Монотонная сравнительная статика

Монотонная сравнительная статика - это раздел сравнительной статики , который фокусируется на условиях, при которых эндогенные переменные претерпевают монотонные изменения (то есть либо увеличиваются, либо уменьшаются) при изменении экзогенных параметров. Традиционно сравнительные результаты в экономике получают с использованием теоремы о неявной функции — подхода, который требует вогнутости и дифференцируемости целевой функции, а также внутренней и единственности оптимального решения. Методы монотонной сравнительной статики обычно обходятся без этих предположений. Основное внимание уделяется основному свойству, лежащему в основе монотонной сравнительной статики, которое представляет собой форму дополнительности между эндогенной переменной и экзогенным параметром. Грубо говоря, задача максимизации демонстрирует взаимодополняемость, если более высокое значение экзогенного параметра увеличивает предельную отдачу от эндогенной переменной. Это гарантирует увеличение множества решений оптимизационной задачи по экзогенному параметру.

Основные результаты

Мотивация

Позволять $X\subseteq \mathbb {R}$ и пусть $f(\cdot ;s):X\rightarrow \mathbb {R}$ быть семейством функций, параметризованных $s\in S$, где $(S,\geq _{S})$ представляет собой частично упорядоченное множество (или частично упорядоченное множество). Как происходит переписка $\arg \max \limits _{x\in X}f(x;s)$ варьироваться в зависимости от $s$?

Стандартный подход сравнительной статики: предположим, что набор $X$ представляет собой компактный интервал и $f(\cdot ;s)$ — непрерывно дифференцируемая строго квазивогнутая функция $x$. Если ${\bar {x}}(s)$ является уникальным максимизатором $f(\cdot ;s)$, достаточно показать, что $f'({\bar {x}}(s);s')\geq 0$ для любого $s'>s$, что гарантирует, что ${\bar {x}}(s)$ увеличивается в $s$. Это гарантирует смещение оптимума вправо, т. е. ${\bar {x}}(s')\geq {\bar {x}}(s)$. Этот подход предполагает различные предположения, в первую очередь квазивогнутость $f(\cdot ;s)$.

Одномерные задачи оптимизации

Хотя ясно, что означает возрастание единственного оптимального решения, не сразу понятно, что это означает для соответствия $\arg \max _{x\in X}f(x;s)$ увеличиваться в $s$. Стандартное определение, принятое в литературе, следующее.

Определение (строгий установленный порядок): Позволять $Y$ и $Y'$ быть подмножествами $\mathbb {R}$. Набор $Y'$ доминирует $Y$ в сильном порядке множеств ( $Y'\geq _{SSO}Y$) если для любого $x'$ в $Y'$ и $x$ в $Y$, у нас есть $\max\{x',x\}$ в $Y'$ и $\min\{x',x\}$ в $Y$.

В частности, если $Y:=\{x\}$ и $Y':=\{x'\}$, затем $Y'\geq _{SSO}Y$ тогда и только тогда, когда $x'\geq x$. Переписка $\arg \max _{x\in X}f(x;s)$ называется возрастающим, если $\arg \max _{x\in X}f(x;s')\geq _{SSO}\arg \max _{x\in X}f(x;s)$ в любое время $s'>_{S}s$.

Идея взаимодополняемости между экзогенными и эндогенными переменными формально фиксируется различиями одиночного скрещивания.

Определение (функция одинарного пересечения): Пусть $\phi :S\rightarrow \mathbb {R}$. Затем $\phi$ является единственной функцией пересечения, если для любого $s'\geq _{S}s$ у нас есть $\phi (s)\geq (>)\ 0\ \Rightarrow \ \phi (s')\geq (>)\ 0$.

Определение (единичные скрещивающиеся различия): Семейство функций $\{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}$, $f:X\times S\to \mathbb {R}$, подчиняются разностям одиночного пересечения (или удовлетворяют свойству единственного пересечения ), если для всех $x'\geq x$, функция $\Delta (s)=f(x';s)-f(x;s)$ является единственной функцией пересечения.

Очевидно, что возрастающая функция является единственной перекрещивающейся функцией и, если $\Delta (s)$ увеличивается в $s$ (в приведенном выше определении для любого $x'>x$), мы говорим, что $\{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}$ подчиняться возрастающим различиям . В отличие от возрастающих различий, различия при одиночном пересечении являются порядковым свойством , т. е. если $\{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}$ подчиняться различиям одиночного скрещивания, тогда делайте то же самое $\{g(\cdot ;s)\}_{s\in S}$, где $g(x;s)=H(f(x;s);s)$ для какой-то функции $H(\cdot ;s)$ которое строго увеличивается в $x$.

