Форма строгой обратной связи

В управления теории динамические системы находятся в форме строгой обратной связи , когда их можно выразить как

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{0}(\mathbf {x} )+g_{0}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})z_{i+1}\quad {\text{ for }}1\leq i<k-1\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-1}=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})z_{k}\\{\dot {z}}_{k}=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}$

где

• $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ с $n\geq 1$,
• $z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i},\ldots ,z_{k-1},z_{k}$ являются скалярами ,
• $u$ является скалярным входом в систему,
• $f_{0},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{i},\ldots ,f_{k-1},f_{k}$ исчезают в начале координат (т.е. $f_{i}(0,0,\dots ,0)=0$),
• $g_{1},g_{2},\ldots ,g_{i},\ldots ,g_{k-1},g_{k}$ отличны от нуля в интересующей области (т. е. $g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},\ldots ,z_{k})\neq 0$ для $1\leq i\leq k$).

Здесь строгая обратная связь относится к тому факту, что нелинейные функции $f_{i}$ и $g_{i}$ в ${\dot {z}}_{i}$ уравнение зависит только от состояний $x,z_{1},\ldots ,z_{i}$ которые передаются обратно в эту подсистему. То есть система имеет некую нижнюю треугольную форму.

Стабилизация

Основная статья: Шаг назад

Системы со строгой обратной связью можно стабилизировать путем рекурсивного применения обратного шага . То есть,

1. Учитывая, что система

   ${\dot {\mathbf {x} }}=f_{0}(\mathbf {x} )+g_{0}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )$

   уже стабилизировано в исходном положении некоторым контролем $u_{x}(\mathbf {x} )$ где $u_{x}(\mathbf {0} )=0$. То есть выбор $u_{x}$ стабилизация этой системы должна происходить с помощью какого-то другого метода. Предполагается также, что функция Ляпунова $V_{x}$ для этой устойчивой подсистемы известна.

2. контроль $u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})$ устроена так, что система

   ${\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})$

   стабилизируется так, что $z_{1}$ следует желаемому $u_{x}$ контроль. Схема управления основана на кандидате расширенной функции Ляпунова.

   $V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}$

   Контроль $u_{1}$ можно выбрать для привязки ${\dot {V}}_{1}$ далеко от нуля.

3. контроль $u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})$ устроена так, что система

   ${\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})$

   стабилизируется так, что $z_{2}$ следует желаемому $u_{1}$ контроль. Схема управления основана на кандидате расширенной функции Ляпунова.

   $V_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+{\frac {1}{2}}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1}))^{2}$

   Контроль $u_{2}$ можно выбрать для привязки ${\dot {V}}_{2}$ далеко от нуля.

4. Этот процесс продолжается до фактического $u$ известно, и
   • Настоящий ​ контроль $u$ стабилизирует $z_{k}$ к фиктивному контролю $u_{k-1}$.
   • Фиктивный ​ контроль $u_{k-1}$ стабилизирует $z_{k-1}$ к фиктивному контролю $u_{k-2}$.
   • Фиктивный ​ контроль $u_{k-2}$ стабилизирует $z_{k-2}$ к фиктивному контролю $u_{k-3}$.
   • ...
   • Фиктивный ​ контроль $u_{2}$ стабилизирует $z_{2}$ к фиктивному контролю $u_{1}$.
   • Фиктивный ​ контроль $u_{1}$ стабилизирует $z_{1}$ к фиктивному контролю $u_{x}$.
   • Фиктивный ​ контроль $u_{x}$ стабилизирует $\mathbf {x}$ к источнику.

Этот процесс известен как возврат назад, поскольку он начинается с требований к стабильности некоторой внутренней подсистемы и постепенно выходит из системы, поддерживая стабильность на каждом этапе. Потому что

• $f_{i}$ исчезнуть в начале координат для $0\leq i\leq k$,
• $g_{i}$ ненулевые для $1\leq i\leq k$,
• данный контроль $u_{x}$ имеет $u_{x}(\mathbf {0} )=0$,

то полученная система имеет равновесие в начале координат (т. е. там, где $\mathbf {x} =\mathbf {0} \,$, $z_{1}=0$, $z_{2}=0$, ... , $z_{k-1}=0$, и $z_{k}=0$), которая глобально асимптотически устойчива .

См. также

• Нелинейное управление
• отступление