Модель одновременных уравнений

Модели одновременных уравнений — это тип статистической модели , в которой зависимые переменные являются функциями других зависимых переменных, а не только независимых переменных. ^[1] Это означает, что некоторые объясняющие переменные определяются совместно с зависимой переменной, которая в экономике обычно является следствием некоторого основного механизма равновесия . Возьмем типичную модель спроса и предложения : хотя обычно объемы предложения и спроса определяются как функция цены, установленной рынком, возможно и обратное, когда производители наблюдают за количеством, которое требуют потребители , и затем установите цену. ^[2]

Одновременность создает проблемы для оценки интересующих статистических параметров, поскольку нарушается предположение Гаусса-Маркова о строгой экзогенности регрессоров. И хотя было бы естественно оценить все одновременные уравнения одновременно, это часто приводит к вычислительно затратной задаче нелинейной оптимизации даже для самой простой системы линейных уравнений . ^[3] Эта ситуация побудила к разработке, возглавляемой Комиссией Коулза в 1940-х и 1950-х годах, ^[4] различных методов, которые последовательно оценивают каждое уравнение в модели, в первую очередь ограниченное максимальное правдоподобие информации и двухэтапный метод наименьших квадратов . ^[5]

Структурная и уменьшенная форма

Предположим, что имеется m уравнений регрессии вида

y_{it}=y_{-i,t}'\gamma _{i}+x_{it}'\;\!\beta _{i}+u_{it},\quad i=1,\ldots ,m,

где i — номер уравнения, а t = 1,..., T — индекс наблюдения. В этих уравнениях x _это — k _i × вектор экзогенных переменных 1, y _— зависимая переменная, y _−i,t — вектор n _i × 1 всех других эндогенных переменных, которые входят в i ^й уравнение в правой части, и u _это члены ошибки. Обозначение « -i » указывает, что вектор y _-i,t может содержать любой из y , кроме y _it (поскольку он уже присутствует в левой части). Коэффициенты регрессии β _i и γ _i имеют размерность k _i × 1 и n _i × 1 соответственно. Вертикальное суммирование T наблюдений, соответствующих i ^й уравнение, мы можем записать каждое уравнение в векторной форме как

y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i},\quad i=1,\ldots ,m,

где y _i и u _i — векторы T× 1, X _i — T×ki _, матрица экзогенных регрессоров а Y _−i — матрица эндогенных регрессоров T×n _i в правой части i ^й уравнение. Наконец, мы можем переместить все эндогенные переменные в левую часть и записать m уравнений совместно в векторной форме как

Y\Gamma =X\mathrm {B} +U.\,

Это представление известно как структурная форма . В этом уравнении Y = [ y ₁ y ₂ ... y _m ] — T×m матрица зависимых переменных . Каждая из матриц Y _−i фактически является подматрицей со столбцами n _i в этой Y . Матрица Γ размера m×m , описывающая связь между зависимыми переменными, имеет сложную структуру. На диагонали у него есть единицы, а все остальные элементы каждого столбца i являются либо компонентами вектора −γ _i , либо нулями, в зависимости от того, какие столбцы Y вошли в матрицу Y _−i . Матрица T×k X содержит все экзогенные регрессоры из всех уравнений, но без повторений (т. е. матрица X должна иметь полный ранг). Таким образом, каждая X _i является k _i со столбцами подматрицей X . Матрица В имеет размер k×m , и каждый ее столбец состоит из компонент векторов β _i и нулей в зависимости от того, какой из регрессоров из X был включен или исключен из X _i . Наконец, U = [ u ₁ u ₂ ... um _. ] представляет собой T×m матрицу ошибок размером

После умножения структурного уравнения на Γ ⁻¹, систему можно записать в сокращенном виде как

Y=X\mathrm {B} \Gamma ^{-1}+U\Gamma ^{-1}=X\Pi +V.\,

Это уже простая общая линейная модель , и ее можно оценить, например, с помощью обычного метода наименьших квадратов . К сожалению, задача декомпозиции оценочной матрицы $\scriptstyle {\hat {\Pi }}$ на отдельные факторы B и Γ ⁻¹ довольно сложен, и поэтому сокращенная форма больше подходит для прогнозирования, а не для вывода.

