Эрланг (единица измерения)

эрланг
эрланг
Система единиц	сектора стандартизации электросвязи МСЭ Стандарты
Единица	предлагаемый груз , перевозимый груз
Символ	И
Назван в честь	Агнер Краруп Эрланг

Эрланг ( символ E ^[1]) — это безразмерная единица измерения , которая используется в телефонии как мера предлагаемой нагрузки или переносимой нагрузки на элементы, предоставляющие услуги, такие как телефонные цепи или телефонное коммутационное оборудование. Одна шнуровая цепь рассчитана на использование в течение 60 минут в течение одного часа. Полное использование этой мощности, 60 минут трафика, составляет 1 эрланг. ^[2]

Переносимый трафик в эрлангах — это среднее количество одновременных вызовов, измеренное за определенный период (часто один час), а предлагаемый трафик — это трафик, который будет передаваться, если все попытки вызова будут успешными. Объем предлагаемого трафика на практике будет зависеть от того, что происходит с неотвеченными вызовами, когда все серверы заняты.

В 1946 году CCITT Агнера назвал международную единицу телефонного трафика эрлангом в честь Крарупа Эрланга . ^[3]^[4] В ходе анализа эффективного использования телефонных линий Эрланг вывел формулы для двух важных случаев, Erlang-B и Erlang-C, которые стали основополагающими результатами в инженерии телетрафика и теории массового обслуживания . Его результаты, которые используются до сих пор, связывают качество обслуживания с количеством доступных серверов. В обеих формулах в качестве одного из основных входных данных используется предлагаемая нагрузка (в эрлангах), которая часто выражается как произведение скорости поступления вызовов на среднюю продолжительность вызова.

Отличительным допущением, лежащим в основе формулы Erlang B, является отсутствие очереди, поэтому, если все элементы службы уже используются, вновь поступающий вызов будет заблокирован и впоследствии потерян. Формула дает вероятность этого события. Напротив, формула Erlang C предусматривает возможность неограниченной очереди и дает вероятность того, что новому вызову придется ждать в очереди из-за того, что все серверы используются. Формулы Эрланга применяются довольно широко, но они могут дать сбой, когда перегрузка особенно велика, что приводит к повторным попыткам неудачного трафика. Одним из способов учета повторных попыток при отсутствии очереди является метод Extended Erlang B.

Измерения трафика телефонной сети

При использовании для представления переносимого трафика значение (которое может быть нецелым числом, например 43,5) с последующими «эрлангами» представляет собой среднее количество одновременных вызовов, передаваемых по каналам (или другим элементам, предоставляющим услуги), где это среднее значение равно рассчитывается за некоторый разумный период времени. Период, за который рассчитывается среднее значение, часто составляет один час, но могут использоваться более короткие периоды (например, 15 минут), если известно, что существуют короткие всплески спроса и желательно, чтобы измерение трафика не маскировало эти всплески. Один эрланг передаваемого трафика относится к постоянному использованию одного ресурса или к двум каналам, каждый из которых используется пятьдесят процентов времени, и так далее. Например, если в офисе есть два телефонных оператора, оба постоянно заняты, это будет составлять два эрланга (2 E) трафика; или радиоканал, который занят постоянно в течение интересующего периода (например, одного часа), считается имеющим нагрузку в 1 эрланг.

При описании предлагаемого трафика значение, за которым следует «эрланг», представляет собой среднее количество одновременных вызовов, которые были бы переданы, если бы существовало неограниченное количество каналов (то есть, если бы попытки вызова, которые были сделаны, когда все каналы были в использовании не было отклонено). Соотношение между предлагаемым и передаваемым трафиком зависит от конструкции системы и поведения пользователя. Три распространенные модели: (а) абоненты, попытки вызова которых отклонены, уходят и никогда не возвращаются, (б) абоненты, чьи попытки вызова отклоняются, пытаются еще раз в течение довольно короткого промежутка времени, и (в) система позволяет пользователям подождите в очереди, пока канал не станет доступным.

