Группа Кремона

В алгебраической геометрии группа Кремоны , введенная Кремоной ( 1863 , 1865 ), — группа автоморфизмов бирациональных $n$ -мерное проективное пространство над полем $k$ . Это обозначается $Cr(\mathbb {P} ^{n}(k))$ или $Bir(\mathbb {P} ^{n}(k))$ или $Cr_{n}(k)$ .

Группа Кремоны естественным образом отождествляется с группой автоморфизмов. $\mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))$ поля рациональных функций в $n$ неопределенное над $k$ или, другими словами, чистое трансцендентальное расширение $k$ , со степенью трансцендентности $n$ .

Проективная общая линейная группа порядка $n+1$ , проективных преобразований , содержится в группе Кремоны порядка $n$ . Они равны только тогда, когда $n=0$ или $n=1$ , и в этом случае и числитель, и знаменатель преобразования должны быть линейными.

Группа Кремоны в двух измерениях

В двух измерениях Макс Нётер и Гвидо Кастельнуово показали, что комплексная группа Кремоны порождается стандартным квадратичным преобразованием вместе с $\mathrm {PGL} (3,k)$ , хотя были некоторые разногласия по поводу правильности их доказательств, и Гизатуллин (1983) дал полный набор соотношений для этих генераторов. Структура этой группы до сих пор недостаточно изучена, хотя была проведена большая работа по поиску ее элементов или подгрупп.

Кантат и Лами (2010) показали, что группа Кремоны не является простой абстрактной группой;
Блан показал, что в ней нет нетривиальных нормальных подгрупп, также замкнутых в естественной топологии.
О конечных подгруппах группы Кремоны см. Долгачев и Исковских (2009) .

Группа Кремоны в высших измерениях

О структуре группы Кремоны в трех измерениях и выше известно мало, хотя многие ее элементы описаны. Блан (2010) показал, что она (линейно) связана, отвечая на вопрос Серра (2010) . Не существует простого аналога теоремы Нётер-Кастельнуво, поскольку Хадсон (1927) показал, что группа Кремоны в размерности не менее 3 не порождается своими элементами степени, ограниченной каким-либо фиксированным целым числом.

Группы де Жонкьера

Группа Де Жонкьера — это подгруппа группы Кремоны следующего вида ^{[ нужна ссылка ]}. Выберите основу трансцендентности $x_{1},...,x_{n}$ для расширения поля $k$ . Тогда группа Де Жонкьера — это подгруппа автоморфизмов $k(x_{1},...,x_{n})$ сопоставление подполя $k(x_{1},...,x_{r})$ в себя на какое-то время $r\leq n$ . Он имеет нормальную подгруппу, заданную группой автоморфизмов Кремоны. $k(x_{1},...,x_{n})$ над полем $k(x_{1},...,x_{r})$ , а факторгруппа — это группа Кремоны $k(x_{1},...,x_{r})$ над полем $k$ . Его также можно рассматривать как группу бирациональных автоморфизмов расслоения $\mathbb {P} ^{r}\times \mathbb {P} ^{n-r}\to \mathbb {P} ^{r}$ .

Когда $n=2$ и $r=1$ Группа Де Жонкьера — это группа преобразований Кремоны, фиксирующих пучок прямых, проходящих через данную точку, и является полупрямым произведением $\mathrm {PGL} _{2}(k)$ и $\mathrm {PGL} _{2}(k(t))$ .

Ссылки

Альберих-Каррамьяна, Мария (2002), Геометрия плоских карт Кремоны , Конспект лекций по математике, том. 1769, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b82933 , ISBN 978-3-540-42816-9 , МР 1874328
Блан, Жереми (2010), «Группы Кремоны, связность и простота», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Series 4, 43 (2): 357–364, arXiv : 0903.2489 , doi : 10.24033/asens.2123 , ISSN 0012-9593 , МР 2662668
Кантат, Серж; Лами, Стефан (2010). «Нормальные подгруппы в группе Кремоны». Акта Математика . 210 (2013): 31–94. arXiv : 1007.0895 . Бибкод : 2010arXiv1007.0895C . дои : 10.1007/s11511-013-0090-1 . S2CID 55261367 .
Кулидж, Джулиан Лоуэлл (1931), Трактат об алгебраических плоских кривых , Oxford University Press , ISBN 978-0-486-49576-7 , МР 0120551
Кремона, Л. (1863), «О геометрических преобразованиях плоских фигур» , Giornale di Matematiche di Battaglini , 1 : 305–311.
Кремона, Л. (1865), «О геометрических преобразованиях плоских фигур» , Giornale di Matematiche di Battaglini , 3 : 269–280, 363–376.
Демазюр, Мишель (1970), «Алгебраические подгруппы максимального ранга группы Кремоны» , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 3 (4): 507–588, doi : 10.24033/asens.1201 , ISSN 0012 -9593 , МР 0284446
Долгачев, Игорь В. (2012), Классическая алгебраическая геометрия: современный взгляд (PDF) , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-01765-8 , заархивировано из оригинала (PDF) 11 марта 2012 г. , получено 18 апреля 2012 г.
Долгачев Игорь Владимирович; Исковских, Василий А. (2009), «Конечные подгруппы плоской группы Кремоны», Алгебра, арифметика и геометрия: в честь Ю.А. И. Манин. Том. Я , прогр. Матем., вып. 269, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 443–548, arXiv : math/0610595 , doi : 10.1007/978-0-8176-4745-2_11 , ISBN 978-0-8176-4744-5 , МР 2641179 , S2CID 2188718
Гизатуллин, М.Х. (1983), «Определяющие соотношения для группы Кремоны плоскости», Математика СССР-Известия , 21 (2): 211–268, Бибкод : 1983ИзМат..21..211Г , doi : 10.1070/IM1983v021n02ABEH001789 , ISSN 0373 -2436 , МР 0675525
Годо, Люсьен (1927), Бирациональные преобразования плоскости , Мемориал математических наук, том. 22, Готье-Виллар и Сье, JFM 53.0595.02
«Группа Кремоны» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
«Преобразование Кремоны» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Хадсон, Хильда Фиби (1927), Преобразования Кремоны в плоскости и пространстве , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35882-8 , Перепечатано в 2012 г.
Семпл, Дж. Г.; Рот, Л. (1985), Введение в алгебраическую геометрию , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853363-4 , МР 0814690
Серр, Жан-Пьер (2009), «Оценка в стиле Минковского для порядков конечных подгрупп группы Кремоны ранга 2 над произвольным полем», Московский математический журнал , 9 (1): 193–208, doi : 10.17323/1609-4514-2009-9-1-183-198 , ISSN 1609-3321 , MR 2567402 , S2CID 13589478
Серр, Жан-Пьер (2010), «Группа Кремоны и ее конечные подгруппы» (PDF) , Asterisk , Seminaire Bourbaki 1000 (332): 75–100, ISBN 978-2-85629-291-4 , ISSN 0303-1179 , МР 2648675