Поле рода

В теории алгебраических чисел Γ поле рода (K) поля алгебраических чисел K является максимальным абелевым расширением поля K , которое получается путем составления абсолютно абелева поля с K и которое неразветвлено во всех конечных простых числах K. поля Родовой номер K - это степень [ Γ(K) : K ], а родовая группа - это группа Галуа Γ (K) над K .

Если K сам по себе абсолютно абелев, поле рода можно описать как максимальное абсолютно абелевое расширение K, неразветвленное во всех конечных простых числах: это определение использовалось Леопольдтом и Хассе.

Если K = Q ( √ m ) ( m Squarefree) является квадратичным полем дискриминанта D , поле рода K является композицией квадратичных полей. Пусть p _i пробегает простые множители D . Для каждого такого простого числа p определим p ^∗ следующее:

$p^{*}=\pm p\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ if }}p{\text{ is odd}};$

$2^{*}=-4,8,-8{\text{ according as }}m\equiv 3{\pmod {4}},2{\pmod {8}},-2{\pmod {8}}.$

Тогда поле рода является составным $K({\sqrt {p_{i}^{*}}}).$

См. также

• Поле класса Гильберта

Ссылки

• Исида, Макото (1976). Поля родов полей алгебраических чисел . Конспект лекций по математике. Том. 555. Шпрингер-Верлаг . ISBN  3-540-08000-7 . Збл   0353.12001 .
• Януш, Джеральд (1973). Поля алгебраических чисел . Чистая и прикладная математика. Том. 55. Академическая пресса. ISBN  0-12-380250-4 . Збл   0307.12001 .
• Леммермейер, Франц (2000). Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна . Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer Verlag . ISBN  3-540-66957-4 . МР   1761696 . Збл   0949.11002 .