Теорема Бранжа

В комплексном анализе теорема де Бранжа или гипотеза Бибербаха — это теорема, которая дает необходимое условие для голоморфной функции , позволяющее ей отображать открытый единичный круг комплексной плоскости инъективно в комплексную плоскость. Ее сформулировал Людвиг Бибербах ( 1916 ) и окончательно доказал Луи де Бранж ( 1985 ).

Утверждение касается коэффициентов Тейлора $a_{n}$ однолистной функции , т. е. взаимно-однозначной голоморфной функции, которая отображает единичный круг в комплексную плоскость, нормированной, насколько это всегда возможно, так что $a_{0}=0$ и $a_{1}=1$ . То есть мы рассматриваем функцию, определенную на открытом единичном круге, которая является голоморфной и инъективной ( однолистной ) с рядом Тейлора вида

f(z)=z+\sum _{n\geq 2}a_{n}z^{n}.

Такие функции называются однолистными . Тогда теорема утверждает, что

|a_{n}|\leq n\quad {\text{for all }}n\geq 2.

Функция Кебе (см. ниже) — это функция, для которой $a_{n}=n$ для всех $n$ , и это однолистник, поэтому мы не можем найти более строгий предел для абсолютного значения $n$ й коэффициент.

Простые функции

Нормализации

a_{0}=0\ {\text{and}}\ a_{1}=1

имею в виду, что

f(0)=0\ {\text{and}}\ f'(0)=1.

Этого всегда можно получить с помощью аффинного преобразования : начав с произвольной инъективной голоморфной функции $g$ определяется на открытом диске устройства и настройке

f(z)={\frac {g(z)-g(0)}{g'(0)}}.

Такие функции $g$ представляют интерес, поскольку появляются в теореме об отображении Римана .

Однолистная функция определяется как аналитическая функция $f$ это взаимно однозначно и удовлетворяет $f(0)=0$ и $f'(0)=1$ . Семейство однолистных функций представляет собой повернутые функции Кебе.

f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}

с $\alpha$ комплексное число абсолютного значения $1$ . Если $f$ это простая функция и $|a_{n}|=n$ для некоторых $n\geq 2$ , затем $f$ представляет собой повернутую функцию Кебе.

Условие теоремы де Бранжа недостаточно для того, чтобы показать, что функция однолистна, так как функция

f(z)=z+z^{2}=(z+1/2)^{2}-1/4

показывает: он голоморфен на единичном круге и удовлетворяет $|a_{n}|\leq n$ для всех $n$ , но оно не инъективно, поскольку $f(-1/2+z)=f(-1/2-z)$ .

История

Обзор истории дан Кёпфом (2007) .

Бибербах (1916) доказал $|a_{2}|\leq 2$ и высказал гипотезу о том, что $|a_{n}|\leq n$ . Лёвнер (1917) и Неванлинна (1921) независимо доказали гипотезу для звездообразных функций .Затем Чарльз Левнер ( Löwner (1923) ) доказал $|a_{3}|\leq 3$ , используя уравнение Лёвнера . Его работа использовалась в большинстве более поздних попыток, а также применяется в теории эволюции Шрамма-Лёвнера .

Литтлвуд (1925 , теорема 20) доказал, что $|a_{n}|\leq en$ для всех $n$ , показывая, что гипотеза Бибербаха верна с точностью до фактора $e=2.718\ldots$ Несколько авторов позже уменьшили константу в неравенстве ниже $e$ .

Если $f(z)=z+\cdots$ это простая функция, тогда $\varphi (z)=z(f(z^{2})/z^{2})^{1/2}$ является нечетной однолистной функцией. Пейли и Литтлвуд ( 1932 ) показали, что их коэффициенты Тейлора удовлетворяют $b_{k}\leq 14$ для всех $k$ . Они предположили, что $14$ можно заменить на $1$ как естественное обобщение гипотезы Бибербаха. Из гипотезы Литтлвуда-Пэли легко следует гипотеза Бибербаха с использованием неравенства Коши, но вскоре она была опровергнута Фекете и Сегё (1933) , которые показали, что существует нечетная однолистная функция с $b_{5}=1/2+\exp(-2/3)=1.013\ldots$ , и что это максимально возможное значение $b_{5}$ . Исаак Милин позже показал, что $14$ можно заменить на $1.14$ , а Хейман показал, что числа $b_{k}$ иметь лимит меньше $1$ если $f$ не является функцией Кебе (для которой $b_{2k+1}$ все $1$ ). Таким образом, предел всегда меньше или равен $1$ , а это означает, что гипотеза Литтлвуда и Пэли верна для всех коэффициентов, кроме конечного числа. Более слабая форма гипотезы Литтлвуда и Пейли была найдена Робертсоном (1936) .

Гипотеза Робертсона утверждает, что если

\phi (z)=b_{1}z+b_{3}z^{3}+b_{5}z^{5}+\cdots

– нечетная однолистная функция в единичном круге с $b_{1}=1$ тогда для всех положительных целых чисел $n$ ,

\sum _{k=1}^{n}|b_{2k+1}|^{2}\leq n.

