Переходное кинетическое фракционирование изотопов

Переходные кинетические изотопные эффекты (или фракционирование ) возникают, когда реакция, приводящая к фракционированию изотопов, не следует чистой кинетике первого порядка (FOK), и поэтому изотопные эффекты не могут быть описаны с помощью классических равновесных уравнений фракционирования или стационарных кинетических уравнений фракционирования (также известное как уравнение Рэлея). В этих случаях общие уравнения биохимической изотопной кинетики ( GEBIK ) и общие уравнения биохимического фракционирования изотопов ( GEBIF можно использовать ).

Уравнения GEBIK и GEBIF представляют собой наиболее общий подход для описания изотопных эффектов в любых химических , каталитических и биохимических реакциях, поскольку они могут описывать изотопные эффекты в равновесных реакциях, кинетических химических реакциях и кинетических биохимических реакциях. В последних двух случаях они могут описывать как стационарное, так и нестационарное фракционирование (т.е. переменное и обратное фракционирование). В целом изотопные эффекты зависят от количества реагентов и количества комбинаций, возникающих в результате количества замен во всех реагентах и ​​продуктах. Однако точное описание изотопных эффектов зависит также от конкретного закона скорости, используемого для описания химической или биохимической реакции, вызывающей изотопные эффекты. Обычно, независимо от того, является ли реакция чисто химической или в ней участвует какой-либо фермент биологической природы, уравнения, используемые для описания изотопных эффектов, основаны на FOK. Этот подход систематически приводит к изотопным эффектам, которые можно описать с помощью уравнения Рэлея. В этом случае изотопные эффекты всегда будут выражаться как константа и, следовательно, не смогут описать изотопные эффекты в реакциях, где фракционирование и обогащение являются переменными или обратными в ходе реакции. Большинство химических реакций не следуют ФОК; ни одна биохимическая реакция обычно не может быть описана с помощью ФОК. Чтобы правильно описать изотопные эффекты в химических или биохимических реакциях, необходимо использовать разные подходы, например, использование Порядок реакции Михаэлиса-Ментен (для химических реакций) или совмещенный порядок реакции Михаэлиса-Ментен и Моно (для биохимических реакций). Однако, в отличие от кинетики Михаэлиса-Ментен, уравнения GEBIK и GEBIF решаются в гипотезе нестационарного состояния. Эта характеристика позволяет GEBIK и GEBIF улавливать временные изотопные эффекты.

Математическое описание переходных кинетических изотопных эффектов

Уравнения GEBIK и GEBIF представлены ниже.

Обозначения

Уравнения GEBIK и GEBIF описывают динамику следующих переменных состояния:

С

концентрация субстрата

П

концентрация продукта

И

концентрация фермента

С

сложная концентрация

Б

концентрация биомассы

И S, и P содержат по крайней мере одно изотопное выражение атома-индикатора. Например, если элемент углерода используется в качестве индикатора, и S, и P содержат по крайней мере один атом C, который может выглядеть как ${\ce {^{12}C}}$ и ${\ce {^{13}C}}$. Изотопное выражение внутри молекулы

$_{a}^{b}{\ce {S}}$

где $_{a}$ - количество атомов-примесей внутри S, а $^{b}$ — число изотопных замен в одной и той же молекуле. Состояние $0\leq b\leq a$ должен быть удовлетворен. Например, ${\ce {N2}}$ продукт, в котором происходит 1 изотопное замещение (например, ${\ce {^{15}N^{14}N}}$) будет описано ${\ce {^1_2P}}$.

Субстраты и продукты возникают в химической реакции с определенными стехиометрическими коэффициентами. Когда химические реакции включают комбинации реагентов и продуктов с различным изотопным выражением, стехиометрические коэффициенты являются функциями числа изотопного замещения. Если $x_{b}$ и $y_{d}$ стехиометрический коэффициент для $_{a}^{b}{\ce {S}}$ субстрат и $_{c}^{d}{\ce {P}}$ продукта, реакция принимает вид

$\sum _{b=0}^{a}x_{b}{}_{a}^{b}{\ce {S ->}}\sum _{d=0}^{c}y_{d}{}_{c}^{d}{\ce {P}}.$

Например, в реакции ${\ce {{^{14}NO3^{-}}+^{15}NO3^{-}->{^{14}{N}}{^{15}{NO}}}}$, обозначение ${\ce {{^{0}_{1}S}+{^{1}_{1}S}->{^{1}_{2}P}}}$ с $x_{0}=x_{1}=1$ для обоих изотопологических реагентов одного и того же субстрата с числом замещения $b=0$ и $b=1$, и с $y_{1}=1$ для ${\ce {^1_2P}}$ и $y_{0}=y_{2}=0$ поскольку реакция не включает образование ${\ce {^{0}_{2}P={^{14}N2O}}}$ и ${\ce {^{2}_{2}P={^{15}N2O}}}$.

