отступление

В теории управления возврат назад — это метод, разработанный примерно в 1990 году Мирославом Спаравало, Петром В. Кокотовичем и другими. за разработку стабилизирующих управлений для специального класса нелинейных динамических систем . Эти системы состоят из подсистем, исходящих из неприводимой подсистемы, которую можно стабилизировать каким-либо другим методом. Благодаря такой рекурсивной структуре разработчик может начать процесс проектирования с известной стабильной системы и «откатить» новые контроллеры, которые постепенно стабилизируют каждую внешнюю подсистему. Процесс завершается при достижении окончательного внешнего управления. Следовательно, этот процесс известен как шаг назад.

Отступающий подход

Подход обратного шага обеспечивает рекурсивный метод стабилизации происхождения системы в форме строгой обратной связи . То есть рассмотрим систему вида

${\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}&=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}&=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}&=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})z_{i+1}\quad {\text{ for }}1\leq i<k-1\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-1}&=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})z_{k}\\{\dot {z}}_{k}&=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}\end{aligned}}$

где

• $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ с $n\geq 1$,
• $z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i},\ldots ,z_{k-1},z_{k}$ являются скалярами ,
• u — скалярный вход в систему,
• $f_{x},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{i},\ldots ,f_{k-1},f_{k}$ исчезают в начале координат (т.е. $f_{i}(0,0,\dots ,0)=0$),
• $g_{1},g_{2},\ldots ,g_{i},\ldots ,g_{k-1},g_{k}$ отличны от нуля в интересующей области (т. е. $g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},\ldots ,z_{k})\neq 0$ для $1\leq i\leq k$).

Предположим также, что подсистема

${\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )$

стабилизируется начале в координат (т.е. $\mathbf {x} =\mathbf {0} \,$) некоторым известным управлением $u_{x}(\mathbf {x} )$ такой, что $u_{x}(\mathbf {0} )=0$. Предполагается также, что функция Ляпунова $V_{x}$ для этой устойчивой подсистемы известна. То есть эта подсистема x стабилизируется каким-то другим методом, и обратный шаг расширяет ее устойчивость до ${\textbf {z}}$ оболочка вокруг него.

В системах такой формы строгой обратной связи вокруг стабильной x подсистемы

• Управляющий вход u, разработанный с использованием обратного шага, оказывает самое непосредственное стабилизирующее воздействие на состояние. $z_{n}$.
• Государство $z_{n}$ затем действует как стабилизирующий контроль над государством $z_{n-1}$ перед этим.
• Этот процесс продолжается так, что каждое состояние $z_{i}$ стабилизируется фиктивным «контролем» $z_{i+1}$.

Подход обратного шага определяет, как стабилизировать подсистему x, используя $z_{1}$, а затем переходит к определению того, как сделать следующее состояние $z_{2}$ водить машину $z_{1}$ к управлению, необходимому для стабилизации x . Следовательно, процесс «отходит назад» от x из системы форм строгой обратной связи до тех пор, пока не будет разработано окончательное управление u .

Обзор конструкции рекурсивного управления

1. Учитывая, что меньшая (т. е. низшего порядка) подсистема

   ${\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )$

   уже стабилизировано в исходном положении некоторым контролем $u_{x}(\mathbf {x} )$ где $u_{x}(\mathbf {0} )=0$. То есть выбор $u_{x}$ стабилизация этой системы должна происходить с помощью какого-то другого метода. Предполагается также, что функция Ляпунова $V_{x}$ для этой устойчивой подсистемы известна. Обратный шаг обеспечивает способ расширить контролируемую стабильность этой подсистемы на более крупную систему.

2. контроль $u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})$ устроена так, что система

   ${\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})$

   стабилизируется так, что $z_{1}$ следует желаемому $u_{x}$ контроль. Схема управления основана на кандидате расширенной функции Ляпунова.

   $V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}$

   Контроль $u_{1}$ можно выбрать для привязки ${\dot {V}}_{1}$ далеко от нуля.

3. контроль $u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})$ устроена так, что система

   ${\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})$

   стабилизируется так, что $z_{2}$ следует желаемому $u_{1}$ контроль. Схема управления основана на кандидате расширенной функции Ляпунова.

