Сиамский метод

Простой пример сиамского метода. Начиная с «1», поля заполняются по диагонали вверх и вправо (↗). Когда ход покидает клетку, он переносится на последнюю строку или первый столбец соответственно. Если встречается заполненное поле, вместо этого происходит перемещение вертикально вниз на одно поле (↓), а затем продолжается, как и раньше.

Сиамский метод , или метод Де ла Лубера , представляет собой простой метод построения любого размера n -нечетных магических квадратов (т. е. числовых квадратов, в которых суммы всех строк, столбцов и диагоналей одинаковы). Метод был привезен во Францию в 1688 году французским математиком и дипломатом Симоном де ла Лубером . ^[1] когда он возвращался из своего посольства 1687 года в королевстве Сиам . ^[2]^[3]^[4] Сиамский метод упрощает создание магических квадратов .

Публикация

Де ла Лубер опубликовал свои выводы в своей книге «Новые исторические отношения Сиамского королевства» ( Du Royaume de Siam , 1693) в главе, озаглавленной « Проблема магического квадрата по мнению индейцев» . ^[5]Хотя этот метод обычно квалифицируют как «сиамский», что относится к путешествию де ла Лубера в страну Сиам, сам де ла Лубер научился ему у француза по имени М. Винсент (врача, побывавшего сначала в Персии , а затем в Сиам , и возвращался во Францию с посольством де ла Лубер), который сам выучил это в городе Сурат в Индии : ^[5]

«Мистер Винсент, о котором я так часто упоминал в своих «Отношениях» , увидев меня однажды на корабле, во время нашего возвращения, старательно ранжирующего магические квадраты по методу Баше , сообщил мне, что индейцы Суратте . ранжировали их с большой точностью больше возможностей и научил меня их методу только для неравных квадратов, забыв, по его словам, метод для равных».
- Симон де ла Лубер, Новые исторические сведения о королевстве Сиам . ^[5]

Метод

Метод удивил своей эффективностью и простотой:

«Я надеюсь, что не будет неприемлемо, если я приведу правила и демонстрацию этого метода, удивительного своей чрезвычайной легкостью выполнения вещи, которая показалась нашим математикам трудной»
- Симон де ла Лубер, Новые исторические сведения о королевстве Сиам . ^[5]

Сначала арифметическую прогрессию необходимо выбрать (например, простую прогрессию 1,2,3,4,5,6,7,8,9 для квадрата с тремя строками и столбцами ( квадрат Ло Шу )).

Затем, начиная с центрального квадрата первого ряда с номером 1 (или первого числа любой арифметической прогрессии), основное движение для заполнения квадратов происходит по диагонали вверх и вправо ( ↗ ), по одному шагу за раз. Когда ход покидает клетку, он переносится на последнюю строку или первый столбец соответственно.

Если встречается заполненное поле, вместо этого происходит перемещение вертикально вниз на одно поле ( ↓ ), а затем продолжается, как и раньше.

Магические квадраты порядка 3

шаг 1
	1
	.
	.

шаг 2
	1
	.
		2

шаг 3
	1
3
		2

шаг 4
	1
3
4		2

шаг 5
	1
3	5
4		2

шаг 6
	1	6
3	5
4		2

шаг 7
	1	6
3	5	7
4		2

шаг 8
8	1	6
3	5	7
4		2

шаг 9
8	1	6
3	5	7
4	9	2

Магические квадраты порядка 5

Шаг 1
		1
		.
		.
		.
		.


1
.
.
.		3
.	2

Шаг 3
		1
	5
4		.
				3
			2

Шаг 4
		1	8
	5	7
4	6	.
				3
			2

Шаг 5
		1	8	15
	5	7	14
4	6	13
10	12			3
11			2	9

Шаг 6
17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

Другие размеры

Таким образом, любой n -нечетный квадрат (« квадрат нечетного порядка») можно превратить в магический квадрат. Однако сиамский метод не работает для n-четных квадратов (« квадратов четного порядка», таких как 2 строки/2 столбца, 4 строки/4 столбца и т. д.).