Теорема 1: Определять $F_{Y}(s):=\arg \max _{x\in Y}f(x;s)$. Семья $\{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}$ подчиняются разностям одиночного скрещивания тогда и только тогда, когда для всех $Y\subseteq X$, у нас есть $F_{Y}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)$ для любого $s'\geq _{S}s$.

Доказательство: предположим $s'\geq _{S}s$ и $x\in F_{Y}(s)$, и $x'\in F_{Y}(s')$. Мы должны это показать $\max\{x',x\}\in F_{Y}(s')$ и $\min\{x',x\}\in F_{Y}(s)$. Нам остается рассмотреть только случай, когда $x>x'$. С $x\in F_{Y}(s)$, мы получаем $f(x;s)\geq f(x';s)$, что гарантирует, что $x\in F_{Y'}(s')$. Более того, $f(x;s)=f(x';s)$ так что $x'\in F_{Y}(s)$. Если не, $f(x;s)>f(x';s)$ что подразумевает (путем различий в единичных скрещиваниях), что $f(x;s')>f(x';s')$, что противоречит оптимальности $x'$ в $s'$. Чтобы показать необходимость различий в единичных скрещиваниях, положим $Y:=\{x,{\bar {x}}\}$, где ${\bar {x}}\geq x$. Затем $F_{Y}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)$ для любого $s'\geq _{S}s$ гарантирует, что если $f({\bar {x}};s)\geq (>)\ f(x;s)$, затем $f({\bar {x}};s')\geq (>)\ f(x;s')$. КЭД

Применение (монопольный выпуск и изменение издержек): Монополист выбирает $x\in X\subseteq \mathbb {R} _{+}$ максимизировать свою прибыль $\Pi (x;-c)=xP(x)-cx$, где $P:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}$ – обратная функция спроса и $c\geq 0$ — постоянные предельные издержки. Обратите внимание, что $\{\Pi (\cdot ,-c)\}_{(-c)\in \mathbb {R} _{-}}$ подчиняются различиям одиночного скрещивания. Действительно, возьмите любую $x'\geq x$ и предположим, что $x'P(x')-cx'\geq (>)\ xP(x)-cx$; для любого $c'$ такой, что $(-c')\geq (-c)$, мы получаем $x'P(x')-c'x'\geq (>)\ xP(x)-c'x$. Согласно теореме 1, объем выпуска, максимизирующий прибыль, уменьшается с увеличением предельных издержек выпуска, т. е. по мере того, как $(-c)$ уменьшается.

Порядок интервального доминирования

Разности одиночных пересечений не являются необходимым условием увеличения оптимального решения по параметру. Фактически условие необходимо только для $\arg \max _{x\in Y}f(x;s)$ увеличиваться в $s$ для любого $Y\subset X$. Как только множества будут ограничены более узким классом подмножеств $X$, условие одиночного пересечения разностей больше не является необходимым.

Определение (Интервал): Позволять $X\subseteq \mathbb {R}$. Набор $Y\subseteq X$ представляет интервал собой $X$ если, когда угодно $x^{*}$ и $x^{**}$ находятся в $Y$, тогда любой $x\in X$ такой, что $x^{*}\leq x\leq x^{**}$ также находится в $Y$.

Например, если $X=\mathbb {N}$, затем $\{1,2,3,4\}$ представляет собой интервал $X$ но не $\{1,2,4\}$. Обозначим $[x^{*},x^{**}]=\{x\in X\ |\ x^{*}\leq x\leq x^{**}\}$.

Определение (порядок интервального доминирования): Семья $\{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}$ подчиняться порядку интервального доминирования (IDO), если для любого $x''>x'$ и $s'\geq _{S}s$, такой, что $f(x'';s)\geq f(x;s)$, для всех $x\in [x',x'']$, у нас есть $f(x'';s)\geq (>)\ f(x';s)\ \Rightarrow \ f(x'';s')\geq (>)\ f(x';s')$.

Как и различия одиночного скрещивания, порядок интервального доминирования (IDO) является порядковым свойством. Примером семейства IDO является семейство квазивогнутых функций. $\{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}$ где $\arg \max _{x\in X}f(x,s)$ увеличивается в $s$. Такая семья не обязана подчиняться различиям единичных скрещиваний.

