Независимая модель чипа

В покере используется независимая модель фишек (ICM), также известная как метод Мальмута-Харвилла. — это математическая модель игрока , которая приблизительно определяет общее эквити в незавершенном турнире . Дэвид Харвилл впервые разработал эту модель в статье 1973 года о скачках ; в 1987 году Мейсон Мальмут независимо заново открыл его для покера. В ICM все игроки обладают сопоставимыми навыками , поэтому текущие размеры стеков полностью определяют распределение вероятностей окончательного рейтинга игрока. Затем модель аппроксимирует это распределение вероятностей и вычисляет ожидаемый призовой фонд.

Игроки в покер часто используют термин ICM для обозначения симулятора , который помогает игроку выработать стратегию турнира. ICM может применяться для ответа на конкретные вопросы, такие как:

• Диапазон рук, с которыми игрок может идти олл-ин , учитывая ход игры на данный момент
• Диапазон рук, с которыми игрок может уравнять олл-ин другого игрока или пойти олл-ин сверху; и какой образ действий является оптимальным, учитывая оставшиеся стеки противника
• При обсуждении сделки укажите, сколько денег должен получить каждый игрок.

В таких симуляторах редко используется немодифицированная модель Мальмута-Харвилля. В дополнение к структуре выплат калькулятор ICM Мальмута-Харвилла также потребует в качестве входных данных количества фишек всех игроков. которые не всегда могут быть доступны. Модель Мальмута-Харвилла также дает неудовлетворительные оценки маловероятных событий и вычислительно сложна для многих игроков.

Модель

Исходная модель ICM работает следующим образом:

• Шанс каждого игрока занять первое место пропорционален количеству фишек игрока.
• В противном случае, если игрок k финиширует первым, то игрок i с вероятностью финиширует вторым. $$\mathbb {P} \left[X_{i}=2\mid X_{k}=1\right]={\frac {x_{i}}{1-x_{k}}}$$
• Аналогично, если игроки m ₁ , ..., m _{j -1} финишируют (соответственно) 1-ми, ..., ( j -1) ^ул. , затем игрок i заканчивает j ^й с вероятностью $$\mathbb {P} \left[X_{i}=j\mid X_{m_{z}}=z\quad (1\leq z<j)\right]={\frac {x_{i}}{1-\sum _{z=1}^{j-1}{x_{m_{z}}}}}$$
• Тогда совместное распределение итоговых рейтингов игроков является произведением этих условных вероятностей .
• Ожидаемая выплата — это взвешенная по выигрышу сумма этих совместных вероятностей для всех n ! возможные рейтинги n игроков.

Например, предположим, что игроки A, B и C имеют (соответственно) 50%, 30% и 20% турнирных фишек. Выплата за 1 место составляет 70 единиц, за 2 место – 30 единиц. Затем $$\mathbb {P} [A=1,B=2,C=3]=0.5\cdot {\frac {0.3}{1-0.5}}=0.3$$$$\mathbb {P} [A=1,C=2,B=3]=0.5\cdot {\frac {0.2}{1-0.5}}=0.2$$$$\mathbb {P} [B=1,A=2,C=3]=0.3\cdot {\frac {0.5}{1-0.3}}\approx 0.21$$$$\mathbb {P} [B=1,A=3,C=2]=0.3\cdot {\frac {0.2}{1-0.3}}\approx 0.09$$$$\mathbb {P} [C=1,A=2,B=3]=0.2\cdot {\frac {0.5}{1-0.2}}\approx 0.13$$$$\mathbb {P} [C=1,A=3,B=2]=0.2\cdot {\frac {0.3}{1-0.2}}\approx 0.08$$$$\mathrm {ICM} (A)=70(0.3+0.2)+30(0.21\cdots +0.13\cdots )\approx 45\approx 90\%$$$$\mathrm {ICM} (B)=70(0.21\cdots +0.09\cdots )+30(0.3+0.08\cdots )\approx 32\approx 110\%$$$$\mathrm {ICM} (C)=70(0.13\cdots +0.08\cdots )+30(0.2+0.09\cdots )\approx 22\approx 110\%$$где проценты описывают ожидаемую выплату игрока относительно его текущего стека.

Сравнение с разорением игрока

Поскольку ICM игнорирует навыки игрока, классическая задача разорения игрока также моделирует пропущенные игры в покер, но более точно. Формулы Харвилла-Мальмута совпадают с оценками разорения игрока только в случае двух игроков. При наличии трех и более игроков они дают неверную вероятность, но адекватно приближают ожидаемую выплату.

Сетка FEM для 3 игроков и 4 фишек.

Например, предположим, что игроков очень мало (например, 3 или 4). В этом случае метода конечных элементов (МКЭ) достаточно, чтобы точно решить проигрыш игрока. Крайними случаями являются следующие:

3 игрока; 200 фишек; Выплата $50/30/20

Текущие стеки			Тип данных	П[ А заканчивает...]			Капитал
А	Б	С		1-й	2-й	3-й
25	87	88	ИКМ	0.125	0.1944	0.6806	$25.69
			ПЯТЬ	0.125	0.1584	0.7166	$25.33
			| ИКМ-ФЕМ |	0	0.0360	0.0360	$0.36
			⁠ | ИКМ-ФЕМ | / ФЭМ ⁠	0%	22.73%	5.02%	1.42%
21	89	90	ИКМ	0.105	0.1701	0.7249	$24.85
			ПЯТЬ	0.105	0.1346	0.7604	$24.50
			| ИКМ-ФЕМ |	0	0.0355	0.0355	$0.35
			⁠ | ИКМ-ФЕМ | / ФЭМ ⁠	0%	26.37%	4.67%	1.43%
198	1	1	ИКМ	0.99	0.009950	0.000050	$49.80
			ПЯТЬ	0.99	0.009999	0.000001	$49.80
			| ИКМ-ФЕМ |	0	0.000049	0.000049	$0
			⁠ | ИКМ-ФЕМ | / ФЭМ ⁠	0%	0.49%	4900%	0%

Состояние игры 25/87/88 дает наибольшую абсолютную разницу между вероятностью ICM и FEM (0,0360) и наибольшую разницу в турнирном эквити (0,36 доллара США). Однако относительная разница в собственном капитале невелика: всего 1,42%. Самая большая относительная разница лишь немного больше (1,43%), что соответствует игре 21/89/90. Состояние игры 198/1/1 дает наибольшую относительную разницу вероятностей (4900%), но только для крайне маловероятного события .

Результаты в случае с четырьмя игроками аналогичны.

Дальнейшее чтение

• Харрингтон, Дэн; Роберти, Билл (2014). Харрингтон о современном турнирном покере . ООО «Издательство Два Плюс Два». ISBN  978-1-880685-56-3 . Харрингтон обсуждает ICM на страницах 108–122.
• Коллин Мошман (июль 2007 г.). Стратегия Sit 'n Go: советы экспертов по победе в турнирах по покеру за одним столом . ООО «Издательство Два Плюс Два». стр. 122–. ISBN  978-1-880685-39-6 .
• Джонатан Гротенштейн; Возвращение штормов (15 января 2013 г.). Ship It Holla Ballas!: Как группа 19-летних выпускников колледжа использовала Интернет, чтобы стать самой громкой, безумной и богатой командой в покере . Пресса Святого Мартина. стр. 17–. ISBN  978-1-250-00665-3 .