Сопутствующее (статистика)

В статистике понятие сопутствующего фактора , также называемого статистикой индуцированного порядка , возникает, когда кто-то сортирует члены случайной выборки в соответствии с соответствующими значениями другой случайной выборки.

Пусть ( X _i , Y _i ), i = 1, . . ., n — случайная выборка из двумерного распределения. Если выборка упорядочена по X _i , то Y -переменная, связанная с X _{r : n,} будет обозначаться Y _{[ r : n ]} и называться сопутствующей переменной r. ^й статистика заказов .

Предположим, что родительское двумерное распределение имеет кумулятивную функцию распределения F(x,y) и ее плотности вероятности f(x,y) , тогда функция плотности вероятности r функцию ^й сопутствующий $Y_{[r:n]}$ для $1\leq r\leq n$ является

$f_{Y_{[r:n]}}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y\mid X}(y|x)f_{X_{r:n}}(x)\,\mathrm {d} x$

Если все $(X_{i},Y_{i})$ считаются iid, то для $1\leq r_{1}<\cdots <r_{k}\leq n$, плотность соединений для $\left(Y_{[r_{1}:n]},\cdots ,Y_{[r_{k}:n]}\right)$ дается

$f_{Y_{[r_{1}:n]},\cdots ,Y_{[r_{k}:n]}}(y_{1},\cdots ,y_{k})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{x_{k}}\cdots \int _{-\infty }^{x_{2}}\prod _{i=1}^{k}f_{Y\mid X}(y_{i}|x_{i})f_{X_{r_{1}:n},\cdots ,X_{r_{k}:n}}(x_{1},\cdots ,x_{k})\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{k}$

То есть, в общем, совместные спутники порядковой статистики. $\left(Y_{[r_{1}:n]},\cdots ,Y_{[r_{k}:n]}\right)$ зависимы, но условно независимы при условии $X_{r_{1}:n}=x_{1},\cdots ,X_{r_{k}:n}=x_{k}$ для всех k где $x_{1}\leq \cdots \leq x_{k}$. Условное распределение совместных сопутствующих веществ можно получить из приведенного выше результата путем сравнения формулы предельного распределения и, следовательно,

$f_{Y_{[r_{1}:n]},\cdots ,Y_{[r_{k}:n]}\mid X_{r_{1}:n}\cdots X_{r_{k}:n}}(y_{1},\cdots ,y_{k}|x_{1},\cdots ,x_{k})=\prod _{i=1}^{k}f_{Y\mid X}(y_{i}|x_{i})$

Ссылки

• Дэвид, Герберт А.; Нагараджа, Х.Н. (1998). «Сопутствующие статистики порядка». В Балакришнане, Н.; Рао, ЧР (ред.). Статистика заказов: теория и методы . Амстердам: Эльзевир. стр. 487–513.
• ——; Нагараджа, Х.Н. (2003). Статистика заказов . Серия Уайли по вероятности и статистике (3-е изд.). Чичестер: Джон Уайли и сыновья. п. 144. ИСБН  0-471-38926-9 . Збл   1053.62060 .
• Матай, AM; Хаубольд, Ханс Дж. (2008). Специальные функции для ученых-прикладников . Спрингер. ISBN  978-0-387-75893-0 .