Функция $f:X\times S\to \mathbb {R}$ является регулярным , если $\arg \max _{x\in [x^{*},x^{**}]}f(x;s)$ непусто для любого $x^{**}\geq x^{*}$, где $[x^{*},x^{**}]$ обозначает интервал $\{x\in X\ |\ x^{*}\leq x\leq x^{**}\}$.

Теорема 2: Обозначим $F_{Y}(s):=\arg \max _{x\in Y}f(x;s)$. Семейство регулярных функций $\{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}$ подчиняется порядку доминирования интервалов тогда и только тогда, когда $F_{Y}(s)$ увеличивается в $s$ для всех интервалов $Y\subseteq X$.

Доказательство: Чтобы доказать достаточность IDO, возьмем любые два $s'\geq _{S}s$и предположим, что $x'\in F_{Y}(s)$ и $x''\in F_{Y}(s')$. Нам остается рассмотреть только случай, когда $x'>x''$. По определению $f(x';s)\geq f(x;s)$, для всех $x\in [x'',x']\subset Y$. Более того, по IDO мы имеем $f(x';s')\geq f(x'';s')$. Поэтому, $x'\in F_{Y}(s')$. Более того, должно быть так $f(x';s)=f(x'';s)$. В противном случае, т. е. если $f(x';s)>f(x'';s)$, то по IDO мы имеем $f(x';s')>f(x'';s')$, что противоречит этому $x''\in F_{Y}(s')$. Чтобы показать необходимость IDO, предположим, что существует интервал $[x'',x']$ такой, что $f(x';s)\geq f(x;s)$ для всех $x\in [x'',x']$. Это означает, что $x'\in \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)$. Есть два возможных нарушения IDO. Одна из возможностей заключается в том, что $f(x'';s')>f(x';s')$. В этом случае по регулярности $f(\cdot ;s')$, набор $\arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s')$ непусто, но не содержит $x'$ что невозможно, поскольку $\arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)$ увеличивается в $s$. Другое возможное нарушение IDO происходит, если $f(x'';s')=f(x';s')$ но $f(x'';s)<f(x';s)$. В этом случае набор $\arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s')$ либо содержит $x''$, что невозможно, поскольку $\arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)$ увеличивается в $s$ (обратите внимание, что в этом случае $x''\not \in \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s')$) или не содержит $x'$, что также нарушает монотонность $\arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)$. КЭД

Следующий результат дает полезные достаточные условия для различий одиночного скрещивания и IDO.

Предложение 1: Позволять $X$ быть интервалом $\mathbb {R}$ и $\{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}$ быть семейством непрерывно дифференцируемых функций. (i) Если для любого $s'\geq _{S}s$, существует число $\alpha >0$ такой, что $f'(x;s')\geq \alpha f'(x;s)$ для всех $x\in X$, затем $\{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}$ подчиняются различиям одиночного скрещивания. (ii) Если для любого $s'\geq _{S}s$, существует неубывающая строго положительная функция $\alpha :X\rightarrow \mathbb {R}$ такой, что $f'(x;s')\geq \alpha (x)f'(x;s)$ для всех $x\in X$, затем $\{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}$ подчиняйся ИДО.

Приложение (задача об оптимальной остановке): В каждый момент времени агент получает прибыль в размере $\pi (t)$, который может быть положительным или отрицательным. Если агент решает вовремя остановиться $x$, текущая стоимость его накопленной прибыли равна

$V(x;-r)=\int _{0}^{x}e^{-rt}\pi (t)dt,$

где $r>0$ это ставка дисконтирования. С $V'(x;-r)=e^{-rx}\pi (x)$, функция $V$ имеет много поворотных точек, и они не меняются в зависимости от ставки дисконтирования. Мы утверждаем, что оптимальное время остановки уменьшается с $r$, то есть, если $r'>r>0$ затем $\arg \max _{x\geq 0}V(x;-r)\geq _{SSO}\arg \max _{x\geq 0}V(x;-r')$. Возьмите любой $r'<r$. Затем, $V'(x;-r)=e^{-rx}\pi (x)=e^{(r'-r)x}V'(x;-r').$ С $\alpha (x)=e^{(r'-r)x}$ положительно и возрастает. Предложение 1 гласит, что $\{V(\cdot ;-r)\}_{(-r)<0}$ подчиняются IDO, и по теореме 2 набор оптимальных моментов остановки уменьшается.

