Восьмивершинная модель

В статистической механике восьмивершинная модель является обобщением моделей ледяного типа (шестивершин) ; это обсуждалось Сазерлендом, и Фан и Ву, и решено Бакстером в случае нулевого поля.

Описание

Как и модели ледяного типа, модель с восемью вершинами представляет собой модель квадратной решетки , где каждое состояние представляет собой конфигурацию стрелок в вершине. Разрешенные вершины имеют четное количество стрелок, указывающих на вершину; к ним относятся шесть, унаследованные от модели ледового типа (1-6), а также стоки и источники (7, 8).

Восемьвертекс2

Мы рассматриваем $N\times N$ решетка, с. $N^{2}$ вершины и $2N^{2}$ края. Наложение периодических граничных условий требует, чтобы состояния 7 и 8 возникали одинаково часто, как и состояния 5 и 6, и, таким образом, можно было считать, что они имеют одинаковую энергию. В случае нулевого поля то же самое справедливо и для двух других пар состояний. Каждая вершина $j$ имеет связанную энергию $\epsilon _{j}$ и вес Больцмана $w_{j}=e^{-{\frac {\epsilon _{j}}{kT}}}$, что дает статистическую сумму по решетке как

$Z=\sum \exp \left(-{\frac {\sum _{j}n_{j}\epsilon _{j}}{kT}}\right)$

где суммирование ведется по всем разрешенным конфигурациям вершин решетки. В этом общем виде статистическая сумма остается нерешенной.

Решение в случае нулевого поля

Случай нулевого поля модели физически соответствует отсутствию внешних электрических полей. Следовательно, модель остается неизменной при развороте всех стрелок; состояния 1 и 2, а также 3 и 4, следовательно, должны возникать парами. Вершинам можно присвоить произвольные веса.

${\begin{aligned}w_{1}=w_{2}&=a\\w_{3}=w_{4}&=b\\w_{5}=w_{6}&=c\\w_{7}=w_{8}&=d.\end{aligned}}$

Решение основано на наблюдении, что строки в трансфер-матрицах коммутируют при определенной параметризации этих четырех весов Больцмана. Это произошло как модификация альтернативного решения шестивершинной модели ; он использует эллиптические тета-функции .

Коммутирующие трансферные матрицы

Доказательство основано на том факте, что когда $\Delta '=\Delta$ и $\Gamma '=\Gamma$, для количеств

${\begin{aligned}\Delta &={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}}\\\Gamma &={\frac {ab-cd}{ab+cd}}\end{aligned}}$

матрицы переноса $T$ и $T'$ (связано с весами $a$, $b$, $c$, $d$ и $a'$, $b'$, $c'$, $d'$) добираться. Используя соотношение звезда-треугольник , Бакстер переформулировал это условие как эквивалентное параметризации весов, заданных как

$a:b:c:d=\operatorname {snh} (\eta -u):\operatorname {snh} (\eta +u):\operatorname {snh} (2\eta ):k\operatorname {snh} (2\eta )\operatorname {snh} (\eta -u)\operatorname {snh} (\eta +u)$

для фиксированного модуля $k$ и $\eta$ и переменная $u$. Здесь snh — гиперболический аналог sn, определяемый формулой

${\begin{aligned}\operatorname {snh} (u)&=-i\operatorname {sn} (iu)=i\operatorname {sn} (-iu)\\{\text{where }}\operatorname {sn} (u)&={\frac {H(u)}{k^{1/2}\Theta (u)}}\end{aligned}}$

и $H(u)$ и $\Theta (u)$ являются тета-функциями модуля $k$. Соответствующая матрица передачи $T$ таким образом, является функцией $u$ один; для всех $u$, $v$

$T(u)T(v)=T(v)T(u).$

Матричная функция $Q(u)$

Другой важной частью решения является существование несингулярной матрице-функции. $Q$, такой, что для всех комплексов $u$ матрицы $Q(u),Q(u')$ коммутируют друг с другом и с трансфер-матрицами и удовлетворяют

$\zeta (u)T(u)Q(u)=\phi (u-\eta )Q(u+2\eta )+\phi (u+\eta )Q(u-2\eta )$ ( 1 )

где

${\begin{aligned}\zeta (u)&=[c^{-1}H(2\eta )\Theta (u-\eta )\Theta (u+\eta )]^{N}\\\phi (u)&=[\Theta (0)H(u)\Theta (u)]^{N}.\end{aligned}}$

Существование и коммутационные отношения такой функции демонстрируются путем рассмотрения парного распространения через вершину и отношений периодичности тета-функций аналогично шестивершинной модели.