   $V_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+{\frac {1}{2}}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1}))^{2}$

   Контроль $u_{2}$ можно выбрать для привязки ${\dot {V}}_{2}$ далеко от нуля.

4. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не станет известно фактическое значение u , и
   • Реальный ​ контроль стабилизируется ​ $z_{k}$ к фиктивному контролю $u_{k-1}$.
   • Фиктивный ​ контроль $u_{k-1}$ стабилизирует $z_{k-1}$ к фиктивному контролю $u_{k-2}$.
   • Фиктивный ​ контроль $u_{k-2}$ стабилизирует $z_{k-2}$ к фиктивному контролю $u_{k-3}$.
   • ...
   • Фиктивный ​ контроль $u_{2}$ стабилизирует $z_{2}$ к фиктивному контролю $u_{1}$.
   • Фиктивный ​ контроль $u_{1}$ стабилизирует $z_{1}$ к фиктивному контролю $u_{x}$.
   • Фиктивный ​ контроль $u_{x}$ стабилизирует x в начале координат.

Этот процесс известен как возврат назад, поскольку он начинается с требований к стабильности некоторой внутренней подсистемы и постепенно выходит из системы, поддерживая стабильность на каждом этапе. Потому что

• $f_{i}$ исчезнуть в начале координат для $0\leq i\leq k$,
• $g_{i}$ ненулевые для $1\leq i\leq k$,
• данный контроль $u_{x}$ имеет $u_{x}(\mathbf {0} )=0$,

то полученная система имеет равновесие в начале координат (т. е. там, где $\mathbf {x} =\mathbf {0} \,$, $z_{1}=0$, $z_{2}=0$, ..., $z_{k-1}=0$, и $z_{k}=0$), которая глобально асимптотически устойчива .

Отступление интегратора

Прежде чем описывать процедуру обратного шага для общих со строгой обратной связью динамических систем , удобно обсудить подход для меньшего класса систем со строгой обратной связью. Эти системы подключают ряд интеграторов ко входусистема с известным законом управления, стабилизирующим обратную связь, поэтому стабилизирующий подход известен как интеграторный обратный шаг. С небольшой модификацией подход обратного шага интегратора может быть расширен для обработки всех систем со строгой обратной связью.

одним

Рассмотрим динамическую систему

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}$ ( 1 )

где $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ и $z_{1}$ является скаляром. Эта система представляет собой каскадное соединение интегратора поступает в с подсистемой x (т.е. вход u интегратор, а интеграл $z_{1}$ входит в подсистему x ).

Мы предполагаем, что $f_{x}(\mathbf {0} )=0$, и поэтому, если $u_{1}=0$, $\mathbf {x} =\mathbf {0} \,$ и $z_{1}=0$, затем

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\underbrace {\mathbf {0} } _{\mathbf {x} })+(g_{x}(\underbrace {\mathbf {0} } _{\mathbf {x} }))(\underbrace {0} _{z_{1}})=0+(g_{x}(\mathbf {0} ))(0)=\mathbf {0} &\quad {\text{ (i.e., }}\mathbf {x} =\mathbf {0} {\text{ is stationary)}}\\{\dot {z}}_{1}=\overbrace {0} ^{u_{1}}&\quad {\text{ (i.e., }}z_{1}=0{\text{ is stationary)}}\end{cases}}$

Итак, происхождение $(\mathbf {x} ,z_{1})=(\mathbf {0} ,0)$ является равновесием (т. е. стационарной точкой ) системы. Если система когда-либо достигнет начала координат, она останется там навсегда.

Обратный шаг с одним интегратором

В этом примере обратный шаг используется для стабилизации системы с одним интегратором в уравнении ( 1 ) вокруг ее равновесия в начале координат. Если быть менее точным, мы хотим разработать закон управления. $u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})$ это гарантирует, что государства $(\mathbf {x} ,z_{1})$ вернуться в $(\mathbf {0} ,0)$ после запуска системы из некоторого произвольного начального состояния.

