Неравенство Лебедева–Милина.

В математике неравенство Лебедева–Милина — любое из нескольких неравенств для коэффициентов экспоненты степенного ряда , найденных Лебедевым и Милиным ( 1965 ) и Исааком Моисеевичем Милиным ( 1977 ). Она использовалась при доказательстве гипотезы Бибербаха , поскольку показывает, что из гипотезы Милина следует гипотеза Робертсона .

Они заявляют, что если

$\sum _{k\geq 0}\beta _{k}z^{k}=\exp \left(\sum _{k\geq 1}\alpha _{k}z^{k}\right)$

для комплексных чисел $\beta _{k}$ и $\alpha _{k}$, и $n$ является целым положительным числом, то

$\sum _{k=0}^{\infty }|\beta _{k}|^{2}\leq \exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }k|\alpha _{k}|^{2}\right),$

$\sum _{k=0}^{n}|\beta _{k}|^{2}\leq (n+1)\exp \left({\frac {1}{n+1}}\sum _{m=1}^{n}\sum _{k=1}^{m}(k|\alpha _{k}|^{2}-1/k)\right),$

$|\beta _{n}|^{2}\leq \exp \left(\sum _{k=1}^{n}(k|\alpha _{k}|^{2}-1/k)\right).$

См. также показательную формулу (о возведении в степень степенного ряда).

Ссылки

• Конвей, Джон Б. (1995), Функции одной комплексной переменной II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94460-9 , OCLC   32014394
• Гриншпан, А.З. (1999), «Гипотеза Бибербаха и функционалы Милина», The American Mathematical Monthly , vol. 106, нет. 3, стр. 203–214, номер документа : 10.2307/2589676 , JSTOR   2589676 , MR   1682341.
• Гриншпан, Аркадий З. (2002), «Логарифмическая геометрия, возведение в степень и границы коэффициентов в теории однолистных функций и непересекающихся областей», в Кунау, Райнер (ред.), Геометрическая теория функций , Справочник комплексного анализа, том. 1, Амстердам : Северная Голландия , стр. 273–332, ISBN.  0-444-82845-1 , МР   1966197 , Збл   1083.30017 .
• Кореваар, Джейкоб (1986), «Гипотеза Людвига Бибербаха и ее доказательство Луи де Бранжа », The American Mathematical Monthly , vol. 93, нет. 7, стр. 505–514, doi : 10.2307/2323021 , ISSN   0002-9890 , JSTOR   2323021 , MR   0856290
• Lebedev, N. A.; Milin, I. M. (1965), An inequality , vol. 20, Vestnik Leningrad University. Mathematics, pp. 157–158, ISSN  0146-924X , MR  0186793
• Милин И. М. (1977) [Впервые опубликовано в 1971 г.], Однолистные функции и ортонормированные системы , Переводы математических монографий, т. 1, с. 49, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. iv+202, ISBN.  0-8218-1599-7 , MR   0369684 , Збл   0342.30006 (Перевод русского издания 1971 года под редакцией П. Л. Дюрена).