражается как отношение сигнал/шум на входе каскада. $\mathrm {SNR_{i}} ={\frac {S_{\mathrm {i} }}{N_{\mathrm {i} }}}$ к отношению сигнал/шум на выходе каскада $\mathrm {SNR_{o}} ={\frac {S_{\mathrm {o} }}{N_{\mathrm {o} }}}$ как

$F_{\mathrm {total} }={\frac {\mathrm {SNR_{i}} }{\mathrm {SNR_{o}} }}={\frac {S_{\mathrm {i} }}{S_{\mathrm {o} }}}{\frac {N_{\mathrm {o} }}{N_{\mathrm {i} }}}$.

Общая входная мощность $k$-й усилитель в каскаде (шум и сигнал) $S_{k-1}+N_{k-1}$. Он усиливается в соответствии с коэффициентом усиления усилителя. $G_{k}$. Кроме того, усилитель добавляет шум с мощностью $N_{\mathrm {a} ,k}$. Таким образом, выходная мощность $k$-й усилитель $G_{k}\left(S_{k-1}+N_{k-1}\right)+N_{\mathrm {a} ,k}$. Для всего каскада получаем полную выходную мощность

$S_{\mathrm {o} }+N_{\mathrm {o} }=\left(\left(\left(\left(S_{\mathrm {i} }+N_{\mathrm {i} }\right)G_{1}+N_{\mathrm {a} ,1}\right)G_{2}+N_{\mathrm {a} ,2}\right)G_{3}+N_{\mathrm {a} ,3}\right)G_{4}+\dots$

Таким образом, мощность выходного сигнала переписывается как

$S_{\mathrm {o} }=S_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}$

тогда как мощность выходного шума можно записать как

$N_{\mathrm {o} }=N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}N_{\mathrm {a} ,k}\prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}+N_{\mathrm {a} ,n}$

Подстановка этих результатов в общий коэффициент шума приводит к

$F_{\mathrm {total} }={\frac {N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}N_{\mathrm {a} ,k}\prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}+N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}=1+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}\prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{m=1}^{n}G_{m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}=1+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{m=1}^{k}G_{m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}$

$=1+{\frac {N_{\mathrm {a} ,1}}{N_{\mathrm {i} }G_{1}}}+\sum _{k=2}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{m=1}^{k}G_{m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}$

Теперь, используя $F_{k}=1+{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i} }G_{k}}}$ как коэффициент шума отдельного человека $k$-й усилитель, получаем

$F_{\mathrm {total} }=F_{1}+\sum _{k=2}^{n}{\frac {F_{k}-1}{\prod _{l=1}^{k-1}G_{l}}}$

$=F_{1}+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}+{\frac {F_{4}-1}{G_{1}G_{2}G_{3}}}+\dots +{\frac {F_{n}-1}{G_{1}G_{2}\dots G_{n-1}}}$

Формула Фрииса для шумовой температуры

Формулу Фрииса можно эквивалентно выразить через шумовую температуру :

$T_{\text{eq}}=T_{1}+{\frac {T_{2}}{G_{1}}}+{\frac {T_{3}}{G_{1}G_{2}}}+\cdots$

Опубликованные ссылки

• Дж. Д. Краус, Радиоастрономия , МакГроу-Хилл, 1966.

Интернет-ссылки

• RF Cafe [1] Каскадный коэффициент шума.
• Энциклопедия микроволнового оборудования [2]. Архивировано 17 мая 2013 г. в журнале каскадного анализа Wayback Machine .
• Биография Фрия в IEEE [3]