Реконструкция по проекциям

Проблема восстановления многомерного сигнала по его проекции является однозначно многомерной и не имеет одномерного аналога. Его приложения варьируются от компьютерной томографии до обработки геофизических сигналов. Это проблема, которую можно исследовать с нескольких точек зрения: как проблема деконволюции , проблема моделирования, проблема оценки или проблема интерполяции . ^[1]^[2]

Мотивация и приложения

Проблема реконструкции по проекциям возникла независимо во многих научных областях, поскольку широко применяется в таких областях, как медицинская визуализация , геофизическая томография , промышленная радиография и так далее. Например, с помощью компьютерного томографа информация о поражениях пациентов может быть представлена в 3D на компьютере, что предлагает новый и точный подход к диагностике и, таким образом, имеет жизненно важное клиническое значение.

Постановка задачи и основы

Проекция – это линейное отображение $M$ размерный сигнал в $N$ размерный, где $N\leq M$ . А цель реконструкции – восстановить $M$ размерный сигнал на основе $N$ размерный сигнал. В следующем случае двумерный сигнал проецируется в одномерный сигнал. ^[3] Сигнал в исходной координате обозначается как $d(u,v)$ . Теперь рассмотрим коллимированный пучок излучения, исходящий из противоположной ориентации ${\hat {v}}$ , создавая проекцию вдоль ${\hat {u}}$ . ${\hat {v}}$ и ${\hat {u}}$ перпендикулярны друг другу, а угол между $u$ и ${\hat {u}}$ это тэта. Сигнал, полученный по ${\hat {u}}$ ось определяется как $p_{\theta }({\hat {u}})$ . Связь между исходной координатой и повернутой координатой определяется выражением

${\begin{bmatrix}{\hat {u}}\\{\hat {v}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}$

или наоборот,

${\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\hat {u}}\\{\hat {v}}\end{bmatrix}}$

Тогда у нас есть

$p_{\theta }({\hat {u}})=\int _{-\infty }^{\infty }d(u,v)\,\mathrm {d} {\hat {v}}=\int _{-\infty }^{\infty }d({\hat {u}}\cos(\theta )-{\hat {v}}\sin(\theta ),{\hat {u}}\sin(\theta )+{\hat {v}}\cos(\theta ))\,\mathrm {d} {\hat {v}}$

Варьируя тэту, можно получить большое количество проекций.

Учитывая теорему о проекционном срезе , $D(\Omega ,\theta )$ , срез преобразования Фурье $d(u,v)$ под углом тета эквивалентно $P_{\theta }(\Omega )$ , преобразование Фурье проекции $p_{\theta }({\hat {u}})$ . Поэтому неизвестное $d(u,v)$ может быть получена из его преобразования Фурье с помощью интеграла обращения преобразования Фурье

$\mathrm {d} (u,v)={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }D(\Omega _{1},\Omega _{2})e^{j\Omega _{1}u}e^{j\Omega _{2}v}\,\mathrm {d} \Omega _{1},\Omega _{2}$ $={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\int _{-\pi }^{\pi }D(\Omega ,\theta )e^{j\Omega u\cos(\theta )}e^{j\Omega vsin\theta }{\begin{vmatrix}\Omega \end{vmatrix}}\,\mathrm {d} \Omega \mathrm {d} \theta$ $={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{0}^{\infty }P_{\theta }(\Omega )e^{j}\Omega (u\cos \theta +v\sin \theta ){\begin{vmatrix}\Omega \end{vmatrix}}\,\mathrm {d} \Omega \mathrm {d} \theta$ $={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{\pi }(\int _{-\infty }^{\infty }P_{\theta }(\Omega ){\begin{vmatrix}\Omega \end{vmatrix}}$ $e^{j\Omega {\hat {u}}}\mathrm {d} \Omega )\mathrm {d} \theta$

Приняв обратное преобразование Фурье и предположив $g({\hat {u}})={\mathcal {F}}^{-1}({{\begin{vmatrix}\Omega \end{vmatrix}}^{2}})$ , мы получаем $d(u,v)=\sum _{i}\vartriangle \theta _{i}[p_{\theta }({\hat {u}})*g_{\theta i}({\hat {u}})]$

Подходы

На практике используются очень редкие методы, большинство из которых восстанавливают трехмерную информацию (объем) из двумерных сигналов (изображения). Обычно используемые методы — КТ, МРТ, ПЭТ и ОФЭКТ. И обычно применяется отфильтрованная обратная проекция, основанная на принципах, представленных выше. ^[4]^[5]

Компьютерная томография (КТ)

При КТ объем формируется путем наложения аксиальных срезов. Программное обеспечение разрезает объем в другой плоскости (обычно ортогональной ). Обычно данные среза генерируются с использованием источника рентгеновского излучения, который вращается вокруг объекта. Рентгеновские датчики расположены на противоположной стороне круга от источника рентгеновского излучения.