Третье измерение трафика — это мгновенный трафик , выраженный как определенное количество эрлангов, что означает точное количество вызовов, происходящих в определенный момент времени. В этом случае число является неотрицательным целым числом. Устройства регистрации уровня трафика, такие как самописцы, отображают мгновенный трафик.

Анализ Эрланга

Концепции и математика, представленные Агнером Крарупом Эрлангом, имеют широкое применение за пределами телефонии. Они применяются везде, где пользователи прибывают более или менее случайно, чтобы получить эксклюзивную услугу от любого из группы элементов, предоставляющих услуги, без предварительного бронирования, например, когда элементами, предоставляющими услуги, являются кассы продажи билетов, туалеты в самолете или номера мотеля. (Модели Эрланга не применяются там, где элементы, предоставляющие услуги, совместно используются несколькими одновременными пользователями или разные объемы услуг потребляются разными пользователями, например, в каналах, передающих трафик данных.)

Цель теории трафика Эрланга — точно определить, сколько элементов предоставления услуг должно быть предоставлено, чтобы удовлетворить пользователей, без расточительного избыточного обеспечения. Для этого устанавливается целевой уровень обслуживания (GoS) или качество обслуживания (QoS). Например, в системе, где нет очередей, GoS может быть таким, что не более 1 вызова из 100 блокируется (т. е. отклоняется) из-за того, что все каналы используются (GoS равен 0,01), что становится целевой вероятностью. блокировки вызовов P _b при использовании формулы Erlang B.

Существует несколько результирующих формул, включая Erlang B , Erlang C и связанную с ними формулу Engset , основанную на разных моделях поведения пользователя и работы системы. Каждый из них может быть получен с помощью особого случая марковских процессов с непрерывным временем, известных как процесс рождения-смерти . Более поздний метод Extended Erlang B обеспечивает дальнейшее решение трафика, основанное на результатах Erlang.

Расчет предлагаемого трафика

Предлагаемый трафик (в эрлангах) связан со скоростью поступления вызовов λ и средним временем удержания вызова (средним временем телефонного звонка) h следующим соотношением:

E=\lambda h

при условии, что h и λ выражаются в одних и тех же единицах времени (секунды и звонки в секунду или минуты и звонки в минуту).

Практическое измерение трафика обычно основано на непрерывных наблюдениях в течение нескольких дней или недель, в течение которых мгновенный трафик регистрируется через регулярные короткие промежутки времени (например, каждые несколько секунд). Эти измерения затем используются для расчета одного результата, чаще всего трафика в часы пик (в эрлангах). Это среднее количество одновременных вызовов в течение заданного часового периода дня, при этом этот период выбирается для получения наивысшего результата. (Этот результат называется согласованным во времени трафиком в часы пик). Альтернативный вариант — рассчитать значение трафика в часы пик отдельно для каждого дня (что может соответствовать немного разному времени каждый день) и взять среднее значение этих значений. Обычно это дает немного более высокое значение, чем постоянное по времени значение часа наибольшей нагрузки.

Если существующий передаваемый трафик E _c в часы пик измеряется в уже перегруженной системе со значительным уровнем блокировки, необходимо учитывать заблокированные вызовы при оценке предлагаемого трафика E _o в часы пик (который значение трафика, которое будет использоваться в формулах Эрланга). Предлагаемый трафик можно оценить по формуле E _o = E _c /(1 − P _b ). Для этой цели, если система включает в себя средства подсчета заблокированных вызовов и успешных вызовов, P _b можно оценить непосредственно по доле заблокированных вызовов. В противном случае P _b можно оценить, используя E _c вместо E _o в формуле Эрланга, а полученную оценку P _b затем можно использовать в E _o = E _c /(1 − P _b ) для получения первой оценки. Э _о .

Другой метод оценки E _o в перегруженной системе состоит в измерении частоты поступления вызовов в часы пик λ (подсчет успешных вызовов и заблокированных вызовов) и среднего времени удержания вызова (для успешных вызовов) h , а затем оценить E _o по формуле E = λh .