Для изотопомеров место замещения учитывается как $_{a}^{b}{\ce {S}}^{\beta }$ и $_{a}^{b}{\ce {S}}^{\gamma }$, где $\beta$ и $\gamma$ указывают на разные выражения одного и того же изотополога $_{a}^{b}{\ce {S}}$. Изотопомеры существуют только тогда, когда $1\leq b<a$ и $a\geq 2$. Местоположение замещения должно быть конкретно определено в зависимости от количества атомов индикатора a , количества замен b и структуры молекулы. Для многоатомных молекул, симметричных относительно положения трассера, нет необходимости указывать положение замещения, когда $b=1$. Например, одна замена дейтерия ${\ce {D\ =\ {^{2}H}}}$ в симметричной молекуле метана ${\ce {CDH3}}$ не требует использования правильного верхнего индекса. В случае, если $b=2$, необходимо указать место замены, а для ${\ce {CHD3}}$ и ${\ce {CD4}}$ это не требуется. Например, два ² H замены в ${\ce {CD2H2}}$ может возникнуть как в соседних, так и в несмежных местах. Используя эти обозначения, реакция ${\ce {{CD2H2}+ {2O2}-> {H2O}+ {D2O}+ {CO2},}}$ можно записать как

${\ce {{^{2}_{4}S}^{\beta }->{^{0}_{2}P}+{^{2}_{2}P}}}$

где $\beta$ в ${\ce {{^{2}_{4}S}^{\beta }}}$ определяет только одну из двух форм метана (с соседними или несмежными атомами D). Местоположение D в двух молекулах воды-изотополога, образующихся в правой части реакции, не указано, поскольку D присутствует только в одной молекуле воды при насыщении, а также потому, что молекула воды симметрична. Для асимметричных и многоатомных молекул с $1\leq b<a$ и $a\geq 2$, всегда требуется определение места замены. Например, изотопомеры (асимметричной) закиси азота молекулы ${\ce {N2O}}$ являются ${\ce {^{1}_{2}S^{\beta }={^{15}N}{^{14}NO}}}$ и ${\ce {^{1}_{2}S^{\gamma }={^{14}N}{^{15}NO}}}$.

Реакции асимметричных изотопомеров можно записать с использованием коэффициента разделения u как

$\sum _{b=0}^{a}\sum _{\beta }x_{b}\ {_{a}^{b}}{\ce {S}}^{\beta }{\ce {->}}\sum _{d=0}^{c}\sum _{\gamma }u_{\gamma }y_{d}\ {_{c}^{d}}{\ce {P}}^{\gamma },$

где $u_{\gamma }=1$. Например, с использованием индикаторов изотопа N изотопомерные реакции

${\ce {{^{14}NO3^{-}}+{^{15}NO3^{-}}->{^{14}N}{^{15}NO},}}$

${\ce {{^{14}NO3^{-}}+{^{15}NO3^{-}}->{^{15}N}{^{14}NO},}}$

можно записать как одну реакцию, в которой каждый изотопомерный продукт умножается на его коэффициент распределения как

${\ce {{^{0}_{1}S}+{^{1}_{1}S}->{\mathit {u}}_{\beta }{^{1}_{2}P}^{\beta }+{\mathit {u}}_{\gamma }{^{1}_{2}P}^{\gamma },}}$

с $u_{\gamma }=1-u_{\beta }$. В более общем смысле, индикаторный элемент не обязательно встречается только в одном субстрате и одном продукте. Если $n_{{\ce {S}}}$ субстраты реагируют, высвобождая $n_{{\ce {P}}}$ продуктов, каждый из которых имеет изотопное выражение индикаторного элемента, то обобщенное обозначение реакции имеет вид

