поток Шнайдера

Течение Шнайдера описывает осесимметричное внешнее течение, вызванное ламинарной или турбулентной струей, имеющей большое число Рейнольдса струи , или ламинарным факелом с большим числом Грасгофа в случае, когда область жидкости ограничена стенкой. Когда число Рейнольдса струи или число Грасгофа факела велико, полное поле течения представляет собой две области разной протяженности: поток в тонком пограничном слое, который можно идентифицировать как струю или шлейф, и медленно движущуюся жидкость в большой внешней области. охватывающий струю или шлейф. Поток Шнайдера, описывающий последнее движение, является точным решением уравнений Навье-Стокса , открытых Вильгельмом Шнайдером в 1981 году. Решение было обнаружено также А.А. Голубинским и В.В. Сычевым в 1979 г. однако никогда не применялся к потокам, увлекаемым струями. Решение является расширением решения Тейлора о потенциальном потоке. к произвольному числу Рейнольдса .

Математическое описание

Поток Шнайдера: численное решение функции $f(\xi )$ (черные линии) и $f'(\xi )$ (синие линии) для различных значений $K$ и $\xi _{w}=0$ ( $\alpha =\pi /2$). Пунктирные линии соответствуют решению Тейлора. $f(\xi )=\xi$.

Для ламинарных или турбулентных струй, а также для ламинарных шлейфов объемная скорость развлечения на единицу осевой длины постоянна, как это видно из решения струи Шлихтинга и шлейфа Йиха. Таким образом, струю или шлейф можно рассматривать как линию стока, приводящую в движение движение во внешней области, как это впервые сделал Г.И. Тейлор . До Шнайдера предполагалось, что это внешнее движение жидкости также представляет собой поток с большим числом Рейнольдса, поэтому предполагается, что внешнее движение жидкости является решением потенциального потока, которое было решено Г.И. Тейлором в 1958 году. Для турбулентного шлейфа унос равен не является постоянной, тем не менее, внешняя жидкость по-прежнему определяется решением Тейлора.

Хотя решение Тейлора по-прежнему справедливо для турбулентной струи, ламинарной струи или ламинарного факела, эффективное число Рейнольдса для внешней жидкости оказывается порядка единицы, поскольку в этих случаях поглощение стоком таково, что поток не является невязким. В этом случае необходимо решить полные уравнения Навье-Стокса для внешнего движения жидкости, при этом, поскольку жидкость ограничена снизу твердой стенкой, решение должно удовлетворять условию нескользкости. Шнайдер получил автомодельное решение для этого движения внешней жидкости, которое естественным образом сводится к решению потенциального потока Тейлора по мере увеличения скорости увлечения линейным стоком.

Предположим, что коническая стенка полууголка $\alpha$ с полярной осью вдоль оси конуса и предположим, что вершина сплошного конуса находится в начале сферических координат. $(r,\theta ,\phi )$ простирается вдоль отрицательной оси. Теперь поместите приемник линии вдоль положительной стороны полярной оси. Установите таким образом, $\alpha =\pi /2$ представляет собой обычный случай плоской стенки со струей или шлейфом, выходящим из начала координат. Дело $\alpha =\pi$ соответствует струе/шлейму, выходящему из тонкой форсунки. Течение осесимметрично с нулевым азимутальным движением, т. е. компоненты скорости равны $(v_{r},v_{\theta },0)$. Обычный метод изучения потока состоит в введении функции тока Стокса. $\psi$ такой, что

$v_{r}={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},\quad v_{\theta }=-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}.$

Представляем $\xi =\cos \theta$ в качестве замены для $\theta$ и введя самоподобную форму $\psi =K\nu rf(\xi )$ в осесимметричные уравнения Навье-Стокса, получим

$K^{-1}[(1-\xi ^{2})f''''-4\xi f''']-ff'''-3f'f''=0.$

где константа $K$ такова, что объемная скорость уноса на единицу осевой длины равна $2\pi K\nu$. Для ламинарной струи $K=4$ а для ламинарного факела – от числа Прандтля $Pr$, например с $Pr=1$, у нас есть $K=6$ и с $Pr=2$, у нас есть $K=4$. Для турбулентной струи эта константа равна порядку числа Рейнольдса струи, которое является большим числом.

Приведенное выше уравнение можно легко свести к уравнению Риккати путем трехкратного интегрирования - процедура такая же, как и в струе Ландау-Сквайра (основное отличие струи Ландау-Сквайра от текущей задачи - это граничные условия). Граничные условия на конической стенке $\xi =\xi _{w}=\cos \alpha$ становиться

$f(\xi _{w})=f'(\xi _{w})=0$

и вдоль линии раковина $\xi =1$, у нас есть

$f(1)=1,\quad \lim _{\xi \rightarrow 1}(1-\xi )^{1/2}f''\rightarrow 0.$

Отсюда задача решена численно. Численное решение также дает значения $f'(1)$ (лучевая скорость на оси), которую необходимо учитывать при граничном анализе первого порядка задачи внутренней струи на оси.