В ситуации, когда обрабатываемый трафик представляет собой совершенно новый трафик, единственный выход — попытаться смоделировать ожидаемое поведение пользователя. Например, можно оценить популяцию активных пользователей, N , ожидаемый уровень использования, U (количество вызовов/транзакций на пользователя в день), коэффициент концентрации в часы наибольшей нагрузки, C (доля ежедневной активности, которая приходится на час наибольшей нагрузки). и среднее время выдержки/время обслуживания, ч (выраженное в минутах). Тогда прогноз предлагаемого трафика в часы пик будет E _o = ⁠ NUC / 60 ⁠ эрлангов . (Деление на 60 переводит скорость поступления вызовов/транзакций в час пик в поминутное значение, чтобы соответствовать единицам, в которых h выражается .)

Формула Эрланга Б

Формула Эрланга Б (или Эрланг-Б через дефис), также известная как формула потерь Эрланга , — это формула вероятности блокировки , описывающая вероятность потери вызовов для группы одинаковых параллельных ресурсов (телефонных линий, каналов, трафика). каналы или эквивалент), иногда называемый очередью M/M/c/c . ^[5] Например, он используется для определения размеров каналов телефонной сети. Формула была выведена Агнером Крарупом Эрлангом и не ограничивается телефонными сетями, поскольку она описывает вероятность в системе массового обслуживания (хотя это частный случай с несколькими серверами, но без места в очереди для входящих вызовов для ожидания свободного сервера). Следовательно, формула также используется в некоторых системах запасов с упущенными продажами.

Формула применяется при условии, что неудачный вызов из-за занятости линии не ставится в очередь и не повторяется, а вместо этого действительно исчезает навсегда. Предполагается, что попытки вызова поступают в соответствии с процессом Пуассона , поэтому моменты поступления вызова независимы. Кроме того, предполагается, что длины сообщений (время удержания) распределены экспоненциально (марковская система), хотя оказывается, что формула применима и к общему распределению времени удержания.

Формула Эрланга B предполагает бесконечное количество источников (например, телефонных абонентов), которые совместно предлагают трафик N серверам (например, телефонным линиям). Скорость, выражающая частоту поступления новых вызовов, λ (рождаемость, интенсивность трафика и т. д.), постоянна и не зависит от количества активных источников. Общее число источников предполагается бесконечным. Формула Erlang B вычисляет вероятность блокировки системы с потерями без буфера, когда запрос, который не был обслужен немедленно, прерывается, в результате чего ни один запрос не попадает в очередь. Блокировка происходит, когда новый запрос поступает в то время, когда все доступные серверы в данный момент заняты. Формула также предполагает, что заблокированный трафик очищается и не возвращается.

Формула определяет GoS ( уровень обслуживания ), который представляет собой вероятность P _b того, что новый вызов, поступающий в группу ресурсов, будет отклонен, поскольку все ресурсы (серверы, линии, каналы) заняты: B ( E , m ), где E — это общий предлагаемый трафик в эрланге, предлагаемый одинаковыми параллельными ресурсами (серверами, каналами связи, полосами трафика).

P_{b}=B(E,m)={\frac {\frac {E^{m}}{m!}}{\sum _{i=0}^{m}{\frac {E^{i}}{i!}}}}

где:

$P_{b}$ это вероятность блокировки
m — количество одинаковых параллельных ресурсов, таких как серверы, телефонные линии и т. д.
E = λh — нормированная входящая нагрузка (предлагаемый трафик указан в эрлангах).

Примечание. Эрланг — это безразмерная единица нагрузки, рассчитываемая как средняя скорость прибытия λ, умноженная на среднее время удержания вызова h . См. закон Литтла , чтобы доказать, что единица эрланга должна быть безразмерной, чтобы закон Литтла был размерно разумным.