• Во-первых, по предположению, подсистема

${\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )\qquad {\text{where}}\qquad F(\mathbf {x} )\triangleq f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )$

с $u_{x}(\mathbf {0} )=0$ имеет функцию Ляпунова $V_{x}(\mathbf {x} )>0$ такой, что

${\dot {V}}_{x}={\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))\leq -W(\mathbf {x} )$

где $W(\mathbf {x} )$ является положительно определенной функцией . То есть мы предполагаем , что уже показали , что эта существующая более простая x подсистема устойчива (в смысле Ляпунова) . Грубо говоря, понятие стабильности означает, что:

• • Функция $V_{x}$ подобен «обобщенной энергии» подсистемы x . По мере удаления состояний x системы от начала координат энергия $V_{x}(\mathbf {x} )$ тоже растет.
  • Показав, что с течением времени энергия $V_{x}(\mathbf {x} (t))$ распадается до нуля, то состояния x должны распадаться в сторону $\mathbf {x} =\mathbf {0} \,$. То есть происхождение $\mathbf {x} =\mathbf {0} \,$ будет устойчивое равновесие системы – состояния x будут непрерывно приближаться к началу координат с увеличением времени.
  • Сказав это $W(\mathbf {x} )$ положительно определен, означает, что $W(\mathbf {x} )>0$ везде, кроме $\mathbf {x} =\mathbf {0} \,$, и $W(\mathbf {0} )=0$.
  • Заявление о том, что ${\dot {V}}_{x}\leq -W(\mathbf {x} )$ означает, что ${\dot {V}}_{x}$ отделено от нуля для всех точек, кроме тех, где $\mathbf {x} =\mathbf {0} \,$. То есть, пока система не находится в равновесии в начале координат, ее «энергия» будет уменьшаться.
  • Поскольку энергия всегда затухает, система должна быть стабильной; его траектории должны приближаться к началу координат.

Наша задача — найти элемент управления u , который заставит наше каскадное $(\mathbf {x} ,z_{1})$ система также стабильна. Поэтому мы должны найти нового на функцию Ляпунова кандидата для этой новой системы. Этот кандидат будет зависеть от управления u , и, правильно выбрав управление, мы можем гарантировать, что оно также затухает повсюду.

• Далее, прибавляя и вычитая $g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )$ (т. е. мы никоим образом не меняем систему, поскольку не оказываем никакого суммарного эффекта) ${\dot {\mathbf {x} }}$ часть более крупного $(\mathbf {x} ,z_{1})$ система, она становится

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}+{\mathord {\underbrace {\left(g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )-g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{0}}}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}$

которые мы можем перегруппировать, чтобы получить

${\begin{cases}{\dot {x}}={\mathord {\underbrace {\left(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{F(\mathbf {x} )}}}+g_{x}(\mathbf {x} )\underbrace {\left(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{z_{1}{\text{ error tracking }}u_{x}}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}$

Таким образом, наша каскадная суперсистема инкапсулирует известную стабильную систему. ${\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )$ подсистемы плюс некоторое возмущение ошибки, генерируемое интегратором.

• Теперь мы можем изменять переменные из $(\mathbf {x} ,z_{1})$ к $(\mathbf {x} ,e_{1})$ позволяя $e_{1}\triangleq z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )$. Так

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\\{\dot {e}}_{1}=u_{1}-{\dot {u}}_{x}\end{cases}}$

Кроме того, мы позволяем $v_{1}\triangleq u_{1}-{\dot {u}}_{x}$ так что $u_{1}=v_{1}+{\dot {u}}_{x}$ и

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\\{\dot {e}}_{1}=v_{1}\end{cases}}$

Мы стремимся стабилизировать эту систему ошибок с помощью обратной связи через новый элемент управления. $v_{1}$. Стабилизируя систему на $e_{1}=0$, государство $z_{1}$ будет отслеживать желаемый контроль $u_{x}$ что приведет к стабилизации внутренней подсистемы x .