Заказ 3
8	1	6
3	5	7
4	9	2

Заказать 5
17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

Заказ 9
47	58	69	80	1	12	23	34	45
57	68	79	9	11	22	33	44	46
67	78	8	10	21	32	43	54	56
77	7	18	20	31	42	53	55	66
6	17	19	30	41	52	63	65	76
16	27	29	40	51	62	64	75	5
26	28	39	50	61	72	74	4	15
36	38	49	60	71	73	3	14	25
37	48	59	70	81	2	13	24	35

Другие значения

Можно использовать любую последовательность чисел при условии, что они образуют арифметическую прогрессию (т.е. разница любых двух последовательных членов последовательности является константой). Также возможен любой стартовый номер. Например, для формирования магического квадрата 3-го порядка по сиамскому методу (9 ячеек) можно использовать следующую последовательность: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 (магическая сумма дает 75, т.е. все строки, столбцы и диагонали). Магической суммой в этих случаях будет сумма используемой арифметической прогрессии, деленная на порядок магического квадрата.

Заказ 3
40	5	30
15	25	35
20	45	10

Другие отправные точки

Можно не начинать арифметическую прогрессию с середины верхней строки, но тогда только суммы строк и столбцов будут одинаковыми и приведут к магической сумме, тогда как суммы по диагонали будут различаться. Таким образом, результат не будет настоящим магическим квадратом:

Заказ 3
500	700	300
900	200	400
100	600	800

Вращения и отражения

Из вышеизложенного можно вывести множество других магических квадратов путем простых вращений и отражений .

Вариации

Существует немного более сложный вариант этого метода, в котором первое число помещается в поле чуть выше центрального поля. Основное движение для заполнения ящиков остается вверх и вправо ( ↗ ), шаг за шагом. Однако, если встречается заполненное поле, вместо этого происходит перемещение вертикально вверх на два поля , а затем продолжается, как и раньше.

Заказать 5
23	6	19	2	15
10	18	1	14	22
17	5	13	21	9
4	12	25	8	16
11	24	7	20	3

Многочисленные варианты можно получить простыми вращениями и отражениями. Следующий квадрат эквивалентен предыдущему (простое отражение): первое число помещается в поле чуть ниже центрального поля. Тогда основным движением для заполнения ящиков становится движение по диагонали вниз и вправо ( ↘ ), шаг за шагом. Если встречается заполненное поле, вместо этого происходит перемещение вертикально вниз на два поля , а затем продолжается, как и раньше. ^[6]

Заказать 5
11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

Эти вариации, хотя и не так просты, как основной сиамский метод, эквивалентны методам, разработанным более ранними арабскими и европейскими учеными, такими как Мануэль Мосхопулос (1315 г.), Иоганн Фаульхабер (1580–1635 гг.) и Клод Гаспар Баше де Мезириак (1581 г.). –1638), и позволяли создавать магические квадраты, подобные их. ^[6]^[7]

См. также

Примечания и ссылки

^ Хиггинс, Питер (2008). История чисел: от счета к криптографии . Нью-Йорк: Коперник. п. 54 . ISBN 978-1-84800-000-1 . сноска 8
^ Математические круги в квадрате Филлипа Э. Джонсона, Говарда Уитли Ивса, стр.22
^ Краткая математическая энциклопедия CRC Эрика В. Вайсштейна, страница 1839 [1]
^ Дзен магических квадратов, кругов и звезд Клиффорд А. Пиковер Страница 38 [2]
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Новое историческое отношение королевства Сиам с.228
^ Jump up to: ^а ^б Новое историческое отношение к королевству Сиам, стр. 229.
^ Дзен магических квадратов, кругов и звезд Клиффорда А. Пиковера, 2002, стр.37 [3]

[1] Хиггинс, Питер (2008). История чисел: от счета к криптографии . Нью-Йорк: Коперник. п. 54 . ISBN 978-1-84800-000-1 . сноска 8

[2] Математические круги в квадрате Филлипа Э. Джонсона, Говарда Уитли Ивса, стр.22

[3] Краткая математическая энциклопедия CRC Эрика В. Вайсштейна, страница 1839 [1]

[4] Дзен магических квадратов, кругов и звезд Клиффорд А. Пиковер Страница 38 [2]

[p228-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Новое историческое отношение королевства Сиам с.228

[p229-6] Jump up to: ^а ^б Новое историческое отношение к королевству Сиам, стр. 229.

[7] Дзен магических квадратов, кругов и звезд Клиффорда А. Пиковера, 2002, стр.37 [3]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]