Это может быть выражено рекурсивно ^[6] следующим образом, в форме, которая используется для упрощения расчета таблиц формулы Эрланга B:

B(E,0)=1.\,

B(E,j)={\frac {EB(E,j-1)}{EB(E,j-1)+j}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.

Обычно вместо B ( E , m ) в численных вычислениях вычисляется обратная 1/ B ( E , m ), чтобы обеспечить числовую стабильность :

{\frac {1}{B(E,0)}}=1

{\frac {1}{B(E,j)}}=1+{\frac {j}{E}}{\frac {1}{B(E,j-1)}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.

Function ErlangB (E As Double, m As Integer) As Double
    Dim InvB As Double
    Dim j As Integer

    InvB = 1.0
    For j = 1 To m
        InvB = 1.0 + InvB * j / E
    Next j
    ErlangB = 1.0 / InvB
End Function

или версия Python

def erlang_b(E, m: int) -> float:
    """Calculate the probability of call losses."""
    inv_b = 1.0
    for j in range(1, m + 1):
        inv_b = 1.0 + inv_b * j / E
    return 1.0 / inv_b

Формула Эрланга B является убывающей и выпуклой по m . ^[7] Это требует, чтобы поступление вызовов можно было смоделировать с помощью процесса Пуассона , который не всегда является хорошим соответствием, но справедлив для любого статистического распределения времени удержания вызовов с конечным средним значением. Это относится к системам передачи трафика, которые не буферизуют трафик. Более современными примерами по сравнению с POTS , где Erlang B все еще применим, являются оптическая пакетная коммутация (OBS) и несколько современных подходов к оптической коммутации пакетов (OPS). Erlang B был разработан как инструмент определения размера магистрали для телефонных сетей со временем ожидания в минутном диапазоне, но, будучи математическим уравнением, он применим в любом временном масштабе.

Расширенный Эрланг B

Расширенный Erlang B отличается от классических предположений Erlang-B тем, что позволяет части заблокированных абонентов повторить попытку, что приводит к увеличению предлагаемого трафика по сравнению с исходным базовым уровнем. Это итеративный расчет , а не формула, в который добавляется дополнительный параметр — коэффициент отзыва. $R_{f}$ , который определяет попытки отзыва. ^[8]

Этапы процесса следующие. ^[9] Это начинается с итерации $k=0$ с известным начальным базовым уровнем трафика $E_{0}$ , который последовательно корректируется для расчета последовательности новых предлагаемых значений трафика $E_{k+1}$ , каждый из которых учитывает отзыв, возникающий из ранее рассчитанного предложенного трафика $E_{k}$ .

1. Рассчитайте вероятность того, что звонящий будет заблокирован с первой попытки.

P_{b}=B(E_{k},m)\,

как указано выше для Эрланга Б.

2. Рассчитайте вероятное количество заблокированных звонков

B_{e}=E_{k}P_{b}\,

3. Подсчитайте количество отзывов, $R$ , предполагая фиксированный коэффициент отзыва, $R_{f}$ ,

R=B_{e}R_{f}\,

4. Рассчитайте новый предлагаемый трафик

E_{k+1}=E_{0}+R\,

где $E_{0}$ — начальный (базовый) уровень трафика.

5. Вернитесь к шагу 1, заменив $E_{k+1}$ для $E_{k}$ и повторять до тех пор, пока не будет достигнуто стабильное значение $E$ получается.

Как только будет получено удовлетворительное значение $E$ найдена вероятность блокировки $P_{b}$ а коэффициент отзыва можно использовать для расчета вероятности того, что все попытки вызывающего абонента будут потеряны, не только первый вызов, но и все последующие повторы.