Проблемы многомерной оптимизации

Приведенные выше результаты можно распространить на многомерную ситуацию. Позволять $(X,\geq _{X})$ быть решеткой . Для любых двух $x$, $x'$ в $X$, мы обозначаем их верхнюю границу (или наименьшую верхнюю границу , или соединение) через $x'\vee x$ и их нижняя грань (или наибольшая нижняя граница , или встреча) на $x'\wedge x$.

Определение (сильный порядок набора): Позволять $(X,\geq _{X})$ быть решеткой и $Y$, $Y'$ быть подмножествами $X$. Мы говорим, что $Y'$ доминирует $Y$ в сильном порядке множеств ( $Y'\geq _{SSO}Y$ ) если для любого $x'$ в $Y'$ и $x$ в $Y$, у нас есть $x\vee x'$ в $Y'$ и $x\wedge x'$ в $Y$.

Примеры сильного порядка множеств в высших измерениях.

• Позволять $X=\mathbb {R}$ и $Y:=[a,b]$, $Y':=[a',b']$ быть некоторыми замкнутыми интервалами в $X$. Четко $(X,\geq )$, где $\geq$ это стандартный заказ на $\mathbb {R}$, представляет собой решетку. Поэтому, как было показано в предыдущем разделе $Y'\geq _{SSO}Y$ тогда и только тогда, когда $a'\geq a$ и $b'\geq b$;
• Позволять $X=\mathbb {R} ^{n}$ и $Y$, $Y'\subset X$ быть некоторыми гиперпрямоугольниками . То есть существуют некоторые векторы $a$, $b$, $a'$, $b'$ в $X$ такой, что $Y:=\{x\in X\ |\ a\leq x\leq b\}$ и $Y':=\{x\in X\ |\ a'\leq x\leq b'\}$, где $\geq$ является естественным покоординатным упорядочением на $\mathbb {R} ^{n}$. Обратите внимание, что $(X,\geq )$ представляет собой решётку. Более того, $Y'\geq _{SSO}Y$ тогда и только тогда, когда $a'\geq a$ и $b'\geq b$;
• Позволять $(X,\geq _{X})$ быть пространством всех вероятностных распределений с поддержкой, являющейся подмножеством $\mathbb {R}$, наделенный стохастическим порядком доминирования первого порядка $\geq _{X}$. Обратите внимание, что $(X,\geq _{X})$ представляет собой решётку. Позволять $Y:=\Delta ([a,b])$, $Y':=\Delta ([a',b'])$ обозначаем множества вероятностных распределений с носителем $[a,b]$ и $[a',b']$ соответственно. Затем, $Y'\geq _{SSO}Y$ относительно $\geq _{X}$ тогда и только тогда, когда $a'\geq a$ и $b'\geq b$.

Определение (квазисупермодулярная функция): Позволять $(X,\geq _{X})$ быть решеткой. Функция $f:X\to \mathbb {R}$ является квазисупермодулярным (КСМ), если

$f(x)\geq (>)\ f(x\wedge x')\ \Rightarrow \ f(x\vee x')\geq (>)\ f(x').$

Функция $f$ называется супермодулярной функцией, если $f(x\vee x')-f(x')\geq f(x)-f(x\wedge x').$ Любая супермодулярная функция квазисупермодулярна. Как и в случае с одиночными перекрещивающимися разностями, в отличие от супермодулярности, квазисупермодулярность является порядковым свойством. То есть, если функция $f$ квазисупермодулярна, то и функция $g:=H\circ f$, где $H$ — некоторая строго возрастающая функция.

Теорема 3: Позволять $(X,\geq _{X})$ представляет собой решётку, $(S,\geq _{S})$ частично упорядоченное множество, и $Y$, $Y'$ подмножества $X$. Данный $f:X\times S\to \mathbb {R}$, мы обозначаем $\arg \max _{x\in Y}f(x;s)$ к $F_{Y}(s)$. Затем $F_{Y'}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)$ для любого $s'\geq _{S}s$ и $Y'\geq _{SSO}Y$

Доказательство: $(\Leftarrow )$. Позволять $Y'\geq _{SSO}Y$, $s'\geq _{S}s$, и $x'\in F_{Y'}(s')$, $x\in F_{Y}(s)$. С $x\in F_{Y}(s)$ и $Y'\geq _{SSO}Y$, затем $f(x;s)\geq f(x'\wedge x;s)$. По квазисупермодулярности $f(x'\vee x;s)\geq f(x';s)$, и по разностям одиночного пересечения, $f(x'\vee x;s')\geq f(x';s')$. Следовательно $x'\vee x\in F_{Y'}(s')$. Теперь предположим, что $x'\wedge x\not \in F_{Y}(s)$. Затем $f(x;s)>f(x'\wedge x;s)$. По квазисупермодулярности $f(x'\vee x;s)>f(x';s)$, и по разностям единичного скрещивания $f(x'\vee x;s')>f(x';s')$. Но это противоречит тому, что $x'\in F_{Y'}(s')$. Следовательно, $x'\wedge x\in F_{Y}(s)$.