Предположения

Во-первых, ранг матрицы X экзогенных регрессоров должен быть равен k как в конечных выборках, так и в пределе при T → ∞ (это последнее требование означает, что в пределе выражение $\scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X$ должна сходиться к невырожденной k×k- матрице). Матрица Γ также предполагается невырожденной.

Во-вторых, предполагается, что члены ошибок последовательно независимы и одинаково распределены . То есть, если т ^й строка матрицы U обозначается u _{( t )} , то последовательность векторов { u _{( t )} } должна быть iid, с нулевым средним значением и некоторой ковариационной матрицей Σ (которая неизвестна). В частности, отсюда следует, что E[ U ] = 0 и E[ U′U ] = T Σ .

Наконец, для идентификации необходимы предположения.

Идентификация

Условия идентификации требуют, чтобы система линейных уравнений была разрешима относительно неизвестных параметров.

Более конкретно, условие порядка , необходимое условие идентификации, заключается в том, что для каждого уравнения $k i + n i \leq k$ , которое можно сформулировать как «количество исключенных экзогенных переменных больше или равно количеству включенных эндогенных переменных» .

Условие ранга необходимое и достаточное, состоит в том, что ранг Π $i, более сильное условие , 0$ равен $n i$ , где $Π i 0$ представляет собой $матрицу (k - k i)\times n i$ , которая получается из $Π$ вычеркиванием тех столбцы, соответствующие исключенным эндогенным переменным, и те строки, которые соответствуют включенным экзогенным переменным.

Использование ограничений перекрестных уравнений для достижения идентификации

В моделях одновременных уравнений наиболее распространенным методом достижения идентификации является введение ограничений на параметры внутри уравнения. ^[6] Тем не менее, идентификация также возможна с использованием ограничений перекрестных уравнений.

Чтобы проиллюстрировать, как ограничения перекрестных уравнений могут использоваться для идентификации, рассмотрим следующий пример из Вулдриджа. ^[6]

{\begin{aligned}y_{1}&=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{12}z_{2}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}\\y_{2}&=\gamma _{21}y_{1}+\delta _{21}z_{1}+\delta _{22}z_{2}+u_{2}\end{aligned}}

где z не коррелируют с u, а y являются эндогенными переменными. Без дополнительных ограничений первое уравнение не идентифицируется, поскольку не существует исключенной экзогенной переменной. Второе уравнение идентифицируется только в том случае, если $δ 13 \neq0$ , что считается верным до конца обсуждения.

Теперь мы налагаем ограничение перекрестного уравнения $δ 12 = δ 22$ . Поскольку второе уравнение идентифицировано, мы можем считать $δ 12$ известным с целью идентификации. Тогда первое уравнение принимает вид:

y_{1}-\delta _{12}z_{2}=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}

Затем мы можем использовать $(z 1, z 2, z 3)$ в качестве инструментов для оценки коэффициентов в приведенном выше уравнении, поскольку $есть одна эндогенная переменная ( y 2$ ) и одна исключенная экзогенная переменная ( $z 2$ в правой части ). Следовательно, ограничения перекрестных уравнений вместо ограничений внутри уравнений могут обеспечить идентификацию.

Оценка

Двухэтапный метод наименьших квадратов (2SLS)

Самым простым и распространенным методом оценки модели одновременных уравнений является так называемый двухэтапный метод наименьших квадратов. ^[7] разработан независимо Тейлом (1953) и Басманом (1957) . ^[8]^[9]^[10] Это метод «уравнение за уравнением», при котором эндогенные регрессоры в правой части каждого уравнения дополняются регрессорами X из всех других уравнений. Метод называется «двухэтапным», поскольку он проводит оценку в два этапа: ^[7]

Шаг 1. Регрессируйте Y _−i по X и получите прогнозируемые значения.

\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}

;

Шаг 2. Оцените γi _{обычной} , βi _. с помощью наименьших квадратов регрессии yi _методу по

\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}

и Х _я .