$\sum _{j=1}^{n_{S}}\sum _{b_{j}=0}^{a_{j}}\sum _{\beta _{j}}x_{b_{j}}\ {_{a_{j}}^{b_{j}}}{\ce {S}}_{j}^{\beta _{j}}{\ce {->}}\sum _{h=1}^{n_{P}}\sum _{d_{h}=0}^{c_{h}}\sum _{\gamma _{h}}u_{\gamma _{h}}\ y_{d_{h}}\ {_{c_{h}}^{d_{h}}}{\ce {P}}_{h}^{\gamma _{h}}.$ ( 1 )

Например, рассмотрим ${\ce {^{16}O}}$ и ${\ce {^{18}O}}$ трассеры в реакции

${\ce {{CH2^{18}O}+{^{16}O2}->{H2^{16}O}+C^{18}O^{16}O}}$

В этом случае реакцию можно записать как

${\ce {{^{1}_{1}S1}+{^{0}_{2}S2}->{^{0}_{1}P1}+{^{1}_{2}P2}}}$

с двумя субстратами и двумя продуктами без указания места замещения, поскольку все молекулы симметричны.

Биохимические кинетические реакции типа ( 1 ) часто представляют собой каталитические реакции, в которых один или несколько субстратов, ${\ce {S}}_{j}$, связываются с ферментом E с образованием обратимого активированного комплекса C, который высвобождает один или несколько продукты, ${\ce {P}}_{h}$и свободный неизмененный фермент. Эти реакции относятся к типу реакций, которые можно описать кинетикой Михаэлиса-Ментен . Использование этого подхода для экспрессии изотопологов и изотопомеров субстрата и продукта, а также при заданных стехиометрических отношениях между ними приводит к общим реакциям типа Михаэлиса-Ментен.

$\sum _{j=1}^{n_{{\ce {S}}}}\sum _{b_{ji}=0}^{a_{ji}}\sum _{\beta _{ji}}x_{b_{ji}}\ {_{a_{j}}^{b_{ji}}}{\ce {S}}_{j}^{\beta _{ji}}+{\ce {E <=>[{k}_{1(i)}][{k}_{2(i)}]}}{\ce {C}}_{i}{\ce {->[{k}_{3(i)}]}}\sum _{h=1}^{n_{{\ce {P}}}}\sum _{d_{hi}=0}^{c_{hi}}\sum _{\gamma _{hi}}u_{\gamma _{hi}}y_{d_{hi}}\ {_{c_{h}}^{d_{hi}}}{\ce {P}}_{h}^{\gamma _{hi}}+{\ce {E}}$ ( 2 )

с индексом $i=1,...,m$, где m зависит от числа возможных атомных комбинаций среди всех изотопологов и изотопомеров. Здесь, $k_{1(i)}$, $k_{2(i)}$, и $k_{3(i)}$ – константы скорости, индексированные для каждой из m реакций.

Пример

Реакции

${\ce {2^{14}NO3^{-}->{^{14}N2O}}}$

${\ce {{^{14}NO3^{-}}+{^{15}NO3^{-}}->{^{14}N}{^{15}NO}}}$

${\ce {{^{14}NO3^{-}}+{^{15}NO3^{-}}->{^{15}N}{^{14}NO}}}$

${\ce {2^{15}NO3^{-}->{^{15}N2O}}}$

можно записать как

${\ce {{2_{1}^{0}S}+{E}<=>[{k}_{1(1)}][{k}_{2(1)}]{C1}->[{k}_{3(1)}]{^{0}_{2}P}+{E}}}$

${\ce {{^{0}_{1}S}+{^{1}_{1}S}+{E}<=>[{k}_{1(2)}][{k}_{2(2)}]{C2}->[{k}_{3(2)}]{\mathit {u}}_{\beta }{^{1}_{2}P}^{\beta }+{\mathit {u}}_{\gamma }{^{1}_{2}P}^{\gamma }+{E}}}$

${\ce {{2_{1}^{1}S}+{E}<=>[{k}_{1(3)}][{k}_{2(3)}]{C3}->[{k}_{3(3)}]{^{2}_{2}P}+{E}}}$

Изотопный массовый баланс

Должны соблюдаться следующие массовые балансы изотопов

$\sum _{j=1}^{n_{S}}\sum _{b_{j}=0}^{a_{j}}\sum _{\beta _{j}}x_{b_{j}}\ a_{j}=\sum _{h=1}^{n_{P}}\sum _{d_{h}=0}^{c_{h}}\sum _{\gamma _{h}}u_{\gamma _{h}}\ y_{d_{h}}\ c_{h},$