• Из нашей существующей функции Ляпунова $V_{x}$, определим расширенной функции Ляпунова кандидата

$V_{1}(\mathbf {x} ,e_{1})\triangleq V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}e_{1}^{2}$

Так

${\begin{aligned}{\dot {V}}_{1}&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}\left(2e_{1}{\dot {e}}_{1}\right)\\&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+e_{1}{\dot {e}}_{1}\\&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+e_{1}\overbrace {v_{1}} ^{{\dot {e}}_{1}}\\&=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}\underbrace {\dot {\mathbf {x} }} _{{\text{(i.e., }}{\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}} ^{{\dot {V}}_{x}{\text{ (i.e.,}}{\frac {\operatorname {d} V_{x}}{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}+e_{1}v_{1}\\&=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}\underbrace {\left((f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\right)} _{\dot {\mathbf {x} }}} ^{{\dot {V}}_{x}}+e_{1}v_{1}\end{aligned}}$

Распространяя $\partial V_{x}/\partial \mathbf {x}$, мы видим это

${\dot {V}}_{1}=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))} ^{{}\leq -W(\mathbf {x} )}+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}v_{1}\leq -W(\mathbf {x} )+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}v_{1}$

Чтобы гарантировать, что ${\dot {V}}_{1}\leq -W(\mathbf {x} )<0$ (т.е. для обеспечения устойчивости надсистемы) выбираем закон управления

$v_{1}=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}$

с $k_{1}>0$, и так

${\dot {V}}_{1}=-W(\mathbf {x} )+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}\overbrace {\left(-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}\right)} ^{v_{1}}$

После распространения $e_{1}$ через,

${\begin{aligned}{\dot {V}}_{1}&=-W(\mathbf {x} )+{\mathord {\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}-e_{1}{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )} ^{0}}}-k_{1}e_{1}^{2}\\&=-W(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}^{2}\leq -W(\mathbf {x} )\\&<0\end{aligned}}$

Итак, функция нашего кандидата Ляпунова $V_{1}$ — истинная функция Ляпунова , и наша система устойчива при этом законе управления $v_{1}$ (что соответствует закону управления $u_{1}$ потому что $v_{1}\triangleq u_{1}-{\dot {u}}_{x}$). Используя переменные исходной системы координат, эквивалентную функцию Ляпунова

$V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\triangleq V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}$ ( 2 )

Как обсуждается ниже, эта функция Ляпунова будет использоваться снова, когда эта процедура будет итеративно применяться к задаче с несколькими интеграторами.

• Наш выбор управления $v_{1}$ в конечном итоге зависит от всех наших исходных переменных состояния. В частности, реальный закон управления, стабилизирующий обратную связь

$\underbrace {u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=v_{1}+{\dot {u}}_{x}} _{{\text{By definition of }}v_{1}}=\overbrace {-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(\underbrace {z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )} _{e_{1}})} ^{v_{1}}\,+\,\overbrace {{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(\underbrace {f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}} _{{\dot {\mathbf {x} }}{\text{ (i.e., }}{\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}{\text{)}}})} ^{{\dot {u}}_{x}{\text{ (i.e., }}{\frac {\operatorname {d} u_{x}}{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}$ ( 3 )

Состояния x и $z_{1}$ и функции $f_{x}$ и $g_{x}$ исходят из системы. Функция $u_{x}$ происходит из нашей известной стабильной ${\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )$ подсистема. Параметр усиления ​ $k_{1}>0$ влияет на скорость сходимости нашей системы. Согласно этому закону управления, наша система устойчива в начале координат. $(\mathbf {x} ,z_{1})=(\mathbf {0} ,0)$.

Напомним, что $u_{1}$ в уравнении ( 3 ) управляет входом интегратора, который подключен к подсистеме, стабилизированной по обратной связи законом управления. $u_{x}$. Неудивительно, что контроль $u_{1}$ имеет ${\dot {u}}_{x}$ член, который будет интегрирован, чтобы следовать закону стабилизирующего управления ${\dot {u}}_{x}$ плюс некоторая компенсация. Другие члены обеспечивают демпфирование для устранения этого смещения и любых других эффектов возмущения, которые могут быть увеличены интегратором.

Поскольку эта система стабилизирована обратной связью $u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})$ и имеет функцию Ляпунова $V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})$ с ${\dot {V}}_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\leq -W(\mathbf {x} )<0$, ее можно использовать в качестве верхней подсистемы в другой одноинтеграторной каскадной системе.

