Задачи на сто долларов, стозначные задачи

— Задачи «Сто долларов, сто цифр» это 10 задач по числовой математике, опубликованные в 2002 году Ником Трефетеном ( 2002 ). Приз в 100 долларов был предложен тому, кто предложит наиболее точные решения, содержащие до 10 значащих цифр . Срок проведения конкурса был 20 мая 2002 года. В итоге 20 команд решили все задачи идеально с необходимой точностью, а анонимный донор помог собрать необходимые призовые деньги. Проблема и ее решения были подробно описаны в книге (Фолкмар Борнеманн, Дирк Лори и Стэн Вагон и др., 2004 ).

Проблемы

Из ( Трефетен 2002 ):

$\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{1}x^{-1}\cos \left(x^{-1}\log x\right)\,dx$
Фотон, движущийся со скоростью 1 в плоскости xy, стартует в момент t = 0 при ( x , y ) = (0,5, 0,1) и направляется строго на восток. Вокруг каждой целой точки решетки ( i , j ) на плоскости установлено круглое зеркало радиуса 1/3. На каком расстоянии от начала координат находится фотон в момент t = 10?
Бесконечная матрица A с элементами $a_{11}=1,a_{12}=1/2,a_{21}=1/3,a_{13}=1/4,a_{22}=1/5,a_{31}=1/6,\dots$ является ограниченным оператором на $\ell ^{2}$ . Что такое $||A||$ ?
Каков глобальный минимум функции $\exp \left(\sin \left(50x\right)\right)+\sin \left(60e^{y}\right)+\sin \left(70\sin x\right)+\sin \left(\sin \left(80y\right)\right)-\sin \left(10\left(x+y\right)\right)+1/4\left(x^{2}+y^{2}\right)$
Позволять $f(z)=1/\Gamma (z)$ , где $\Gamma (z)$ – гамма-функция, и пусть $p(z)$ быть кубическим полиномом, который лучше всего аппроксимирует $f(z)$ на единичном диске в супремумной норме $||.||_{\infty }$ . Что такое $||f-p||_{\infty }$ ?
Блоха начинается с $(0,0)$ на бесконечной двумерной целочисленной решетке и выполняет смещенное случайное блуждание : на каждом шаге он с вероятностью прыгает на север или юг. $1/4$ , восток с вероятностью $1/4+\varepsilon$ , и на запад с вероятностью $1/4-\varepsilon$ . Вероятность того, что блоха вернется в (0, 0) когда-нибудь во время своего блуждания, равна $1/2$ . Что такое $\varepsilon$ ?
Пусть A — матрица размером 20000×20000, элементы которой везде равны нулю, кроме простых чисел 2, 3, 5, 7, ..., 224737 по главной диагонали и числа 1 во всех позициях. $a_{ij}$ с $|i-j|=1,2,4,8,\dots ,16384$ . Что такое (1, 1) запись $A^{-1}$ ?
Квадратная тарелка $[-1,1]\times [-1,1]$ находится при температуре $u=0$ . Во время $t=0$ , температура повышается до $u=5$ вдоль одной из четырех сторон, удерживаясь на $u=0$ по остальным трем сторонам, и тогда тепло перетекает в пластину по закону $u_{t}=\Delta u$ . Когда температура достигнет $u=1$ в центре тарелки?
Интеграл $I(\alpha )=\int _{0}^{2}\left[2+\sin \left(10\alpha \right)\right]x^{\alpha }\sin \left(\alpha /\left(2-x\right)\right)\,dx$ зависит от параметра α. Каково значение α в [0, 5], при котором I (α) достигает максимума?
Частица в центре прямоугольника 10×1 испытывает броуновское движение (т.е. двумерное случайное блуждание с бесконечно малой длиной шага), пока не достигнет границы. Какова вероятность того, что он попадет не в одну из сторон, а в один из концов?