Правило Фридмана-Диакониса

В статистике правило Фридмана -Диакониса можно использовать для выбора ширины интервалов, которые будут использоваться в гистограмме . Он назван в честь Дэвида А. Фридмана и Перси Диакониса .

Для набора эмпирических измерений, выбранных из некоторого распределения вероятностей , правило Фридмана-Диакониса разработано приблизительно для минимизации интеграла квадрата разности между гистограммой (т. е. относительной плотностью частот) и плотностью теоретического распределения вероятностей.

Подробно, интегрированная среднеквадратическая ошибка (IMSE)

${\text{IMSE}}=E\left[\int _{I}(H(x)-f(x))^{2}\right]$

где $H$ представляет собой аппроксимацию гистограммы $f$ на интервале $I$ вычислено с $n$ точки данных, выбранные из распределения $f$. $E[\cdot ]$ обозначает ожидание во многих независимых розыгрышах $n$ точки данных. В мягких условиях, а именно $f$ и его первые две производные $L^{2}$, Фридман и Диаконис показывают, что интеграл минимизируется за счет выбора ширины интервала

$h^{*}=\left(6/\int _{-\infty }^{\infty }f'(x)^{2}dx\right)^{1/3}n^{-1/3}$

Формула, выведенная ранее Скоттом. Изменение порядка интегрирования и ожидания оправдано теоремой Фубини . Правило Фридмана-Диакониса выводится из предположения, что $f$ является нормальным распределением , что делает его примером нормального эталонного правила . В этом случае $\int f'(x)^{2}=(4{\sqrt {\pi }}\sigma ^{3})^{-1}$.

Фридман и Диаконис используют межквартильный диапазон для оценки стандартного отклонения : $\sigma \sim \phi ^{-1}(0.75)-\phi ^{-1}(0.25)$ где $\Phi$ — кумулятивная функция распределения для нормальной плотности. Это дает правило

${\text{Bin width}}=2\,{{\text{IQR}}(x) \over {\sqrt[{3}]{n}}}$

где $\operatorname {IQR} (x)$ представляет собой межквартильный размах данных и $n$ количество наблюдений в выборке $x$. Фактически, если используется нормальная плотность, коэффициент 2 впереди оказывается равным $\sim 2.59$, но 2 — это фактор, рекомендованный Фридманом и Диаконисом.

Другие подходы

10 000 выборок из данных нормального распределения, распределенных по разным правилам. Правило Фридмана-Диакониса дает 61 бин, правило Скотта — 48, правило Стерджеса — 15.

С заменой коэффициента 2 примерно на 2,59 правило Фридмана-Диакониса асимптотически соответствует правилу Скотта для выборочных данных.из нормального распределения.

Другой подход заключается в использовании правила Стерджеса : используйте ширину ячейки так, чтобы в ней было около $1+\log _{2}n$ непустые ячейки, однако этот подход не рекомендуется, если количество точек данных велико. Обсуждение многих альтернативных подходов к выбору бинов см. в Birge and Rozenholc.