$(\Rightarrow )$. Набор $Y':=\{x',x'\vee x\}$ и $Y:=\{x,x'\wedge x\}$. Затем, $Y'\geq _{SSO}Y$ и таким образом $F_{Y'}(s)\geq _{SSO}F_{Y}(s)$, что гарантирует, что если $f(x;s)\geq (>)\ f(x'\wedge x;s)$, затем $f(x'\vee x;s)\geq (>)\ f(x';s)$. Чтобы показать, что различия в одиночных пересечениях также сохраняются, положим $Y:=\{x,{\bar {x}}\}$, где ${\bar {x}}\geq x$. Затем $F_{Y}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)$ для любого $s'\geq _{S}s$ гарантирует, что если $f({\bar {x}};s)\geq (>)\ f(x;s)$, затем $f({\bar {x}};s')\geq (>)\ f(x;s')$. КЭД

Применение (Производство с несколькими товарами): Позволять $x$ обозначаем вектор входов (взятый из подрешетки $X$ из $\mathbb {R} _{+}^{l}$) фирмы, максимизирующей прибыль, $p\in \mathbb {R} _{++}^{l}$ быть вектором цен на ресурсы, и $V$ входной вектор отображения функции дохода $x$ к выручке (в $\mathbb {R}$). Прибыль фирмы составляет $\Pi (x;p)=V(x)-p\cdot x$. Для любого $x'$, $x\in X$, $x'\geq x$, $V(x')-V(x)+(-p)(x'-x)$ увеличивается в $(-p)$. Следовательно, $\{\Pi (\cdot ;p)\}_{p\in \mathbb {R} _{++}^{l}}$ имеет возрастающие различия (и, следовательно, подчиняется различиям одиночного скрещивания). Более того, если $V$ является супермодульным, то и $\Pi (\cdot ;p)$. Следовательно, он квазисупермодулярен и по теореме 3 $\arg \max _{x\in X}\Pi (x;p)\geq _{SSO}\arg \max _{x\in X}\Pi (x;p')$ для $p'\geq p$.

Проблемы ограниченной оптимизации

В некоторых важных экономических приложениях соответствующее изменение набора ограничений нелегко понять как увеличение по отношению к строгому порядку множества, и поэтому теорему 3 нелегко применить. Например, рассмотрим потребителя, который максимизирует функцию полезности. $u:X\to \mathbb {R}$ при условии бюджетного ограничения. По цене $p$ в $\mathbb {R} _{++}^{n}$ и богатство $w>0$, его бюджетный набор $B(p,w)=\{x\in X\ |\ p\cdot x\leq w\}$ и его требование установлено на $(p,w)$ есть (по определению) $D(p,w)=\arg \max _{x\in B(p,w)}u(x)$. Базовым свойством потребительского спроса является нормальность, что означает (в случае, когда спрос уникален), что спрос на каждый товар увеличивается в размере богатства. Теорему 3 нельзя напрямую применить для получения условий нормальности, поскольку $B(p,w')\not \geq _{SSO}B(p,w)$ если $w'>w$ (когда $\geq _{SSO}$ происходит от евклидова порядка). В этом случае имеет место следующий результат.

Теорема 4: Предполагать $u:\mathbb {R} _{++}^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ является супермодульным и вогнутым. Тогда соответствие спроса нормально в следующем смысле: предположим, что $w''>w'$, $x''\in D(p,w'')$ и $x'\in D(p,w')$; тогда есть $z''\in D(p,w'')$ и $z'\in D(p,w')$ такой, что $z''\geq x'$ и $x''\geq z'$.