Явное решение

Коммутация матриц в ( 1 ) позволяет их диагонализировать и , таким образом, собственные значения найти . Статистическая сумма рассчитывается по максимальному собственному значению, что дает свободную энергию на каждый участок

${\begin{aligned}f=\epsilon _{5}-2kT\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh ^{2}((\tau -\lambda )n)(\cosh(n\lambda )-\cosh(n\alpha ))}{n\sinh(2n\tau )\cosh(n\lambda )}}\end{aligned}}$

для

${\begin{aligned}\tau &={\frac {\pi K'}{2K}}\\\lambda &={\frac {\pi \eta }{iK}}\\\alpha &={\frac {\pi u}{iK}}\end{aligned}}$

где $K$ и $K'$ являются полными эллиптическими интегралами модулей $k$ и $k'$.Восьмивершинная модель также была решена в квазикристаллах .

Эквивалентность модели Изинга

Существует естественное соответствие между восьмивершинной моделью и моделью Изинга с 2-спиновыми и 4-спиновыми взаимодействиями ближайших соседей. Состояния этой модели являются спинами $\sigma =\pm 1$ на гранях квадратной решетки. Аналогом «ребер» в восьмивершинной модели являются произведения спинов на соседних гранях:

${\begin{aligned}\alpha _{ij}&=\sigma _{ij}\sigma _{i,j+1}\\\mu _{ij}&=\sigma _{ij}\sigma _{i+1,j}.\end{aligned}}$

Наиболее общая форма энергии для этой модели:

${\begin{aligned}\epsilon &=-\sum _{ij}(J_{h}\mu _{ij}+J_{v}\alpha _{ij}+J\alpha _{ij}\mu _{ij}+J'\alpha _{i+1,j}\mu _{ij}+J''\alpha _{ij}\alpha _{i+1,j})\end{aligned}}$

где $J_{h}$, $J_{v}$, $J$, $J'$ описать горизонтальное, вертикальное и два диагональных 2-спиновых взаимодействия, и $J''$ описывает 4-спиновое взаимодействие между четырьмя гранями в вершине; сумма ведется по всей решетке.

Обозначим горизонтальные и вертикальные спины (стрелками на ребрах) в восьмивершинной модели. $\mu$, $\alpha$ соответственно, и определить вверх и вправо как положительные направления. Ограничение на состояния вершин состоит в том, что произведение четырех ребер в вершине равно 1; это автоматически справедливо для «краев» Изинга. Каждый $\sigma$ конфигурация тогда соответствует уникальному $\mu$, $\alpha$ конфигурация, тогда как каждая $\mu$, $\alpha$ конфигурация дает два варианта $\sigma$ конфигурации.

Приравнивание общих форм весов Больцмана для каждой вершины $j$, следующие отношения между $\epsilon _{j}$ и $J_{h}$, $J_{v}$, $J$, $J'$, $J''$ определим соответствие между решетчатыми моделями:

${\begin{aligned}\epsilon _{1}&=-J_{h}-J_{v}-J-J'-J'',\quad \epsilon _{2}=J_{h}+J_{v}-J-J'-J''\\\epsilon _{3}&=-J_{h}+J_{v}+J+J'-J'',\quad \epsilon _{4}=J_{h}-J_{v}+J+J'-J''\\\epsilon _{5}&=\epsilon _{6}=J-J'+J''\\\epsilon _{7}&=\epsilon _{8}=-J+J'+J''.\end{aligned}}$

Отсюда следует, что в случае нулевого поля восьмивершинной модели горизонтальные и вертикальные взаимодействия в соответствующей модели Изинга исчезают.

Эти соотношения дают эквивалентность $Z_{I}=2Z_{8V}$ между статистическими суммами восьмивершинной модели и 2,4-спиновой модели Изинга. Следовательно, решение в одной модели немедленно приведет к решению в другой.

См. также

• Шестивершинная модель
• Трансфер-матричный метод
• Модель Изинга

Ссылки

• Бакстер, Родни Дж. (1982), Точно решенные модели в статистической механике (PDF) , Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN  978-0-12-083180-7 , MR   0690578 , заархивировано из оригинала (PDF) 14 апреля 2021 г. , получено 12 августа 2012 г.