$\sum _{j=1}^{n_{S}}\sum _{b_{j}=0}^{a_{j}}\sum _{\beta _{j}}x_{b_{j}}\ b_{j}=\sum _{h=1}^{n_{P}}\sum _{d_{h}=0}^{c_{h}}\sum _{\gamma _{h}}u_{\gamma _{h}}\ y_{d_{h}}\ d_{h}.$

Общие уравнения биохимической изотопной кинетики (GEBIK)

Чтобы определить концентрацию всех компонентов, появляющихся в любой общей биохимической реакции, как в ( 2 ), кинетика Михаэлиса-Ментен для ферментативной реакции сочетается с кинетикой Моно для динамики биомассы. В наиболее общем случае предполагается, что концентрация фермента пропорциональна концентрации биомассы и что реакция не находится в квазистационарном состоянии. Эти гипотезы приводят к следующей системе уравнений

${\frac {{\ce {d}}[{^{b_{j}}_{a_{j}}}{\ce {S}}_{j}^{\beta _{j}}]}{{\ce {d}}t}}=\sum _{i}x_{b_{ji}}[{k}_{2(i)}C_{i}-{k}_{1(i)}{E{\overline {S}}}_{i}]$ ( 3а )

${\frac {{\ce {d}}C_{i}}{{\ce {d}}t}}={k}_{1(i)}{E{\overline {S}}}_{i}-[{k}_{2(i)}+{k}_{3(i)}]C_{i}$ ( 3б )

${\frac {{\ce {d}}[{^{d_{h}}_{c_{h}}}{\ce {P}}_{h}^{\gamma _{h}}]}{{\ce {d}}t}}=\sum _{i}u_{\gamma _{hi}}y_{d_{hi}}{k}_{3(i)}C_{i}$ ( 3с )

${\frac {{\ce {d}}E}{{\ce {d}}t}}=z{\frac {{\ce {d}}B}{{\ce {d}}t}}-\sum _{i}{\frac {{\ce {d}}C_{i}}{{\ce {d}}t}}$ ( 3d )

${\frac {{\ce {d}}B}{{\ce {d}}t}}=Y\sum _{h}\sum _{d_{h}}\sum _{\gamma _{h}}{\frac {{\ce {d}}[{^{d_{h}}_{c_{h}}}{\ce {P}}_{h}^{\gamma _{h}}]}{{\ce {d}}t}}-\mu B$ ( 3е )

с $i=1,...,m$, и где ${\overline {S}}_{i}$ – концентрация наиболее лимитирующего субстрата в каждой реакции i , z – коэффициент выхода фермента, Y – коэффициент выхода, выражающий прирост биомассы на единицу высвободившегося продукта и $\mu$ – уровень смертности биомассы.

Общие уравнения биохимического фракционирования изотопов (GEBIF)

Изотопный состав компонентов биохимической системы может определяться по-разному в зависимости от определения изотопного соотношения. Здесь описаны три определения:

Изотопное соотношение – определение 1

Изотопное соотношение по отношению к каждому компоненту в системе, каждому со своим изотопным выражением, относительно концентрации его наиболее распространенного изотополога.

$R_{S_{b_{j},\beta _{j}}}^{**}(t)={\frac {{^{b_{j}}_{a_{j}}}S_{j}^{\beta _{j}}(t)}{^{0}_{a_{j}}S_{j}(t)}}$

$R_{P_{d_{h},\gamma _{h}}}^{**}(t)={\frac {{^{d_{h}}_{c_{h}}}P_{h}^{\gamma _{h}}(t)}{^{0}_{c_{h}}P_{h}(t)}}$

Изотопное соотношение – определение 2

Изотопное соотношение относительно массы индикаторного элемента в каждом компоненте;

$R_{S_{j}}^{*}(t)={\frac {\displaystyle \sum _{b_{j}\neq 0}\sum _{\beta _{j}}{\frac {b_{j}q}{^{b_{j}}M_{S_{j}}}}\ {^{b_{j}}_{a_{j}}}S_{j}^{\beta _{j}}(t)}{\displaystyle \sum _{b_{j}\neq a_{j}}\sum _{\beta _{j}}{\frac {(a_{j}-b_{j})p}{^{b_{j}}M_{S_{j}}}}\ {^{b_{j}}_{a_{j}}}S_{j}^{\beta _{j}}(t)}}$