Потенциальный поток Тейлора

Для турбулентной струи $K\gg 1$линейными членами уравнения можно пренебречь везде, кроме небольшого пограничного слоя вдоль стенки. Тогда пренебрегая условиями нескользкости ( $f'(\xi _{w})=0$) у стены, решение, которое было предложено Г.И. Тейлором в 1958 году, имеет вид

$f={\frac {\xi -\xi _{w}}{1-\xi _{w}}}.$

В случае осесимметричных турбулентных факелов, когда скорость увлечения на единицу осевой длины факела увеличивается как $r^{2/3}$, Решение Тейлора имеет вид $\psi =CB^{1/3}r^{5/3}g(\xi )$ где $C$ является константой, $B$ – удельный поток плавучести и

$g={\frac {\pi }{\sqrt {3}}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}\left[{\frac {P_{2/3}^{1}(-\xi _{w})}{P_{2/3}^{1}(\xi _{w})}}P_{2/3}^{1}(\xi )-P_{2/3}^{1}(-\xi )\right]$

в котором $P_{2/3}^{1}$ обозначает ассоциированную функцию Лежандра первого рода со степенью $2/3$ и заказать $1$.

Композитное решение для ламинарных струй и шлейфов

Равноотстоящие контуры $\psi /\nu$ составного расширения, проецируемого на $y=0$-плоскость, для ламинарной струи с $Re=50$ и $\alpha =\pi /2$.

Равноотстоящие контуры $\psi /\nu$ составного расширения, проецируемого на $y=0$-плоскость, для ламинарной струи с $Re=50$ и $\alpha \to \pi$.

Поток Шнайдера описывает внешнее движение, вызванное струями или шлейфами, и становится недействительным в тонкой области, охватывающей ось, где находится струя или шлейф. Для ламинарных струй внутреннее решение описывается струей Шлихтинга , а для ламинарных струй внутреннее решение — плюмом Yih. Составное решение путем сшивания внутреннего тонкого решения Шлихтинга и внешнего решения Шнайдера может быть построено методом согласованных асимптотических разложений . Для ламинарной струи составное решение имеет вид

$\psi =4\nu r\left[{\frac {(Re\,\theta )^{2}}{32/3+(Re\,\theta )^{2}}}+f(\cos \theta )-1\right]$

в которой первый член представляет собой струю Шлихтинга (с характерной толщиной струи $Re\,\theta$), второе слагаемое представляет собой поток Шнайдера, а третье слагаемое представляет собой вычитание условий сшивки. Здесь $Re=\nu ^{-1}(J/2\pi \rho )^{1/2}$ - число Рейнольдса струи и $J/\rho$ – кинематический поток импульса струи.

Аналогичное композиционное решение можно построить и для ламинарных факелов.

Другие соображения

Точное решение решений Навье-Стокса было экспериментально проверено Заунером в 1985 году. Дальнейший анализ показал, что поток осевого импульса медленно затухает вдоль оси в отличие от решения струи Шлихтинга , и обнаружено, что поток Шнайдера становится недействительным, когда расстояние от начала координат увеличивается до расстояния порядка экспоненты квадрата числа Рейнольдса струи, таким образом, область Справедливость решения Шнайдера возрастает с увеличением реактивного числа Рейнольдса.

Наличие вихря

Наличие закрученного движения, т.е. $v_{\phi }\neq 0$ показано, что он не влияет на осевое движение, определяемое формулой $\psi =K\nu rf(\xi )$ предоставил $K\sim O(1)$. Если $K$ очень велика, наличие закрутки полностью меняет движение в осевой плоскости. Для $K\sim O(1)$, азимутальное решение можно решить в терминах циркуляции $2\pi \Gamma$, где $\Gamma =r\sin \theta v_{\phi }$. Решение можно описать в терминах автомодельного решения второго рода : $\Gamma =Ar^{\lambda }\Lambda (\xi )$, где $A$ неизвестная константа и $\lambda$ является собственным значением. Функция $\Lambda (\xi )$ удовлетворяет

$K^{-1}[(1-\xi ^{2})\Lambda ''+\lambda (\lambda -1)\Lambda ]-f\Lambda '+\lambda f'\Lambda =0$

подчиняется граничным условиям $\Lambda (\xi _{w})=0$ и $(1-\xi )^{1/2}\Lambda '\rightarrow 0$ как $\xi \rightarrow 1$.

См. также

• Реактивный самолет Ландау – Сквайра
• Арбитражный самолет