Если я ^й уравнение в модели записывается как

y_{i}={\begin{pmatrix}Y_{-i}&X_{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma _{i}\\\beta _{i}\end{pmatrix}}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i},

где Z _i - матрица T× ( n _i + k _i ) как эндогенных, так и экзогенных регрессоров в i ^й уравнением, а δ _i представляет собой ( n _i + k _i )-мерный вектор коэффициентов регрессии, то 2SLS-оценщик δ _i будет иметь вид ^[7]

{\hat {\delta }}_{i}={\big (}{\hat {Z}}'_{i}{\hat {Z}}_{i}{\big )}^{-1}{\hat {Z}}'_{i}y_{i}={\big (}Z'_{i}PZ_{i}{\big )}^{-1}Z'_{i}Py_{i},

где P знак равно Икс ( Икс ′ Икс ) ⁻¹X ′ — матрица проекции на линейное пространство, натянутое на экзогенные регрессоры X .

Косвенные наименьшие квадраты

Косвенный метод наименьших квадратов — это подход в эконометрике , при котором коэффициенты в модели одновременных уравнений оцениваются из сокращенной формы модели с использованием обычного метода наименьших квадратов . ^[11]^[12] Для этого структурную систему уравнений сначала преобразуют в приведенную форму. После оценки коэффициентов модель возвращается в структурную форму.

Максимальная вероятность ограниченной информации (LIML)

Метод максимального правдоподобия «ограниченной информации» был предложен М. А. Гиршиком в 1947 г. ^[13] и формализовано Т.В. Андерсоном и Х. Рубином в 1949 г. ^[14] Он используется, когда кто-то заинтересован в оценке одного структурного уравнения за раз (отсюда и название ограниченной информации), скажем, для наблюдения i:

y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i}

Структурные уравнения для остальных эндогенных переменных Y _−i не уточняются и приводятся в сокращенном виде:

Y_{-i}=X\Pi +U_{-i}

Обозначения в этом контексте отличаются от обозначений для простого случая IV . У одного есть:

$Y_{-i}$ : Эндогенная переменная(и).
$X_{-i}$ : Экзогенная переменная(и)
$X$ : Инструмент(ы) (часто обозначаемый $Z$ )

Явная формула для LIML: ^[15]

{\hat {\delta }}_{i}={\Big (}Z'_{i}(I-\lambda M)Z_{i}{\Big )}^{\!-1}Z'_{i}(I-\lambda M)y_{i},

где M знак равно я - Икс ( Икс ′ Икс ) ⁻¹X ′ , а λ — наименьший характеристический корень матрицы:

{\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}{\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}^{\!-1}

где аналогичным образом M _i = I − X _i ( X _i ′ X _i ) ⁻¹X _я ′ .

Другими словами, λ — наименьшее решение обобщенной проблемы собственных значений , см. Theil (1971 , стр. 503):

{\Big |}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big |}=0

Оценщики класса К

LIML — это частный случай оценщиков K-класса: ^[16]

{\hat {\delta }}={\Big (}Z'(I-\kappa M)Z{\Big )}^{\!-1}Z'(I-\kappa M)y,

с:

$\delta ={\begin{bmatrix}\beta _{i}&\gamma _{i}\end{bmatrix}}$
$Z={\begin{bmatrix}X_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}$

К этому классу принадлежат несколько оценок:

к=0: МНК
κ=1:2СЛС. Обратите внимание, что в этом случае $I-\kappa M=I-M=P$ обычная проекционная матрица 2SLS
k=λ: LIML
κ=λ - α/(nK): Фуллера (1977) . оценка ^[17] Здесь K представляет количество инструментов, n — размер выборки, а α — положительную константу, которую необходимо указать. Значение α=1 даст оценку, которая будет приблизительно несмещенной. ^[16]

Трехэтапный метод наименьших квадратов (3SLS)

Трехэтапная оценка методом наименьших квадратов была предложена Зеллнером и Тейлом (1962) . ^[18]^[19] Его можно рассматривать как частный случай GMM с несколькими уравнениями , когда набор инструментальных переменных является общим для всех уравнений. ^[20] Если все регрессоры на самом деле предопределены, то 3SLS сводится к, казалось бы, несвязанным регрессиям (SUR). Таким образом, его также можно рассматривать как комбинацию двухэтапного метода наименьших квадратов (2SLS) с SUR.