$R_{P_{h}}^{*}(t)={\frac {\displaystyle \sum _{d_{h}\neq 0}\sum _{\gamma _{h}}{\frac {d_{h}q}{^{d_{h}}M_{P_{h}}}}\ {^{d_{h}}_{c_{h}}}P_{h}^{\gamma _{h}}(t)}{\displaystyle \sum _{d_{h}\neq c_{h}}\sum _{\gamma _{h}}{\frac {(c_{h}-d_{h})p}{^{d_{h}}M_{P_{h}}}}\ {^{d_{h}}_{c_{h}}}P_{h}^{\gamma _{h}}(t)}}$

где, $^{b_{j}}M_{S_{j}}$ и $^{d_{h}}M_{P_{h}}$ представляют собой молекулярную массу каждого изотопного выражения субстрата и продукта.

Изотопное соотношение – определение 3

Изотопное соотношение относительно массы микроэлемента в накопленных субстратах и ​​продуктах

$R_{S}(t)={\frac {\displaystyle \sum _{j}\sum _{b_{j}\neq 0}\sum _{\beta _{j}}{\frac {b_{j}q}{^{b_{j}}M_{S_{j}}}}\ {^{b_{j}}_{a_{j}}}S_{j}^{\beta _{j}}(t)}{\displaystyle \sum _{j}\sum _{b_{j}\neq a_{j}}\sum _{\beta _{j}}{\frac {(a_{j}-b_{j})p}{^{b_{j}}M_{S_{j}}}}\ {^{b_{j}}_{a_{j}}}S_{j}^{\beta _{j}}(t)}},$

$R_{P}(t)={\frac {\displaystyle \sum _{h}\sum _{d_{h}\neq 0}\sum _{\gamma _{h}}{\frac {d_{h}q}{^{d_{h}}M_{P_{h}}}}\ {^{d_{h}}_{c_{h}}}P_{h}^{\gamma _{h}}(t)}{\displaystyle \sum _{h}\sum _{d_{h}\neq c_{h}}\sum _{\gamma _{h}}{\frac {(c_{h}-d_{h})p}{^{d_{h}}M_{P_{h}}}}\ {^{d_{h}}_{c_{h}}}P_{h}^{\gamma _{h}}(t)}}.$

Изотопный состав

Независимо от определения изотопного соотношения изотопный состав субстрата и продукта выражается как

$\delta _{S}(t)=\left({\frac {R_{S}(t)}{R_{std}}}-1\right)1000$, ( 4а )

$\delta _{P}(t)=\left({\frac {R_{P}(t)}{R_{std}}}-1\right)1000$. ( 4а )

где $R_{std}$ представляет собой стандартный изотопный рацион. Здесь использовалось определение изотопного отношения 3, однако в равной степени можно использовать любое из трех определений изотопного отношения.

Коэффициент фракционирования

Изотопное соотношение продукта можно использовать для определения мгновенного изотопного отношения.

${\ce {IR}}_{\ce {P}}(t)={\cfrac {\displaystyle \sum _{h}\sum _{d_{h}\neq 0}\sum _{\gamma _{h}}{\cfrac {d_{h}q}{^{d_{h}}M_{{\ce {P}}_{h}}}}\ {\cfrac {{\ce {d}}[{^{d_{h}}_{c_{h}}}{\ce {P}}_{h}^{\gamma _{h}}(t)]}{{\ce {d}}t}}}{\displaystyle \sum _{h}\sum _{d_{h}\neq c_{h}}\sum _{\gamma _{h}}{\cfrac {(c_{h}-d_{h})p}{^{d_{h}}M_{{\ce {P}}_{h}}}}\ {\cfrac {{\ce {d}}[{^{d_{h}}_{c_{h}}}{\ce {P}}_{h}^{\gamma _{h}}(t)]}{{\ce {d}}t}}}}$ ( 5 )

и зависящий от времени коэффициент фракционирования

$\alpha (t)={\frac {{\ce {IR}}_{{\ce {P}}}(t)}{R_{{\ce {S}}}(t)}}$ ( 6 )

Изотопное обогащение

Зависимое от времени изотопное обогащение просто определяется как

$\epsilon (t)=1-\alpha (t)$ ( 7 )

Упрощенные формы GEBIK и GEBIF

При определенных предположениях уравнения GEBIK и GEBIF становятся эквивалентными уравнению стационарного кинетического фракционирования изотопов как в химических, так и в биохимических реакциях. Здесь предлагаются две математические трактовки: (i) в рамках гипотезы отсутствия биомассы и инвариантности ферментов (BFEI) и (ii) в рамках гипотезы квазистационарного состояния (QSS).