Супермодульность $u$ гарантирует, что для любого $x$ и $y$, $u(x\wedge y)-u(y)\geq u(x)-u(x\vee y)$. Обратите внимание, что четыре пункта $x$, $y$, $x\wedge y$, и $x\vee y$ образуют прямоугольник в евклидовом пространстве (в том смысле, что $x\wedge y-x=y-x\vee y$, $x-x\vee y=x\wedge y-y$, и $x\wedge y-x$ и $x-x\vee y$ ортогональны). С другой стороны, супермодульность и вогнутость вместе гарантируют, что $u(x\vee y-\lambda v)-u(y)\geq u(x)-u(x\wedge y+\lambda v).$для любого $\lambda \in [0,1]$, где $v=y-x\wedge y=x\vee y-x$. В данном случае, что особенно важно, четыре пункта $x$, $y$, $x\vee y-\lambda v$, и $x\wedge y+\lambda v$ образуют наклоненный назад параллелограмм в евклидовом пространстве.

Монотонная сравнительная статика в условиях неопределенности

Позволять $X\subset \mathbb {R}$, и $\{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}$ быть семейством вещественных функций, определенных на $X$ которые подчиняются различиям одиночных скрещиваний или порядку доминирования интервалов. Теоремы 1 и 3 говорят нам, что $\arg \max _{x\in X}f(x,;s)$ увеличивается в $s$. Устный перевод $s$ Чтобы быть состоянием мира, это говорит о том, что оптимальное действие возрастает в состоянии, если состояние известно. Предположим, однако, что действие $x$ принимается раньше $s$ реализуется; тогда кажется разумным, что оптимальное действие должно увеличиваться с вероятностью более высоких состояний. Чтобы сформулировать это понятие формально, позвольте $\{\lambda (\cdot ;t)\}_{t\in T}$ быть семейством функций плотности, параметризованных $t$ в посете $(T,\geq _{T})$, где выше $t$ связано с более высокой вероятностью более высоких состояний либо в смысле стохастического доминирования первого порядка, либо в смысле свойства монотонного отношения правдоподобия . Выбирая в условиях неопределенности, агент максимизирует

$F(x;t)=\int _{S}f(x;s)\,\lambda (s;t)\,ds.$

Для $\arg \max _{x\in X}F(x;t)$ увеличиваться в $t$, достаточно (по теоремам 1 и 2), чтобы семейство $\{F(\cdot ;t)\}_{t\in T}$ подчиняются различиям одиночного скрещивания или порядку доминирования интервалов. Результаты этого раздела дают условия, при которых это справедливо.

Теорема 5: Предположим $\{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}$ $(S\subseteq \mathbb {R} )$ подчиняется возрастающим различиям. Если $\{\lambda (\cdot ;t)\}_{t\in T}$ упорядочивается относительно стохастического доминирования первого порядка, тогда $\{F(\cdot ;t)\}_{t\in T}$ подчиняется возрастающим различиям.

Доказательство: Для любого $x',x\in X$, определять $\phi (s):=f(x';s)-f(x;s)$. Затем, $F(x';t)-F(x;t)=\int _{S}[f(x';s)-f(x;s)]\lambda (s;t)ds$или эквивалентно $F(x';t)-F(x;t)=\int _{S}\phi (s)\lambda (s;t)ds$. С $\{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}$ подчиняется возрастающим различиям, $\phi$ увеличивается в $s$ и гарантии стохастического доминирования первого порядка $F(x';t)-F(x;t)$ увеличивается в $t$. КЭД

В следующей теореме X может быть либо «одиночными перекрестными разностями», либо «интервальным порядком доминирования».

Теорема 6: Предполагать $\{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}$ (для $S\subseteq \mathbb {R}$) подчиняется X . Тогда семья $\{F(\cdot ;t)\}_{t\in T}$ подчиняется X, если $\{\lambda (\cdot ;t)\}_{t\in T}$ упорядочен по свойству монотонного отношения правдоподобия.

Условие монотонности отношения правдоподобия в этой теореме нельзя ослабить, как показывает следующий результат.

Предложение 2: Пусть $\lambda (\cdot ;t')$ и $\lambda (\cdot ;t)$ две функции вероятностной массы, определенные на $S:=\{1,2,\ldots ,N\}$ и предположим $\lambda (\cdot ;t'')$ это не доминирует $\lambda (\cdot ;t')$ относительно свойства монотонного отношения правдоподобия. Тогда существует семейство функций $\{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}$, определенный на $X\subset \mathbb {R}$, которые подчиняются разностям одиночного пересечения, такие, что $\arg \max _{x\in X}F(x;t'')<\arg \max _{x\in X}F(x;t')$, где $F(x;t)=\sum _{s\in S}\lambda (s,t)f(x,s)$ (для $t=t',\,t''$).