Приложения в социальных науках

В разных областях и дисциплинах модели одновременных уравнений применяются к различным наблюдательным явлениям. Эти уравнения применяются, когда предполагается, что явления взаимно причинны. Классический пример – спрос и предложение в экономике . В других дисциплинах есть примеры, такие как оценка кандидатов и идентификация партий. ^[21] или общественное мнение и социальная политика в политической науке ; ^[22]^[23] дорожные инвестиции и спрос на поездки в географии; ^[24] а также уровень образования и родительские права в области социологии или демографии . ^[25] Модель одновременного уравнения требует теории взаимной причинности, которая включает в себя специальные функции, если причинные эффекты должны оцениваться как одновременная обратная связь, а не односторонние «блоки» уравнения, где исследователя интересует причинное влияние X на Y. сохраняя при этом причинное влияние Y на X постоянным или когда исследователь знает точное количество времени, необходимое для проявления каждого причинного эффекта, т. е. продолжительность причинных лагов. Вместо запаздывающих эффектов одновременная обратная связь означает оценку одновременного и постоянного воздействия X и Y друг на друга. Для этого необходима теория, согласно которой причинные эффекты одновременны во времени или настолько сложны, что кажутся действующими одновременно; Типичным примером являются настроения соседей по комнате. ^[26] Для оценки моделей одновременной обратной связи также необходима теория равновесия – что X и Y находятся в относительно устойчивых состояниях или являются частью системы (общества, рынка, класса), которая находится в относительно стабильном состоянии. ^[27]