Гипотеза БФЭИ

В тех случаях, когда концентрации биомассы и ферментов существенно не меняются во времени, можно предположить, что динамика биомассы незначительна, а общая концентрация ферментов постоянна, и уравнения GEBIK принимают вид

${\frac {{\ce {d}}[{^{b_{j}}_{a_{j}}}{\ce {S}}_{j}^{\beta _{j}}]}{{\ce {d}}t}}=\sum _{i}x_{b_{ji}}[{k}_{2(i)}C_{i}-{k}_{1(i)}{E{\overline {S}}}_{i}]$ ( 8а )

${\frac {{\ce {d}}C_{i}}{{\ce {d}}t}}={k}_{1(i)}{E{\overline {S}}}_{i}-[{k}_{2(i)}+{k}_{3(i)}]C_{i}$ ( 8б )

${\frac {{\ce {d}}[{^{d_{h}}_{c_{h}}}{\ce {P}}_{h}^{\gamma _{h}}]}{{\ce {d}}t}}=\sum _{i}u_{\gamma _{hi}}y_{d_{hi}}{k}_{3(i)}{\ce {C}}_{i}$ ( 8с )

${\frac {{\ce {d}}E}{{\ce {d}}t}}=-\sum _{i}{\frac {{\ce {d}}C_{i}}{{\ce {d}}t}}$ ( 8д )

уравнения ( 4 ) для изотопных составов, уравнение. ( 6 ) для коэффициента фракционирования и уравнения. ( 7 ) для коэффициента обогащения в равной степени применимо и к уравнениям GEBIK в рамках гипотезы BFEI.

Гипотеза QSS

Если в дополнение к гипотезе BFEI принять гипотезу квазистационарного состояния , то можно предположить, что комплексная концентрация находится в стационарном (стационарном) состоянии в соответствии с гипотезой Бриггса- Холдейна , и уравнения GEBIK принимают вид

${\frac {{\ce {d}}[{_{a_{j}}^{b_{j}}}{\ce {S}}_{j}^{\beta _{j}}]}{{\ce {d}}t}}\simeq -\sum _{i=1}^{m}{\frac {x_{b_{ji}}{k}_{3(i)}E_{0}{\overline {S}}_{i}}{{\overline {S}}_{i}+K_{i}\left(1+\displaystyle \sum _{p\neq i}{\dfrac {{\overline {S}}_{p}}{K_{p}}}\right)}}$ ( 9а )

${\frac {{\ce {d}}[{^{d_{h}}_{c_{h}}}{\ce {P}}_{h}^{\gamma _{h}}]}{{\ce {d}}t}}\simeq \sum _{i=1}^{m}{\frac {u_{\gamma _{hi}}y_{d_{hi}}{k}_{3(i)}E_{0}{\overline {S}}_{i}}{{\overline {S}}_{i}+K_{i}\left(1+\displaystyle \sum _{p\neq i}{\dfrac {{\overline {S}}_{p}}{K_{p}}}\right)}}$ ( 9а )

которые записаны в форме, аналогичной классическим уравнениям Микаэлиса-Ментена для любого субстрата и продукта. Здесь уравнения также показывают, что различные изотопологические и изотопомерные субстраты выступают как конкурирующие виды. уравнения ( 4 ) для изотопных составов, уравнение. ( 6 ) для коэффициента фракционирования и уравнения. ( 7 ) для коэффициента обогащения в равной степени применимо к уравнениям GEBIK в рамках гипотез BFEI и QSS.

Пример применения GEBIK и GEBIF

Показан пример, где уравнения GEBIK и GEBIF используются для описания изотопных реакций ${\ce {N2O}}$ потребление в ${\ce {N2}}$ по одновременному набору реакций

${\ce {^{14}N2O->{^{14}N2},}}$

${\ce {{^{14}N}{^{15}NO}->{^{14}N}{^{15}N},}}$

${\ce {{^{15}N}{^{14}NO}->{^{14}N}{^{15}N},}}$

Их можно переписать, используя обозначения, введенные ранее как.