двумя интеграторами

Прежде чем обсуждать рекурсивную процедуру для общего случая с несколькими интеграторами, полезно изучить рекурсию, присутствующую в случае с двумя интеграторами. То есть рассмотрим динамическую систему

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}$ ( 4 )

где $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ и $z_{1}$ и $z_{2}$ являются скалярами. Эта система представляет собой каскадное соединение системы с одним интегратором в уравнении ( 1 ) с другим интегратором (т. е. входным $u_{2}$ поступает через интегратор, а выход этого интегратора входит в систему в уравнении ( 1 ) через его $u_{1}$ вход).

Позволяя

• $\mathbf {y} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\z_{1}\end{bmatrix}}\,$,
• $f_{y}(\mathbf {y} )\triangleq {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\0\end{bmatrix}}\,$,
• $g_{y}(\mathbf {y} )\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}},\,$

тогда система с двумя интеграторами в уравнении ( 4 ) становится системой с одним интегратором

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {y} }}=f_{y}(\mathbf {y} )+g_{y}(\mathbf {y} )z_{2}&\quad {\text{( where this }}\mathbf {y} {\text{ subsystem is stabilized by }}z_{2}=u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}.\end{cases}}$ ( 5 )

По одноинтеграторной процедуре закон управления $u_{y}(\mathbf {y} )\triangleq u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})$ стабилизирует верхнюю часть $z_{2}$-to- y подсистема с использованием функции Ляпунова $V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})$, и поэтому уравнение ( 5 ) представляет собой новую систему с одним интегратором, которая структурно эквивалентна системе с одним интегратором в уравнении ( 1 ). Таким образом, стабилизирующий контроль $u_{2}$ можно найти с помощью той же процедуры с одним интегратором, которая использовалась для нахождения $u_{1}$.

Отступление от многих интеграторов

В случае с двумя интеграторами верхняя подсистема с одним интегратором была стабилизирована, в результате чего возникла новая система с одним интегратором, которую можно стабилизировать аналогичным образом. Эту рекурсивную процедуру можно расширить для обработки любого конечного числа интеграторов. Это утверждение можно формально доказать с помощью математической индукции . Здесь стабилизированная система с несколькими интеграторами строится из подсистем уже стабилизированных подсистем с несколькими интеграторами.

• Сначала рассмотрим динамическую систему

${\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}$

который имеет скалярный вход $u_{x}$ и выходные состояния $\mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]^{\text{T}}\in \mathbb {R} ^{n}$. Предположим, что

• • $f_{x}(\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ так что нулевой вход (т. е. $u_{x}=0$) система стационарна в начале координат $\mathbf {x} =\mathbf {0} \,$. В этом случае начало координат называется равновесием системы.
  • Закон управления с обратной связью $u_{x}(\mathbf {x} )$ стабилизирует систему в состоянии равновесия в начале координат.
  • Функция Ляпунова, соответствующая этой системе, описывается выражением $V_{x}(\mathbf {x} )$.

То есть, если выходные состояния x возвращаются на вход $u_{x}$ по закону управления $u_{x}(\mathbf {x} )$, то выходные состояния (и функция Ляпунова) возвращаются в начало координат после однократного возмущения (например, после ненулевого начального условия или резкого возмущения). Эта подсистема стабилизируется законом управления с обратной связью. $u_{x}$.

• Далее подключаем интегратор ко входу $u_{x}$ так что расширенная система имеет входные данные $u_{1}$ (к интегратору) и выходные состояния x . Полученная дополненная динамическая система имеет вид

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}$

Эта «каскадная» система соответствует форме в уравнении ( 1 ), и поэтому процедура обратного шага с одним интегратором приводит к стабилизирующему закону управления в уравнении ( 3 ). То есть, если мы вернём состояния $z_{1}$ и x для ввода $u_{1}$ по закону управления

$u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))+{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1})$

с выгодой $k_{1}>0$, то государства $z_{1}$ и x вернется в $z_{1}=0$ и $\mathbf {x} =\mathbf {0} \,$ после одного возмущения. Эта подсистема стабилизируется законом управления с обратной связью. $u_{1}$, а соответствующая функция Ляпунова из уравнения ( 2 ) равна

$V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}$

То есть по закону управления с обратной связью $u_{1}$, функция Ляпунова $V_{1}$ уменьшается до нуля, когда состояния возвращаются в начало координат.

