Векторная оптимизация

Векторная оптимизация - это подобласть математической оптимизации , в которой задачи оптимизации с векторными целевыми функциями оптимизируются относительно заданного частичного порядка и с учетом определенных ограничений. Задача многокритериальной оптимизации представляет собой частный случай задачи векторной оптимизации: целевое пространство представляет собой конечномерное евклидово пространство, частично упорядоченное покомпонентным порядком «меньше или равно».

Формулировка проблемы

В математических терминах задачу векторной оптимизации можно записать так:

$C\operatorname {-} \min _{x\in S}f(x)$

где $f:X\to Z$ для частично упорядоченного векторного пространства $Z$. Частичный порядок индуцируется конусом $C\subseteq Z$. $X$ является произвольным множеством и $S\subseteq X$ называется допустимым множеством.

Концепции решения

Существуют разные понятия минимальности, среди них:

• ${\bar {x}}\in S$ является слабо эффективной точкой (слабым минимизатором), если для любого $x\in S$ у одного есть $f(x)-f({\bar {x}})\not \in -\operatorname {int} C$.
• ${\bar {x}}\in S$ является эффективной точкой (минимайзером), если для любого $x\in S$ у одного есть $f(x)-f({\bar {x}})\not \in -C\backslash \{0\}$.
• ${\bar {x}}\in S$ является правильно эффективной точкой (правильный минимизатор), если ${\bar {x}}$ является слабо эффективной точкой относительно замкнутого заостренного выпуклого конуса ${\tilde {C}}$ где $C\backslash \{0\}\subseteq \operatorname {int} {\tilde {C}}$.

Каждый правильный минимизатор является минимизатором. И каждый минимизатор является слабым минимизатором.

Современные концепции решения не только состоят из понятий минимальности, но также учитывают достижение минимальной границы .

Методы решения

• Алгоритм Бенсона для задач линейной векторной оптимизации.

многоцелевой

Любую задачу многокритериальной оптимизации можно записать как

$\mathbb {R} _{+}^{d}\operatorname {-} \min _{x\in M}f(x)$

где $f:X\to \mathbb {R} ^{d}$ и $\mathbb {R} _{+}^{d}$ неотрицательным ортантом является $\mathbb {R} ^{d}$. Таким образом, минимизатором этой задачи векторной оптимизации являются точки , эффективные по Парето .