Магнитно-резонансная томография (МРТ)

энергия колеблющегося магнитного поля При МРТ к пациенту временно подается на соответствующей резонансной частоте. Протоны . (атомы водорода) излучают радиочастотный сигнал, который измеряется приемной катушкой Радиосигнал можно заставить кодировать информацию о местоположении, изменяя основное магнитное поле с помощью градиентных катушек. ^[6]

Позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ)

Система обнаруживает пары гамма-лучей, испускаемых опосредованно позитрон -излучающим радионуклидом (трассером), который вводится в организм на биологически активной молекуле. Затем с помощью компьютерного анализа строятся трехмерные изображения концентрации индикаторов в организме. В современных сканерах ПЭТ-КТ трехмерное изображение часто достигается с помощью рентгеновского КТ-сканирования, выполняемого пациенту во время одного и того же сеанса на одном и том же аппарате.

Однофотонная эмиссионная компьютерная томография (ОФЭКТ)

ОФЭКТ-изображение выполняется с помощью гамма-камеры для получения нескольких двумерных изображений (проекций) под разными углами. Для получения трехмерного набора данных используются несколько проекций. Затем этим набором данных можно манипулировать, чтобы показать тонкие срезы вдоль любой выбранной оси тела. ОФЭКТ похожа на ПЭТ в использовании радиоактивного индикаторного материала и обнаружении гамма-лучей, в то время как индикаторы, используемые в ОФЭКТ, излучают гамма-излучение, которое измеряется более прямым способом. ^[7]

См. также

Ссылки

^ Даджен, Дэн Э. и Рассел М. Мерсеро. «Многомерная цифровая обработка сигналов». Серия обработки сигналов Прентис-Холла, Энглвуд Клиффс: Прентис-Холл, 1984 1 (1984).
^ Гоннор, Рикранн и Габор Т. Херман. « Трехмерная реконструкция по проекциям: обзор алгоритмов ». Международное обозрение цитологии 38 (1974): 111.
^ Даджен, Дэн Э. и Рассел М. Мерсеро. «Многомерная цифровая обработка сигналов». Серия обработки сигналов Прентис-Холла, Энглвуд Клиффс: Прентис-Холл, 1984 1 (1984).
^ Дой, Кунио. « Компьютерная диагностика в медицинской визуализации: исторический обзор, текущий статус и будущий потенциал ». Компьютеризированная медицинская визуализация и графика 31.4 (2007): 198-211.
^ Ледли, Роберт С. и Уильям Р. Айерс. «Компьютерная медицинская визуализация и графика». (1995).
^ Шульц, Геррит и др. « Реконструкция МР-изображений по обобщенным проекциям ». Магнитный резонанс в медицине 72.2 (2014): 546-557.
^ Будингер, Т.Ф. « Однофотонная эмиссионная компьютерная томография ». Диагностическая ядерная медицина. Второе издание. 1988.

Внешние ссылки

[1] Даджен, Дэн Э. и Рассел М. Мерсеро. «Многомерная цифровая обработка сигналов». Серия обработки сигналов Прентис-Холла, Энглвуд Клиффс: Прентис-Холл, 1984 1 (1984).

[2] Гоннор, Рикранн и Габор Т. Херман. « Трехмерная реконструкция по проекциям: обзор алгоритмов ». Международное обозрение цитологии 38 (1974): 111.

[3] Даджен, Дэн Э. и Рассел М. Мерсеро. «Многомерная цифровая обработка сигналов». Серия обработки сигналов Прентис-Холла, Энглвуд Клиффс: Прентис-Холл, 1984 1 (1984).

[4] Дой, Кунио. « Компьютерная диагностика в медицинской визуализации: исторический обзор, текущий статус и будущий потенциал ». Компьютеризированная медицинская визуализация и графика 31.4 (2007): 198-211.

[5] Ледли, Роберт С. и Уильям Р. Айерс. «Компьютерная медицинская визуализация и графика». (1995).

[6] Шульц, Геррит и др. « Реконструкция МР-изображений по обобщенным проекциям ». Магнитный резонанс в медицине 72.2 (2014): 546-557.

[7] Будингер, Т.Ф. « Однофотонная эмиссионная компьютерная томография ». Диагностическая ядерная медицина. Второе издание. 1988.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]