• Подключите новый интегратор к входу $u_{1}$ так что расширенная система имеет входные данные $u_{2}$ и выходные состояния x . Полученная дополненная динамическая система имеет вид

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}$

что эквивалентно системе с одним интегратором

${\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{1}(\mathbf {x} _{1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{1}(\mathbf {x} _{1})}z_{2}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{1}({\textbf {x}}_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}$

Используя эти определения $\mathbf {x} _{1}$, $f_{1}$, и $g_{1}$, эту систему можно также выразить как

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{1}({\textbf {x}}_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}$

Эта система соответствует структуре с одним интегратором уравнения ( 1 ), и поэтому процедура обратного шага с одним интегратором может быть применена снова. То есть, если мы вернём состояния $z_{1}$, $z_{2}$и x для ввода $u_{2}$ по закону управления

$u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=-{\frac {\partial V_{1}}{\partial \mathbf {x} _{1}}}g_{1}(\mathbf {x} _{1})-k_{2}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} _{1}))+{\frac {\partial u_{1}}{\partial \mathbf {x} _{1}}}(f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2})$

с выгодой $k_{2}>0$, то государства $z_{1}$, $z_{2}$, и x вернется в $z_{1}=0$, $z_{2}=0$, и $\mathbf {x} =\mathbf {0} \,$ после одного возмущения. Эта подсистема стабилизируется законом управления с обратной связью. $u_{2}$, а соответствующая функция Ляпунова есть

$V_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} _{1})+{\frac {1}{2}}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} _{1}))^{2}$

То есть по закону управления с обратной связью $u_{2}$, функция Ляпунова $V_{2}$ уменьшается до нуля, когда состояния возвращаются в начало координат.

• Подключите интегратор к входу $u_{2}$ так что расширенная система имеет входные данные $u_{3}$ и выходные состояния x . Полученная дополненная динамическая система имеет вид

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}$

которую можно перегруппировать в единую систему-интегратор

${\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{2}\\z_{2}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{2}(\mathbf {x} _{2})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\0\\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{2}(\mathbf {x} _{2})}z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}$

По определениям $\mathbf {x} _{1}$, $f_{1}$, и $g_{1}$ из предыдущего шага эта система также представлена

${\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\end{bmatrix}} ^{{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2}\\0\end{bmatrix}} ^{f_{2}(\mathbf {x} _{2})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{g_{2}(\mathbf {x} _{2})}z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}$

Далее, используя эти определения $\mathbf {x} _{2}$, $f_{2}$, и $g_{2}$, эту систему можно также выразить как

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} _{2})+g_{2}(\mathbf {x} _{2})z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}$

Таким образом, перегруппированная система имеет структуру с одним интегратором уравнения ( 1 ), и поэтому процедура обратного шага с одним интегратором может быть применена снова. То есть, если мы вернём состояния $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$и x для ввода $u_{3}$ по закону управления

$u_{3}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},z_{3})=-{\frac {\partial V_{2}}{\partial \mathbf {x} _{2}}}g_{2}(\mathbf {x} _{2})-k_{3}(z_{3}-u_{2}(\mathbf {x} _{2}))+{\frac {\partial u_{2}}{\partial \mathbf {x} _{2}}}(f_{2}(\mathbf {x} _{2})+g_{2}(\mathbf {x} _{2})z_{3})$

с выгодой $k_{3}>0$, то государства $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$, и x вернется в $z_{1}=0$, $z_{2}=0$, $z_{3}=0$, и $\mathbf {x} =\mathbf {0} \,$ после одного возмущения. Эта подсистема стабилизируется законом управления с обратной связью. $u_{3}$, а соответствующая функция Ляпунова есть

$V_{3}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},z_{3})=V_{2}(\mathbf {x} _{2})+{\frac {1}{2}}(z_{3}-u_{2}(\mathbf {x} _{2}))^{2}$

То есть по закону управления с обратной связью $u_{3}$, функция Ляпунова $V_{3}$ уменьшается до нуля, когда состояния возвращаются в начало координат.

