Теорема Кренера

В математике теорема Кренера - это результат, приписываемый Артуру Дж. Кренеру в геометрической теории управления о топологических свойствах множеств достижимости конечномерных систем управления. Он утверждает, что любое достижимое множество системы , порождающей скобки, имеет непустую внутренность или, что то же самое, что любое достижимое множество имеет непустую внутренность в топологии соответствующей орбиты . С эвристической точки зрения теорема Кренера запрещает достижимым множествам быть волосатыми .

Теорема

Позволять ${\ }{\dot {q}}=f(q,u)$ быть плавной системой управления, где ${\ q}$ принадлежит конечномерному многообразию $\ M$ и $\ u$ принадлежит контрольному множеству $\ U$ . Рассмотрим семейство векторных полей ${\mathcal {F}}=\{f(\cdot ,u)\mid u\in U\}$ .

Позволять $\ \mathrm {Lie} \,{\mathcal {F}}$ — алгебра Ли, порожденная ${\mathcal {F}}$ относительно скобки Ли векторных полей . Данный $\ q\in M$ , если векторное пространство $\ \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}=\{g(q)\mid g\in \mathrm {Lie} \,{\mathcal {F}}\}$ равно $\ T_{q}M$ , затем $\ q$ принадлежит замыканию внутренности множества достижимости из $\ q$ .

Замечания и последствия

Даже если $\mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}$ отличается от $\ T_{q}M$ , достижимое множество из $\ q$ имеет непустую внутреннюю часть в топологии орбиты, как это следует из теоремы Кренера, примененной к системе управления, ограниченной орбитой через $\ q$ .

Когда все векторные поля в $\ {\mathcal {F}}$ являются аналитическими, $\ \mathrm {Lie} _{q}\,{\mathcal {F}}=T_{q}M$ тогда и только тогда, когда $\ q$ принадлежит замыканию внутренности множества достижимости из $\ q$ . Это следствие теоремы Кренера и теоремы об орбите .

Как следствие теоремы Кренера можно доказать, что если система является скобочно-порождающей и если множество достижимости из $\ q\in M$ плотный в $\ M$ , то множество достижимости из $\ q$ на самом деле равен $\ M$ .

Ссылки

Аграчев Андрей А.; Сачков, Юрий Л. (2004). Теория управления с геометрической точки зрения . Спрингер-Верлаг . стр. xiv+412. ISBN 3-540-21019-9 .
Юрджевич, Велимир (1997). Геометрическая теория управления . Издательство Кембриджского университета . стр. xviii+492. ISBN 0-521-49502-4 . ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
Суссманн, Эктор Дж.; Юрджевич, Велимир (1972). «Управляемость нелинейных систем» . Дж. Дифференциальные уравнения . 12 (1): 95–116. Бибкод : 1972JDE....12...95S . дои : 10.1016/0022-0396(72)90007-1 .
Кренер, Артур Дж. (1974). «Обобщение теоремы Чоу и теоремы о взрывах на нелинейные задачи управления». СИАМ Дж. Оптимальное управление . 12 : 43–52. дои : 10.1137/0312005 .