Приближение Комлоша – Майора – Туснади

В теории вероятностей приближение Комлоша -Майора-Туснади (также известное как приближение КМТ , вложение КМТ или венгерское вложение ) относится к одной из двух сильных теорем вложения: 1) аппроксимация случайного блуждания стандартным броуновским движением, построенным на том же вероятностном пространстве и 2) аппроксимация эмпирического процесса броуновским мостом, построенным на том же вероятностном пространстве . Она названа в честь венгерских математиков Яноша Комлоша , Габора Тушнади и Петера Майора , доказавших ее в 1975 году.

Теория

Позволять $U_{1},U_{2},\ldots$ быть независимыми равномерными (0,1) случайными величинами . Определим равномерную эмпирическую функцию распределения как

$F_{U,n}(t)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{U_{i}\leq t},\quad t\in [0,1].$

Определите однородный эмпирический процесс как

$\alpha _{U,n}(t)={\sqrt {n}}(F_{U,n}(t)-t),\quad t\in [0,1].$

Теорема Донскера (1952 г.) показывает, что $\alpha _{U,n}(t)$ по закону сходится к броуновскому мосту $B(t).$ Комлос, Майор и Туснади установили четкую границу скорости этой слабой конвергенции.

Теорема (КМТ, 1975 г.) О подходящем вероятностном пространстве для независимых равномерных (0,1) с.в. $U_{1},U_{2}\ldots$ эмпирический процесс $\{\alpha _{U,n}(t),0\leq t\leq 1\}$ можно аппроксимировать последовательностью броуновских мостов. $\{B_{n}(t),0\leq t\leq 1\}$ такой, что

$P\left\{\sup _{0\leq t\leq 1}|\alpha _{U,n}(t)-B_{n}(t)|>{\frac {1}{\sqrt {n}}}(a\log n+x)\right\}\leq be^{-cx}$

для всех натуральных чисел n и всех $x>0$, где a , b и c — положительные константы.

Следствие

Следствием этой теоремы является то, что для любого действительного iid rv $X_{1},X_{2},\ldots ,$ с компакт-диском $F(t),$ можно построить вероятностное пространство, в котором независимы последовательности эмпирических процессов $\alpha _{X,n}(t)={\sqrt {n}}(F_{X,n}(t)-F(t))$ и гауссовские процессы $G_{F,n}(t)=B_{n}(F(t))$ существуют такие, что

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{\ln n}}{\big \|}\alpha _{X,n}-G_{F,n}{\big \|}_{\infty }<\infty ,$     почти наверняка .

Ссылки

• Комлос Дж., Майор П. и Туснади Г. (1975) Аппроксимация частичных сумм независимых случайных величин и выборки df. I, Wahrsch verw Gebiete/Теория вероятностей и смежные области , 32, 111–131. дои : 10.1007/BF00533093
• Комлос Дж., Майор П. и Туснади Г. (1976) Аппроксимация частичных сумм независимых случайных величин и выборки df. II, Wahrsch verw Gebiete/Теория вероятностей и смежные области , 34, 33–58. дои : 10.1007/BF00532688