Формула Эрланга C

Формула Erlang C выражает вероятность того, что прибывающему клиенту придется стоять в очереди (в отличие от немедленного обслуживания). ^[10] Как и формула Эрланга B, Эрланг C предполагает бесконечную совокупность источников, которые совместно предлагают трафик $E$ эрланги на $m$ серверы. Однако если все серверы заняты при поступлении запроса от источника, запрос ставится в очередь. Таким образом, в очереди может одновременно удерживаться неограниченное количество запросов. Эта формула вычисляет вероятность постановки в очередь предлагаемого трафика, предполагая, что заблокированные вызовы остаются в системе до тех пор, пока их не удастся обработать. Эта формула используется для определения количества агентов или представителей службы поддержки клиентов, необходимых для укомплектования колл-центра , для заданной желаемой вероятности стоять в очереди. Однако формула Erlang C предполагает, что вызывающие абоненты никогда не вешают трубку, находясь в очереди, что позволяет формуле прогнозировать, что следует использовать больше агентов, чем действительно необходимо для поддержания желаемого уровня обслуживания.

P_{w}={{{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{m-E}}} \over \left(\sum \limits _{i=0}^{m-1}{\frac {E^{i}}{i!}}\right)+{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{m-E}}}\,

где:

$E$ общий предлагаемый трафик в эрлангах
$m$ это количество серверов
$P_{w}$ вероятность того, что клиенту придется ждать обслуживания.

Предполагается, что поступление вызовов можно смоделировать с помощью процесса Пуассона и что время удержания вызова описывается экспоненциальным распределением , поэтому формула Эрланга C следует из допущений модели очереди M/M/c .

Ограничения формулы Эрланга

Когда Erlang разработал уравнения трафика Erlang-B и Erlang-C, они были разработаны на основе ряда предположений. Эти предположения верны в большинстве условий; однако в случае чрезвычайно высокой загруженности дорог уравнения Эрланга не могут точно предсказать правильное количество требуемых каналов из-за повторного трафика. Это называется системой с высокими потерями , где заторы порождают новые заторы в часы пик. В таких случаях сначала необходимо создать множество дополнительных цепей, чтобы можно было уменьшить высокие потери. Как только это действие будет предпринято, перегрузка вернется к разумному уровню, и уравнения Эрланга можно будет использовать для определения того, сколько именно каналов действительно требуется. ^[11]

Примером случая, который может привести к развитию такой системы с высокими потерями, может служить объявление на телевидении определенного телефонного номера, по которому нужно позвонить в определенное время. В этом случае по указанному номеру одновременно позвонит большое количество людей. Если поставщик услуг не учтет этот внезапный пиковый спрос, возникнут сильные заторы на дорогах, и уравнения Эрланга невозможно будет использовать. ^[11]

См. также

Спектральная эффективность системы (обсуждается пропускная способность сотовой сети в Эрланге/МГц/ячейка)
АК Эрланг
Колл-центр
Дискретно-событийное моделирование
Тревожная формула
язык программирования Эрланг
Распределение Эрланга
Закон Литтла
Распределение Пуассона
Состав трафика

Ссылки

^ «Сколько? Словарь единиц измерения» . Архивировано из оригинала 18 июня 2017 г. Проверено 20 апреля 2008 г.
^ Фриман, Роджер Л. (2005). Основы телекоммуникаций . Джон Уайли. п. 57. ИСБН 978-0471710455 .
^ «Трафик, обрабатываемый на канале или группе каналов», CCIF — XIV Пленарная ассамблея , Монтрё, 26–31 октября: Международный консультативный комитет по телефонной связи, 1946 г., стр. 60–62, hdl : 11.1004/020.1000/4.237.43.en. 1001 {{citation}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
^ Брокмейер, Э.; Хальстрем, HL; Йенсен, Арне (1948), Жизнь и творчество А. К. Эрланга (PDF) , Труды Датской академии технических наук, том. 2, Akademiet for de Tekniske Videnskaber, заархивировано из оригинала (PDF) 19 июля 2011 г. ^: 19–22
^ Аллен, Арнольд (1978). Вероятность, статистика и теория массового обслуживания: с приложениями в области информатики . Нью-Йорк: Академическая пресса. п. 184. ИСБН 978-0120510504 .
^ Гопин Цзэн (июнь 2003 г.), «Два общих свойства функции erlang-B, функции erlang-C и блокирующей функции Engset», Mathematical and Computer Modeling , 37 (12–13), Elsevier Science: 1287–1296, doi : 10.1016/С0895-7177(03)90040-9
^ Мессерли, EJ, 1972. «Доказательство свойства выпуклости формулы Эрланга B». Технический журнал Bell System 51, 951–953.
^ «Проектирование оптимальных голосовых сетей для бизнеса, правительства и телефонных компаний», Дж. Джуэтт, Дж. Шраго, Б. Йомтов, TelCo Research, Чикаго, 1980.
^ Инаятулла, М., Улла, Ф.К., Хан., А.Н., «Автоматизированная система измерения качества обслуживания», IEEE — ICET 2006, 2-я Международная конференция по новым технологиям, Пешавар, Пакистан, 13–14 ноября 2006 г., стр. 230– 237
^ Кляйнрок, Леонард (1975). Системы массового обслуживания Том 1: Теория . п. 103. ИСБН 978-0471491101 .
^ Перейти обратно: ^а ^б «Кеннеди И., Школа электротехники и информатики, Университет Витватерсранда, Личное общение» . Архивировано из оригинала 1 мая 2003 г. Проверено 1 октября 2017 г.