См. также

Ссылки

^ Мартин, Вэнс; Херн, Стэн; Харрис, Дэвид (2013). Эконометрическое моделирование с использованием временных рядов . Издательство Кембриджского университета. п. 159. ИСБН 978-0-521-19660-4 .
^ Маддала, Г.С.; Лахири, Каджал (2009). Введение в эконометрику (Четвертое изд.). Уайли. стр. 355–357. ISBN 978-0-470-01512-4 .
^ Квандт, Ричард Э. (1983). «Вычислительные задачи и методы». В Грилихесе, З.; Интрилигатор, доктор медицинских наук (ред.). Справочник по эконометрике . Том. I. Северная Голландия. стр. 699–764. ISBN 0-444-86185-8 .
^ Христос, Карл Ф. (1994). «Вклад Комиссии Коулза в эконометрику в Чикаго, 1939–1955». Журнал экономической литературы . 32 (1): 30–59. JSTOR 2728422 .
^ Джонстон, Дж. (1971). «Методы одновременных уравнений: оценка». Эконометрические методы (Второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 376–423. ISBN 0-07-032679-7 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Вулдридж, Дж. М., Эконометрический анализ перекрестных и панельных данных, MIT Press, Кембридж, Массачусетс.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Грин, Уильям Х. (2002). Эконометрический анализ (5-е изд.). Прентис Холл. стр. 398–99. ISBN 0-13-066189-9 .
^ Тейл, Х. (1953). Оценка и одновременная корреляция в полных системах уравнений (Меморандум). Центральное плановое бюро. Перепечатано в книге Анри Тейля «Вклад в экономику и эконометрику» (Springer, 1992), дои : 10.1007/978-94-011-2546-8_6 .
^ Басманн, Р.Л. (1957). «Обобщенный классический метод линейного оценивания коэффициентов структурного уравнения». Эконометрика . 25 (1): 77–83. дои : 10.2307/1907743 . JSTOR 1907743 .
^ Тейл, Анри (1971). Принципы эконометрики . Нью-Йорк: Джон Уайли.
^ Парк, СБ. (1974) «О косвенной оценке системы одновременных уравнений методом наименьших квадратов», Канадский статистический журнал / La Revue Canadienne de Statistique , 2 (1), 75–82 JSTOR 3314964
^ Вайда, С.; Валко, П.; Годфри, КР (1987). «Прямые и косвенные методы наименьших квадратов в оценке параметров в непрерывном времени». Автоматика . 23 (6): 707–718. дои : 10.1016/0005-1098(87)90027-6 .
^ Первое заявление от Гиршик, Массачусетс; Хаавельмо, Трюгве (1947). «Статистический анализ спроса на продукты питания: примеры одновременной оценки структурных уравнений». Эконометрика . 15 (2): 79–110. дои : 10.2307/1907066 . JSTOR 1907066 .
^ Андерсон, ТВ; Рубин, Х. (1949). «Оценка параметров одного уравнения в полной системе стохастических уравнений» . Анналы математической статистики . 20 (1): 46–63. дои : 10.1214/aoms/1177730090 . JSTOR 2236803 .
^ Амемия, Такеши (1985). Продвинутая эконометрика . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. п. 235 . ISBN 0-674-00560-0 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Дэвидсон, Рассел; Маккиннон, Джеймс Г. (1993). Оценка и вывод в эконометрике . Издательство Оксфордского университета. п. 649. ИСБН 0-19-506011-3 .
^ Фуллер, Уэйн (1977). «Некоторые свойства модификации оценщика ограниченной информации». Эконометрика . 45 (4): 939–953. дои : 10.2307/1912683 . JSTOR 1912683 .
^ Зеллнер, Арнольд ; Тейл, Анри (1962). «Трехэтапный метод наименьших квадратов: одновременная оценка одновременных уравнений». Эконометрика . 30 (1): 54–78. дои : 10.2307/1911287 . JSTOR 1911287 .
^ Кмента, Ян (1986). «Системные методы оценки» . Элементы эконометрики (второе изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 695–701. ISBN 9780023650703 .
^ Хаяси, Фумио (2000). «GMM с несколькими уравнениями» . Эконометрика . Издательство Принстонского университета. стр. 276–279. ISBN 1400823838 .
^ Пейдж, Бенджамин И.; Джонс, Кэлвин К. (1 декабря 1979 г.). «Взаимное влияние политических предпочтений, партийной лояльности и голосования». Американский обзор политической науки . 73 (4): 1071–1089. дои : 10.2307/1953990 . ISSN 0003-0554 . JSTOR 1953990 . S2CID 144984371 .
^ Влезиен, Кристофер (1 января 1995 г.). «Общественность как термостат: динамика предпочтений в расходах». Американский журнал политической науки . 39 (4): 981–1000. дои : 10.2307/2111666 . JSTOR 2111666 .
^ Брезнау, Нейт (01 июля 2016 г.). «Положительная доходность и равновесие: одновременная обратная связь между общественным мнением и социальной политикой» . Журнал политических исследований . 45 (4): 583–612. дои : 10.1111/psj.12171 . ISSN 1541-0072 .
^ Се, Ф.; Левинсон, Д. (01 мая 2010 г.). «Как трамваи повлияли на пригородность: анализ причинно-следственных связей Грейнджера в землепользовании и транспорте в городах-побратимах». Журнал экономической географии . 10 (3): 453–470. дои : 10.1093/jeg/lbp031 . hdl : 11299/179996 . ISSN 1468-2702 .
^ Марини, Маргарет Муни (1 января 1984 г.). «Образовательный уровень женщин и сроки вступления в родительские права». Американский социологический обзор . 49 (4): 491–511. дои : 10.2307/2095464 . JSTOR 2095464 .
^ Вонг, Чи-Сум; Закон, Кеннет С. (1 января 1999 г.). «Тестирование взаимных отношений с помощью нерекурсивных моделей структурных уравнений с использованием данных поперечного сечения». Организационные методы исследования . 2 (1): 69–87. дои : 10.1177/109442819921005 . ISSN 1094-4281 . S2CID 122284566 .
^ 2013. «Динамика обратной стрелки: петли обратной связи и формирующее измерение». В «Моделировании структурными уравнениями: второй курс » под редакцией Грегори Р. Хэнкока и Ральфа О. Мюллера, 2-е изд., 41–79. Шарлотта, Северная Каролина: Издательство Information Age