• Этот процесс может продолжаться для каждого интегратора, добавленного в систему, и, следовательно, для любой системы вида

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}=z_{i+1}\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-2}=z_{k-1}\\{\dot {z}}_{k-1}=z_{k}\\{\dot {z}}_{k}=u\end{cases}}$

имеет рекурсивную структуру

${\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{i}=z_{i+1}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-2}=z_{k-1}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-1}=z_{k}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k}=u\end{cases}}$

и может быть стабилизирован по обратной связи путем нахождения управления, стабилизирующего обратную связь, и функции Ляпунова для одноинтегратора $(\mathbf {x} ,z_{1})$ подсистема (т.е. с входом $z_{2}$ и вывести x ) и выполнять итерацию от этой внутренней подсистемы до тех пор, пока не станет известно окончательное управление u , стабилизирующее обратную связь . На итерации i эквивалентной системой является

${\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i-2}\\{\dot {z}}_{i-1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{i-1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{i-2}(\mathbf {x} _{i-2})+g_{i-2}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i-2}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}z_{i}&\quad {\text{ ( by Lyap. func. }}V_{i-1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{i-1}({\textbf {x}}_{i-1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{i}=u_{i}\end{cases}}$

Соответствующий закон управления, стабилизирующий обратную связь, имеет вид

$u_{i}(\overbrace {\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{i}} ^{\triangleq \,\mathbf {x} _{i}})=-{\frac {\partial V_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,-\,k_{i}(z_{i}\,-\,u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))\,+\,{\frac {\partial u_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}(f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,+\,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i})$

с выгодой $k_{i}>0$. Соответствующая функция Ляпунова есть

$V_{i}(\mathbf {x} _{i})=V_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})+{\frac {1}{2}}(z_{i}-u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))^{2}$

Такая конструкция обеспечивает максимальный контроль $u(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k})=u_{k}(\mathbf {x} _{k})$ (т. е. окончательный контроль достигается на последней итерации $i=k$).

Следовательно, любая система в этой специальной форме строгой обратной связи со многими интеграторами может быть стабилизирована с помощью обратной связи с использованием простой процедуры, которую можно даже автоматизировать (например, как часть алгоритма адаптивного управления ).

Общий возврат назад

Системы в специальной форме строгой обратной связи имеют рекурсивную структуру, аналогичную структуре многоинтеграторной системы. Аналогичным образом, они стабилизируются путем стабилизации наименьшей каскадной системы с последующим переходом к следующей каскадной системе и повторением процедуры. Поэтому крайне важно разработать одноэтапную процедуру; эту процедуру можно рекурсивно применить для покрытия многошагового случая. К счастью, из-за требований к функциям в форме строгой обратной связи каждая одношаговая система может быть преобразована посредством обратной связи в систему с одним интегратором, и эту систему с одним интегратором можно стабилизировать с помощью методов, рассмотренных выше.

Одноэтапная процедура

Рассмотрим простую строгой обратной связи. систему

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})u_{1}\end{cases}}$ ( 6 )

где

• $\mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]^{\text{T}}\in \mathbb {R} ^{n}$,
• $z_{1}$ и $u_{1}$ являются скалярами ,
• Для всех х и $z_{1}$, $g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\neq 0$.

Вместо разработки управления, стабилизирующего обратную связь $u_{1}$ непосредственно, ввести новый элемент управления $u_{a1}$ (будет разработано позже ) и используйте закон управления

$u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})={\frac {1}{g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}}\left(u_{a1}-f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\right)$

что возможно, потому что $g_{1}\neq 0$. Таким образом, система в уравнении ( 6 ) равна

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\overbrace {{\frac {1}{g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}}\left(u_{a1}-f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\right)} ^{u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}\end{cases}}$

что упрощается до

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=u_{a1}\end{cases}}$

Этот новый $u_{a1}$ -to- x Система соответствует каскадной системе с одним интегратором в уравнении ( 1 ). Полагая, что закон управления, стабилизирующий обратную связь $u_{x}(\mathbf {x} )$ и функция Ляпунова $V_{x}(\mathbf {x} )$ для верхней подсистемы известен закон управления, стабилизирующий обратную связь, из уравнения ( 3 ):

$u_{a1}(\mathbf {x} ,z_{1})=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))+{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1})$