${\ce {{^{0}_{2}S}+{E}<=>[{k}_{2(1)}][{k}_{1(1)}]C1->[{k}_{3(1)}]{^{0}_{2}P}+{E},}}$

${\ce {{^{1}_{2}S}^{\beta }+{E}<=>[{k}_{2(2)}][{k}_{1(2)}]C2->[{k}_{3(2)}]{^{1}_{2}P}+{E},}}$

${\ce {{^{1}_{2}S}^{\gamma }+{E}<=>[{k}_{2(3)}][{k}_{1(3)}]C3->[{k}_{3(3)}]{^{1}_{2}P}+{E},}}$

Субстрат ${\ce {^{2}_{2}S\ =\ {^{15}N2O}}}$ не был включен из-за его редкости. Кроме того, мы не указали изотопное замещение в ${\ce {N2}}$ продукт второй и третьей реакций, так как ${\ce {N2}}$ является симметричным. Предполагая, что скорость второй и третьей реакций одинакова. $(k_{1(3)}\equiv k_{1(2)}$, $k_{2(3)}\equiv k_{2(2)}$, и $k_{3(3)}\equiv k_{3(2)})$, полные уравнения GEBIK и GEBIF имеют вид

${\frac {{\ce {d}}[{\ce {^0_2S}}]}{{\ce {d}}t}}={k}_{2(1)}{\ce {C1}}-{k}_{1(1)}{\ce {^0_2S E}}$

${\frac {{\ce {d}}[{\ce {^{1}_{2}S^{\beta }}}]}{{\ce {d}}t}}={k}_{2(2)}{\ce {C2}}-{k}_{1(2)}{\ce {^{1}_{2}S^{\beta }E}}$

${\frac {{\ce {d}}[{\ce {^{1}_{2}S^{\gamma }}}]}{{\ce {d}}t}}={k}_{2(2)}{\ce {C3}}-{k}_{1(2)}{\ce {^{1}_{2}S^{\gamma }E}}$

${\frac {{\ce {d}}{\ce {C1}}}{{\ce {d}}t}}={k}_{1(1)}{\ce {^0_2S E}}-({k}_{2(1)}+{k}_{3(1)}){\ce {C1}}$

${\frac {{\ce {d}}{\ce {C2}}}{{\ce {d}}t}}={k}_{1(2)}{\ce {^{1}_{2}S^{\beta }E}}-({k}_{2(2)}+{k}_{3(2)}){\ce {C2}}$

${\frac {{\ce {d}}{\ce {C3}}}{{\ce {d}}t}}={k}_{1(2)}{\ce {^{1}_{2}S^{\gamma }E}}-({k}_{2(2)}+{k}_{3(2)}){\ce {C3}}$

${\frac {{\ce {d}}[{\ce {^0_2P}}]}{{\ce {d}}t}}={k}_{3(1)}{\ce {C1}}$

${\frac {{\ce {d}}[{\ce {^1_2P}}]}{{\ce {d}}t}}={k}_{3(2)}({\ce {C2}}+{\ce {C3}})$

${\frac {{\ce {d}}{\ce {E}}}{{\ce {d}}t}}=z{\frac {{\ce {d}}B}{{\ce {d}}t}}-{\frac {{\ce {d}}{\ce {C1}}}{{\ce {d}}t}}-{\frac {{\ce {d}}{\ce {C2}}}{{\ce {d}}t}}-{\frac {{\ce {d}}{\ce {C3}}}{{\ce {d}}t}}$

${\frac {{\ce {d}}B}{{\ce {d}}t}}=Y\left({\frac {{\ce {d}}[{\ce {^0_2P}}]}{{\ce {d}}t}}+{\frac {{\ce {d}}[{\ce {^1_2P}}]}{{\ce {d}}t}}\right)-\mu B$

$R_{P}(t)={\frac {15\ {\ce {^1_2P}}(t)}{14\ {\ce {^1_2P}}(t)+29\ {\ce {^0_2P}}(t)}}$