Дальнейшее чтение

Астериу, Димитриос; Холл, Стивен Г. (2011). Прикладная эконометрика (второе изд.). Бейзингсток: Пэлгрейв Макмиллан. п. 395. ИСБН 978-0-230-27182-1 .
Чоу, Грегори К. (1983). Эконометрика . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 117–121 . ISBN 0-07-010847-1 .
Фомби, Томас Б.; Хилл, Р. Картер; Джонсон, Стэнли Р. (1984). «Модели одновременных уравнений». Передовые эконометрические методы . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 437–552. ISBN 0-387-90908-7 .
Маддала, GS ; Лахири, Каджал (2009). «Модели одновременных уравнений». Введение в эконометрику (Четвертое изд.). Нью-Йорк: Уайли. стр. 355–400. ISBN 978-0-470-01512-4 .
Рууд, Пол А. (2000). «Совместные уравнения». Введение в классическую эконометрическую теорию . Издательство Оксфордского университета. стр. 697–746. ISBN 0-19-511164-8 .
Сарган, Денис (1988). Лекции по углубленной эконометрической теории . Оксфорд: Бэзил Блэквелл. стр. 68–89. ISBN 0-631-14956-2 .
Вулдридж, Джеффри М. (2013). «Модели одновременных уравнений». Вводная эконометрика (Пятое изд.). Юго-Западный. стр. 554–582. ISBN 978-1-111-53104-1 .

Внешние ссылки

о проблеме идентификации в 2SLS и оценке на YouTube Лекция Марка Тома

[1] Мартин, Вэнс; Херн, Стэн; Харрис, Дэвид (2013). Эконометрическое моделирование с использованием временных рядов . Издательство Кембриджского университета. п. 159. ИСБН 978-0-521-19660-4 .

[2] Маддала, Г.С.; Лахири, Каджал (2009). Введение в эконометрику (Четвертое изд.). Уайли. стр. 355–357. ISBN 978-0-470-01512-4 .

[3] Квандт, Ричард Э. (1983). «Вычислительные задачи и методы». В Грилихесе, З.; Интрилигатор, доктор медицинских наук (ред.). Справочник по эконометрике . Том. I. Северная Голландия. стр. 699–764. ISBN 0-444-86185-8 .

[4] Христос, Карл Ф. (1994). «Вклад Комиссии Коулза в эконометрику в Чикаго, 1939–1955». Журнал экономической литературы . 32 (1): 30–59. JSTOR 2728422 .

[5] Джонстон, Дж. (1971). «Методы одновременных уравнений: оценка». Эконометрические методы (Второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 376–423. ISBN 0-07-032679-7 .

[Woolridge-6] Перейти обратно: ^а ^б Вулдридж, Дж. М., Эконометрический анализ перекрестных и панельных данных, MIT Press, Кембридж, Массачусетс.

[Greene_2003_loc=p._399-7] Перейти обратно: ^а ^б ^с Грин, Уильям Х. (2002). Эконометрический анализ (5-е изд.). Прентис Холл. стр. 398–99. ISBN 0-13-066189-9 .

[8] Тейл, Х. (1953). Оценка и одновременная корреляция в полных системах уравнений (Меморандум). Центральное плановое бюро. Перепечатано в книге Анри Тейля «Вклад в экономику и эконометрику» (Springer, 1992), дои : 10.1007/978-94-011-2546-8_6 .

[9] Басманн, Р.Л. (1957). «Обобщенный классический метод линейного оценивания коэффициентов структурного уравнения». Эконометрика . 25 (1): 77–83. дои : 10.2307/1907743 . JSTOR 1907743 .

[10] Тейл, Анри (1971). Принципы эконометрики . Нью-Йорк: Джон Уайли.

[11] Парк, СБ. (1974) «О косвенной оценке системы одновременных уравнений методом наименьших квадратов», Канадский статистический журнал / La Revue Canadienne de Statistique , 2 (1), 75–82 JSTOR 3314964

[12] Вайда, С.; Валко, П.; Годфри, КР (1987). «Прямые и косвенные методы наименьших квадратов в оценке параметров в непрерывном времени». Автоматика . 23 (6): 707–718. дои : 10.1016/0005-1098(87)90027-6 .