Приложение (задача оптимального портфеля): агент максимизирует ожидаемую полезность с помощью строго возрастающей функции полезности Бернулли. $u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$. (Вогнутость не предполагается, поэтому мы позволяем агенту любить риск.) Богатство агента $w>0$, можно инвестировать в безопасный или рискованный актив. Цены двух активов нормированы на 1. Безопасный актив дает постоянный доход. $R\geq 0$, а возврат рискованного актива $s$ регулируетсяраспределение вероятностей $\lambda (s;t)$. Позволять $x$ обозначают инвестиции агента в рискованный актив. Тогда богатство агента в государстве $s$ является $(w-x)R+xs$. Агент выбирает $x$ максимизировать

$V(x;t):=\int _{S}u((w-x)R+xs)\lambda (s;t)\,ds.$

Обратите внимание, что $\{{\hat {u}}(\cdot ;s)\}_{s\in S}$, где ${\hat {u}}(x;s):=u(wR+x(s-R))$, подчиняется одиночному пересечению (хотяне обязательно увеличивающие) различия. По теореме 6 $\{V(\cdot ;t)\}_{t\in T}$ подчиняется разностям одиночного скрещивания и, следовательно, $\arg \max _{x\geq 0}V(x;t)$ увеличивается в $t$, если $\lambda (\cdot ;t)\}_{t\in T}$ заказывается сотносительно свойства монотонного отношения правдоподобия.

Агрегация одного свойства пересечения

Хотя сумма возрастающих функций также увеличивается, ясно, что свойство одиночного пересечения не обязательно должно сохраняться при агрегировании. Чтобы сумма функций одиночного пересечения имела одно и то же свойство, необходимо, чтобы функции были связаны друг с другом определенным образом.

Определение (монотонное знаковое соотношение): Позволять $(S,\geq _{S})$ быть посетом. Две функции $f,g:S\to \mathbb {R}$ подчиняются монотонности знакового {-}отношения , если для любого $s'\geq s$, имеет место следующее:

• если $f(s)>0$ и $g(s)<0$, затем

$-{\frac {g(s)}{f(s)}}\geq -{\frac {g(s')}{f(s')}};$

• если $f(s)<0$ и $g(s)>0$, затем

$-{\frac {f(s)}{g(s)}}\geq -{\frac {f(s')}{g(s')}}.$

Предложение 3: Пусть $f$ и $g$ быть двумя одинарными пересекающимися функциями. Затем $\alpha f+\beta g$ является единственной функцией пересечения для любых не{-}отрицательных скаляров $\alpha$ и $\beta$ тогда и только тогда, когда $f$ и $g$ подчиняются монотонности знаковых отношений.

Доказательство: предположим, что $f(s)>0$ и $g(s)<0$. Определять $\alpha ^{*}=-g(s)/f(s)$, так что $\alpha ^{*}f(s)+g(s)=0$. С $\alpha ^{*}f(s)+g(s)$ является единственной функцией пересечения, должно быть так $\alpha ^{*}f(s')+g(s')\geq 0$, для любого $s'\geq s$. Более того, напомним, что поскольку $f$ является единственной функцией пересечения, тогда $f(s')>0$. Переставляя приведенное выше неравенство, приходим к выводу, что

$\alpha ^{*}=-{\frac {g(s)}{f(s)}}\geq -{\frac {g(s')}{f(s')}}.$

Чтобы доказать обратное, без ограничения общности предположим, что $\beta =1$. Предположим, что

$\alpha f(s)+g(s)\geq (>)0.$

Если оба $f(s)\geq 0$ и $g(s)\geq 0$, затем $f(s')\geq 0$ и $g(s')\geq 0$ поскольку обе функции являются однократными. Следовательно, $\alpha f(s')+g(s')\geq (>)0$. Предположим, что $g(s)<0$ и $f(s)>0$. С $f$ и $g$ подчиняться монотонности знакового{-}отношения, должно быть так

$\alpha \geq (>)-{\frac {g(s)}{f(s)}}\geq -{\frac {g(s')}{f(s')}}.$

С $f$ является единственной функцией пересечения, $f(s')>0$, и так $\alpha f(s')+g(s')\geq (>)\ 0.$ КЭД

Этот результат можно обобщить на бесконечные суммы в следующем смысле.

