Мы последовательность

В математике последовательность Сомоса — это последовательность чисел, определяемая определенным рекуррентным соотношением , описанным ниже. Их открыл математик Майкл Сомос . Судя по форме их определяющей рекуррентности (которая включает в себя деление), можно было бы ожидать, что члены последовательности будут дробями, но, тем не менее, многие последовательности Сомоса обладают тем свойством, что все их члены являются целыми числами.

Рекуррентные уравнения

Для целого числа k, большего 1, Сомоск- k последовательность $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ определяется уравнением

$a_{n}a_{n-k}=a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots +a_{n-(k-1)/2}a_{n-(k+1)/2}$

когда k нечетно, или по аналогичному уравнению

$a_{n}a_{n-k}=a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots +(a_{n-k/2})^{2}$

когда k четно, вместе с начальными значениями

а _я знак равно 1 для я < k .

Для k = 2 или 3 эти рекурсии очень просты (в правой части нет сложения) и определяют последовательность «все единицы» (1, 1, 1, 1, 1, 1, ...). В первом нетривиальном случае k = 4 определяющее уравнение имеет вид

$a_{n}a_{n-4}=a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2}$

а для k = 5 уравнение имеет вид

$a_{n}a_{n-5}=a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}\,.$

Эти уравнения можно преобразовать в форму рекуррентного соотношения , в котором значение n _на левой части рекуррентного выражения определяется формулой в правой части путем деления формулы n _{в - k} . Для k = 4 это дает рекуррентность

$a_{n}={\frac {a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2}}{a_{n-4}}}$

а для k = 5 это дает рекуррентность

$a_{n}={\frac {a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}}{a_{n-5}}}.$

Хотя в обычном определении последовательностей Сомоса все значения a _i для i < k устанавливаются равными 1, также возможно определить другие последовательности, используя те же повторения с разными начальными значениями.

Значения последовательности

Значения в последовательности Сомос-4:

1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, ... (последовательность A006720 в OEIS ).

Значения в последовательности Сомос-5:

1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, 274, 1217, 6161, 22833, 165713, ... (последовательность A006721 в OEIS ).

Значения в последовательности Сомос-6:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, 1103, 5047, 41783, 281527, ... (последовательность A006722 в OEIS ).

Значения в последовательности Сомос-7:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 41, 137, 769, 1925, 7203, 34081, ... (последовательность A006723 в OEIS ).

Первые 17 значений в последовательности Сомос-8:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 7, 13, 25, 61, 187, 775, 5827, 14815 [следующее значение дробное].

Целостность

Форма повторений, описывающих последовательности Сомоса, включает в себя деления, из-за чего кажется вероятным, что последовательности, определяемые этими повторениями, будут содержать дробные значения. Тем не менее, при k ≤ 7 последовательности Сомоса содержат только целые значения. Несколько математиков изучали проблему доказательства и объяснения этого целочисленного свойства последовательностей Сомоса; она тесно связана с комбинаторикой кластерных алгебр .

При k ≥ 8 аналогично определенные последовательности в конечном итоге содержат дробные значения. Для Сомоса-8 первым дробным значением является 18-й член со значением 420514/7.

Для k <7 изменение начальных значений (но с использованием того же рекуррентного соотношения) также обычно приводит к дробным значениям.

См. также

• последовательность Гебеля

Внешние ссылки

• Сайт секвенирования Сомоса Джима Проппа
• Вайсштейн, Эрик В. , «Последовательность Сомоса» , MathWorld
• Номер нарушителя спокойствия . Нумерофильское видео о сценах Сомоса