[13] Первое заявление от Гиршик, Массачусетс; Хаавельмо, Трюгве (1947). «Статистический анализ спроса на продукты питания: примеры одновременной оценки структурных уравнений». Эконометрика . 15 (2): 79–110. дои : 10.2307/1907066 . JSTOR 1907066 .

[14] Андерсон, ТВ; Рубин, Х. (1949). «Оценка параметров одного уравнения в полной системе стохастических уравнений» . Анналы математической статистики . 20 (1): 46–63. дои : 10.1214/aoms/1177730090 . JSTOR 2236803 .

[15] Амемия, Такеши (1985). Продвинутая эконометрика . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. п. 235 . ISBN 0-674-00560-0 .

[DavidsonMacKinnon649-16] Перейти обратно: ^а ^б Дэвидсон, Рассел; Маккиннон, Джеймс Г. (1993). Оценка и вывод в эконометрике . Издательство Оксфордского университета. п. 649. ИСБН 0-19-506011-3 .

[17] Фуллер, Уэйн (1977). «Некоторые свойства модификации оценщика ограниченной информации». Эконометрика . 45 (4): 939–953. дои : 10.2307/1912683 . JSTOR 1912683 .

[18] Зеллнер, Арнольд ; Тейл, Анри (1962). «Трехэтапный метод наименьших квадратов: одновременная оценка одновременных уравнений». Эконометрика . 30 (1): 54–78. дои : 10.2307/1911287 . JSTOR 1911287 .

[19] Кмента, Ян (1986). «Системные методы оценки» . Элементы эконометрики (второе изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 695–701. ISBN 9780023650703 .

[20] Хаяси, Фумио (2000). «GMM с несколькими уравнениями» . Эконометрика . Издательство Принстонского университета. стр. 276–279. ISBN 1400823838 .

[21] Пейдж, Бенджамин И.; Джонс, Кэлвин К. (1 декабря 1979 г.). «Взаимное влияние политических предпочтений, партийной лояльности и голосования». Американский обзор политической науки . 73 (4): 1071–1089. дои : 10.2307/1953990 . ISSN 0003-0554 . JSTOR 1953990 . S2CID 144984371 .

[22] Влезиен, Кристофер (1 января 1995 г.). «Общественность как термостат: динамика предпочтений в расходах». Американский журнал политической науки . 39 (4): 981–1000. дои : 10.2307/2111666 . JSTOR 2111666 .

[23] Брезнау, Нейт (01 июля 2016 г.). «Положительная доходность и равновесие: одновременная обратная связь между общественным мнением и социальной политикой» . Журнал политических исследований . 45 (4): 583–612. дои : 10.1111/psj.12171 . ISSN 1541-0072 .

[24] Се, Ф.; Левинсон, Д. (01 мая 2010 г.). «Как трамваи повлияли на пригородность: анализ причинно-следственных связей Грейнджера в землепользовании и транспорте в городах-побратимах». Журнал экономической географии . 10 (3): 453–470. дои : 10.1093/jeg/lbp031 . hdl : 11299/179996 . ISSN 1468-2702 .

[25] Марини, Маргарет Муни (1 января 1984 г.). «Образовательный уровень женщин и сроки вступления в родительские права». Американский социологический обзор . 49 (4): 491–511. дои : 10.2307/2095464 . JSTOR 2095464 .

[26] Вонг, Чи-Сум; Закон, Кеннет С. (1 января 1999 г.). «Тестирование взаимных отношений с помощью нерекурсивных моделей структурных уравнений с использованием данных поперечного сечения». Организационные методы исследования . 2 (1): 69–87. дои : 10.1177/109442819921005 . ISSN 1094-4281 . S2CID 122284566 .

[27] 2013. «Динамика обратной стрелки: петли обратной связи и формирующее измерение». В «Моделировании структурными уравнениями: второй курс » под редакцией Грегори Р. Хэнкока и Ральфа О. Мюллера, 2-е изд., 41–79. Шарлотта, Северная Каролина: Издательство Information Age

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]