${\ce {IR_P}}(t)={\dfrac {15\ ({\ce {C2}}+{\ce {C3}}){k}_{3(2)}}{29\ {\ce {C1}}{k}_{3(1)}+14\ ({\ce {C2}}+{\ce {C3}}){k}_{3(2)}}},$

$R_{S}(t)={\frac {165\ {\ce {^1_2S}}}{154\ {\ce {^1_2S}}+315\ {\ce {^0_2S}}}}$

$\alpha (t)={\frac {7\ ({\ce {C2}}+{\ce {C3}}){k}_{3(2)}[45\ {\ce {^{0}_{2}S}}+22\ {\ce {^{1}_{2}S}}]}{11\ [29\ {\ce {C1}}{k}_{3(1)}+14\ ({\ce {C2}}+{\ce {C3}}){k}_{3(2)}]\ {_{2}^{1}}{\ce {S}}}}$

Пример применения GEBIK и GEBIF в рамках гипотез BFEI и QSS

Ту же реакцию можно описать уравнениями GEBIK и GEBIF в приближениях BFEI и QSS как

${\frac {{\ce {d}}[{^{0}_{2}}{\ce {S}}]}{{\ce {d}}t}}\simeq -{\frac {{k}_{3(1)}E_{0}{^{0}_{2}}{\ce {S}}}{^{0}_{2}{\ce {S}}+{\ce {K1}}\left(1+{\dfrac {{^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\beta }}{\ce {K2}}}+{\dfrac {{^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\gamma }}{\ce {K2}}}\right)}}$

${\frac {{\ce {d}}[{^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\beta }]}{{\ce {d}}t}}\simeq -{\frac {{k}_{3(2)}E_{0}{^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\beta }}{^{1}_{2}{\ce {S}}^{\beta }+{\ce {K2}}\left(1+{\dfrac {{^{0}_{2}}{\ce {S}}}{\ce {K1}}}+{\dfrac {{^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\gamma }}{\ce {K2}}}\right)}}$

${\frac {{\ce {d}}[{^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\gamma }]}{{\ce {d}}t}}\simeq -{\frac {{k}_{3(2)}E_{0}{^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\gamma }}{^{1}_{2}{\ce {S}}^{\gamma }+{\ce {K2}}\left(1+{\dfrac {{^{0}_{2}}{\ce {S}}}{\ce {K1}}}+{\dfrac {{^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\beta }}{\ce {K2}}}\right)}}$

${\frac {{\ce {d}}{_{2}^{0}}{\ce {P}}}{{\ce {d}}t}}=-{\frac {{\ce {d}}[{^{0}_{2}}{\ce {S}}]}{{\ce {d}}t}}$

${\frac {{\ce {d}}{_{2}^{1}}{\ce {P}}}{{\ce {d}}t}}=-{\frac {{\ce {d}}[{^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\beta }]}{{\ce {d}}t}}-{\frac {{\ce {d}}[{^{1}_{2}}{\ce {S}}^{\gamma }]}{{\ce {d}}t}}$

$R_{P}(t)={\frac {15{_{2}^{1}}{\ce {P}}}{14{_{2}^{1}}{\ce {P}}+29\ {_{2}^{0}}{\ce {P}}}}$

${\ce {IR_{P}}}(t)={\dfrac {15{\ce {K1}}{k}_{3(2)}{_{2}^{1}}{\ce {S}}}{29{\ce {K2}}{k}_{3(1)}{_{2}^{0}}{\ce {S}}+14{\ce {K1}}{k}_{3(2)}{_{2}^{1}}{\ce {S}}}}$

$R_{S}(t)={\frac {465\ {_{2}^{1}}{\ce {S}}}{14[63\ {_{2}^{0}}{\ce {S}}+31\ {_{2}^{1}}{\ce {S}}]}}$

$\alpha (t)={\frac {14{\ce {K1}}{k}_{3(2)}[63\ {_{2}^{0}}{\ce {S}}+31\ {_{2}^{1}}{\ce {S}}]}{31[29{\ce {K2}}{k}_{3(1)}\ {_{2}^{0}}{\ce {S}}+14{\ce {K1}}{k}_{3(2)}\ {_{2}^{0}}{\ce {S}}]}}$

где ${\ce {K3}}$ был заменен на ${\ce {K2}}$ поскольку предполагалось, что константы скорости третьей реакции равны константам скорости второй реакции.

См. также

• Равновесное фракционирование
• Изотопная электрохимия