Теорема 7: Позволять $(T,{\mathcal {T}},\mu )$ — пространство с конечной мерой и предположим, что для каждого $s\in S$, $f(s;t)$ является ограниченной и измеримой функцией $t\in T$. Затем $F(s)=\int _{T}f(s;t)d\mu (t)$ является единственной функцией пересечения, если для всех $t$, $t'\in T$, пара функций $f(s;t)$ и $f(s;t')$ из $s\in S$ удовлетворяют монотонности знакового отношения. Это условие также необходимо, если ${\mathcal {T}}$ содержит все одноэлементные наборы и $F$ должна быть единственной функцией пересечения для любой конечной меры $\mu$.

Приложение (Задача о монополии в условиях неопределенности): Фирма сталкивается с неопределенностью относительно спроса на ее продукцию. $x$ и прибыль в государстве $t\in T\subset \mathbb {R}$ данк $\Pi (x;-c,t)=xP(x;t)-cx$, где $c$ это предельные издержки и $P(x,t)$ - обратная функция спроса в состоянии $t$. Фирма максимизирует

$V(x;-c)=\int _{T}u(\Pi (x;-c,t))d\lambda (t),$

где $\lambda$ вероятность состояния $t$ и $u:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ – функция полезности Бернулли, отражающая отношение фирмы к неопределенности. По теореме 1 $\arg \max _{x\geq 0}V(x;-c)$ увеличивается в $-c$ (т. е. выпуск падает вместе с предельными издержками), если семья $\{V(x;-c)\}_{c\in \mathbb {R} _{+}}$ подчиняется различиям единичного скрещивания. По определению, последнее говорит о том, что для любого $x'\geq x$, функция

$\Delta (-c)=\int _{T}[u(\Pi (x';-c,t))-u(\Pi (x;-c,t))]\,d\lambda (t),$

является единственной функцией пересечения. Для каждого $t$, $\delta (-c,t)=u(\Pi (x';-c,t))-u(\Pi (x;-c,t))$ это функция единственного пересечения $-c$. Однако, если $u$ является линейным, $\delta$ в целом не будет увеличиваться $-c$. Применяя теорему 6, $\Delta$ является функцией одиночного пересечения, если для любого $t',t\in T$, функции $\delta (-c,t)$ и $\delta (-c,t')$ (из $-c$) подчиняются монотонности знаковых отношений. Это гарантируется, когда (i) $P$ уменьшается в $x$ и увеличивается в $t$ и $\{\log(P(\cdot ,t))\}_{t\in T}$ подчиняется возрастающим различиям; и (ii) $u:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ дважды дифференцируема, причем $u'>0$и подчиняется уменьшению абсолютного неприятия риска (DARA).

См. также

• Сравнительная статика
• Микроэкономика
• Модель (экономика)
• Качественная экономика

Избранная литература по монотонной сравнительной статике и ее приложениям.

• Основные техники – Милгром и Шеннон (1994). Милгром (1994), Шеннон (1995), Топкис (1998), Эдлин и Шеннон (1998), Эти (2002), Куах (2007), Куах и Струловичи (2009, 2012), Kukushkin (2013);
• Взаимодополняемость производства и ее последствия – Милгром и Робертс (1990a, 1995); Топкис (1995);
• Игры со стратегической взаимодополняемостью – Милгром и Робертс (1990b); Топкис (1979); Ты живешь (1990);
• Сравнительная статика задачи потребительской оптимизации – Антониаду (2007); Куа (2007); Шираи (2013);
• Монотонная сравнительная статика в условиях неопределенности – Эти (2002); Куа и Струловичи (2009, 2012);
• Монотонная сравнительная статика моделей политики – Ганс и Смарт (1996), Эшворт и Буэно де Мескита (2006 г.);
• Сравнительная статика задач оптимальной остановки – Куа и Струловичи (2009, 2013);
• Монотонные байесовские игры – Эти (2001); Макадамс (2003); Куах и Струловичи (2012 г.);
• Байесовские игры со стратегической взаимодополняемостью – Ван Зандт (2010); Вивес и Ван Зандт (2007);
• Теория аукционов – Эти (2001); МакАдамс (2007a,b); Рени и Замир (2004 г.);
• Сравнение информационных структур – Куах и Струловичи (2009);
• Сравнительная статика в промышленной организации – Амир и Грило (1999); Амир и Лэмбсон (2003 г.); Ты живешь (2001);
• Неоклассический оптимальный рост – Амир (1996b); Датта, Мирман и Реффетт (2002);
• Многоэтапные игры – Vives (2009);
• Динамические стохастические игры с бесконечным горизонтом – Амир (1996а, 2003); Бальбус, Реффетт и Возны (2013, 2014)