с выгодой $k_{1}>0$. Таким образом, окончательный закон управления, стабилизирующий обратную связь, имеет вид

$u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})={\frac {1}{g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}}\left(\overbrace {-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))+{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1})} ^{u_{a1}(\mathbf {x} ,z_{1})}\,-\,f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\right)$ ( 7 )

с выгодой $k_{1}>0$. Соответствующая функция Ляпунова из уравнения ( 2 ) равна

$V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}$ ( 8 )

Поскольку эта система строгой обратной связи имеет управление, стабилизирующее обратную связь, и соответствующую функцию Ляпунова, ее можно каскадировать как часть более крупной системы строгой обратной связи, и эту процедуру можно повторить, чтобы найти окружающее управление, стабилизирующее обратную связь.

Многоэтапная процедура

Как и в случае обратного шага со многими интеграторами, одношаговую процедуру можно выполнять итеративно, чтобы стабилизировать всю систему со строгой обратной связью. На каждом этапе

1. Самая маленькая «нестабилизированная» одноступенчатая система строгой обратной связи изолирована.
2. Обратная связь используется для преобразования системы в систему с одним интегратором.
3. Полученная одноинтеграторная система стабилизируется.
4. Стабилизированная система используется в качестве верхней системы на следующем этапе.

То есть любая система строгой обратной связи

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})z_{i+1}\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-2}=f_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2})+g_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2})z_{k-1}\\{\dot {z}}_{k-1}=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2},z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2},z_{k-1})z_{k}\\{\dot {z}}_{k}=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}$

имеет рекурсивную структуру

${\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\end{cases}}\\\vdots \\\end{cases}}\\{\dot {z}}_{i}=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})z_{i+1}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-2}=f_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2})+g_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2})z_{k-1}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-1}=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2},z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2},z_{k-1})z_{k}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k}=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}$

и может быть стабилизирован по обратной связи путем нахождения управления, стабилизирующего обратную связь, и функции Ляпунова для одноинтегратора $(\mathbf {x} ,z_{1})$ подсистема (т.е. с входом $z_{2}$ и вывести x ) и выполнять итерацию от этой внутренней подсистемы до тех пор, пока не станет известно окончательное управление u , стабилизирующее обратную связь . На итерации i эквивалентной системой является

${\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i-2}\\{\dot {z}}_{i-1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{i-1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{i-2}(\mathbf {x} _{i-2})+g_{i-2}(\mathbf {x} _{i-2})z_{i-2}\\f_{i-1}(\mathbf {x} _{i})\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\g_{i-1}(\mathbf {x} _{i})\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}z_{i}&\quad {\text{ ( by Lyap. func. }}V_{i-1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{i-1}({\textbf {x}}_{i-1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{i}=f_{i}(\mathbf {x} _{i})+g_{i}(\mathbf {x} _{i})u_{i}\end{cases}}$

По уравнению ( 7 ) соответствующий закон управления, стабилизирующий обратную связь, равен

$u_{i}(\overbrace {\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{i}} ^{\triangleq \,\mathbf {x} _{i}})={\frac {1}{g_{i}(\mathbf {x} _{i})}}\left(\overbrace {-{\frac {\partial V_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,-\,k_{i}\left(z_{i}\,-\,u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\right)\,+\,{\frac {\partial u_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}(f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,+\,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i})} ^{{\text{Single-integrator stabilizing control }}u_{a\;\!i}(\mathbf {x} _{i})}\,-\,f_{i}(\mathbf {x} _{i-1})\right)$

с выгодой $k_{i}>0$. По уравнению ( 8 ) соответствующая функция Ляпунова равна

$V_{i}(\mathbf {x} _{i})=V_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})+{\frac {1}{2}}(z_{i}-u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))^{2}$

Такая конструкция обеспечивает максимальный контроль $u(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k})=u_{k}(\mathbf {x} _{k})$ (т. е. окончательный контроль достигается на последней итерации $i=k$).Следовательно, любую систему со строгой обратной связью можно стабилизировать с помощью простой процедуры, которую можно даже автоматизировать (например, как часть алгоритма адаптивного управления ).

См. также

• Нелинейное управление
• Форма строгой обратной связи
• Надежное управление
• Адаптивное управление