Дальнейшее чтение

«Решение некоторых задач теории вероятностей значимости в автоматических телефонных станциях» (PDF) . Электроткекникерен . 13 : 5. 1917. Архивировано из оригинала (PDF) 19 июля 2011 года.

[1] «Сколько? Словарь единиц измерения» . Архивировано из оригинала 18 июня 2017 г. Проверено 20 апреля 2008 г.

[2] Фриман, Роджер Л. (2005). Основы телекоммуникаций . Джон Уайли. п. 57. ИСБН 978-0471710455 .

[ccitt1946-3] «Трафик, обрабатываемый на канале или группе каналов», CCIF — XIV Пленарная ассамблея , Монтрё, 26–31 октября: Международный консультативный комитет по телефонной связи, 1946 г., стр. 60–62, hdl : 11.1004/020.1000/4.237.43.en. 1001 {{citation}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[brockmeyer1948-4] Брокмейер, Э.; Хальстрем, HL; Йенсен, Арне (1948), Жизнь и творчество А. К. Эрланга (PDF) , Труды Датской академии технических наук, том. 2, Akademiet for de Tekniske Videnskaber, заархивировано из оригинала (PDF) 19 июля 2011 г. ^: 19–22

[5] Аллен, Арнольд (1978). Вероятность, статистика и теория массового обслуживания: с приложениями в области информатики . Нью-Йорк: Академическая пресса. п. 184. ИСБН 978-0120510504 .

[6] Гопин Цзэн (июнь 2003 г.), «Два общих свойства функции erlang-B, функции erlang-C и блокирующей функции Engset», Mathematical and Computer Modeling , 37 (12–13), Elsevier Science: 1287–1296, doi : 10.1016/С0895-7177(03)90040-9

[7] Мессерли, EJ, 1972. «Доказательство свойства выпуклости формулы Эрланга B». Технический журнал Bell System 51, 951–953.

[8] «Проектирование оптимальных голосовых сетей для бизнеса, правительства и телефонных компаний», Дж. Джуэтт, Дж. Шраго, Б. Йомтов, TelCo Research, Чикаго, 1980.

[9] Инаятулла, М., Улла, Ф.К., Хан., А.Н., «Автоматизированная система измерения качества обслуживания», IEEE — ICET 2006, 2-я Международная конференция по новым технологиям, Пешавар, Пакистан, 13–14 ноября 2006 г., стр. 230– 237

[kleinrock-10] Кляйнрок, Леонард (1975). Системы массового обслуживания Том 1: Теория . п. 103. ИСБН 978-0471491101 .

[Kennedy-11] Перейти обратно: ^а ^б «Кеннеди И., Школа электротехники и информатики, Университет Витватерсранда, Личное общение» . Архивировано из оригинала 1 мая 2003 г. Проверено 1 октября 2017 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]