Теорема Лукача о независимости пропорциональной суммы

В статистике распределения теорема Лукача о независимости доли от суммы — это результат, который используется при изучении пропорций, в частности Дирихле . Он назван в честь Евгения Лукача .

Теорема

Если Y ₁ и Y ₂ — невырожденные независимые случайные величины , то случайные величины

$W=Y_{1}+Y_{2}{\text{ and }}P={\frac {Y_{1}}{Y_{1}+Y_{2}}}$

независимо распределены тогда и только тогда, когда и Y ₁ с одним и Y ₂ имеют гамма-распределения тем же масштабным параметром.

Следствие

Предположим, Y   _i , i = 1, ..., k — невырожденные независимые положительные случайные величины. Тогда каждая из k − 1 случайных величин

$P_{i}={\frac {Y_{i}}{\sum _{i=1}^{k}Y_{i}}}$

не зависит от

$W=\sum _{i=1}^{k}Y_{i}$

тогда и только тогда, когда все Y   _i имеют гамма-распределения с одним и тем же масштабным параметром.

Ссылки

• Нг, ВН; Тиан, Г.Л.; Тан, МЛ (2011). Дирихле и родственные распределения . Джон Вили и сыновья, ООО ISBN  978-0-470-68819-9 . стр. 64. Теорема Лукача о независимости пропорциональной суммы и ее следствие с доказательством.