Робертсон заметил, что его гипотеза все еще достаточно сильна, чтобы подразумевать гипотезу Бибербаха, и доказал ее для $n=3$ . Эта гипотеза ввела ключевую идею ограничения различных квадратичных функций коэффициентов, а не самих коэффициентов, что эквивалентно ограничивающим нормам элементов в некоторых гильбертовых пространствах однолистных функций.

Было несколько доказательств гипотезы Бибербаха для некоторых более высоких значений $n$ , в частности Гарабедян и Шиффер (1955) доказали $|a_{4}|\leq 4$ , Озава (1969) и Педерсон (1968) доказали $|a_{6}|\leq 6$ и Педерсон и Шиффер (1972) доказали $|a_{5}|\leq 5$ .

Хейман (1955) доказал, что предел $a_{n}/n$ существует и имеет абсолютное значение меньше, чем $1$ пока не $f$ является функцией Кебе. В частности, это показало, что для любого $f$ из гипотезы Бибербаха может быть не более конечного числа исключений.

Гипотеза Милина утверждает, что для каждой однолистной функции на единичном круге и для всех натуральных чисел $n$ ,

\sum _{k=1}^{n}(n-k+1)(k|\gamma _{k}|^{2}-1/k)\leq 0

где логарифмические коэффициенты $\gamma _{n}$ из $f$ даны

\log(f(z)/z)=2\sum _{n=1}^{\infty }\gamma _{n}z^{n}.

Милин (1977) показал с помощью неравенства Лебедева-Милина , что из гипотезы Милина (позже доказанной де Бранжем) следует гипотеза Робертсона и, следовательно, гипотеза Бибербаха.

Наконец де Бранж (1987) доказал $|a_{n}|\leq n$ для всех $n$ .

Доказательство де Бранжа

В доказательстве используется тип гильбертова пространства целых функций . Изучение этих пространств переросло в область комплексного анализа, и эти пространства стали называть пространствами де Бранжа . Де Бранж доказал более сильную гипотезу Милина ( Милин 1977 ) о логарифмических коэффициентах. Уже было известно, что из этого следует гипотеза Робертсона ( Robertson 1936 ) о нечетных однолистных функциях, из которой, в свою очередь, следует гипотеза Бибербаха о однолистных функциях ( Bieberbach 1916 ). Его доказательство использует уравнение Лёвнера , неравенство Аски-Гаспер о полиномах Якоби и неравенство Лебедева-Милина о возведенных в степень степенных рядах.

Де Бранж свел гипотезу к некоторым неравенствам для полиномов Якоби и проверил первые несколько вручную. Уолтер Гаучи проверил на компьютере больше этих неравенств для де Бранжа (доказав гипотезу Бибербаха для первых 30 или около того коэффициентов), а затем спросил Ричарда Аски , знает ли он о каких-либо подобных неравенствах. Аски отметил, что Аски и Гаспер (1976) доказали необходимые неравенства восемь лет назад, что позволило де Бранжу завершить свое доказательство. Первая версия была очень длинной и содержала некоторые мелкие ошибки, вызывавшие некоторый скептицизм по отношению к ней, но они были исправлены с помощью участников Ленинградского семинара по геометрической теории функций ( Ленинградское отделение Математического института им. Стеклова ), когда де Бранж посетил его в 1984 году.

Де Бранж доказал следующий результат, который для $\nu =0$ подразумевает гипотезу Милина (и, следовательно, гипотезу Бибербаха). Предположим, что $\nu >-3/2$ и $\sigma _{n}$ являются действительными числами для положительных целых чисел $n$ с лимитом $0$ и такое, что

\rho _{n}={\frac {\Gamma (2\nu +n+1)}{\Gamma (n+1)}}(\sigma _{n}-\sigma _{n+1})

неотрицательен, не возрастает и имеет предел $0$ . Тогда для всех отображающих функций Римана $F(z)=z+\cdots$ унивалентен в единичном диске с

{\frac {F(z)^{\nu }-z^{\nu }}{\nu }}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{\nu +n}

максимальное значение

\sum _{n=1}^{\infty }(\nu +n)\sigma _{n}|a_{n}|^{2}

достигается функцией Кебе $z/(1-z)^{2}$ .

Упрощенная версия доказательства была опубликована в 1985 году Карлом Фитцджеральдом и Кристианом Поммеренке ( FitzGerald & Pommerenke (1985) ), а еще более короткое описание — Джейкобом Коревааром ( Korevaar (1986) ).

См. также

Ссылки

Аски, Ричард ; Гаспер, Джордж (1976), «Положительные полиномиальные суммы Якоби. II», American Journal of Mathematics , 98 (3): 709–737, doi : 10.2307/2373813 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373813 , MR 0430358
Баернштейн, Альберт; Драсин, Дэвид; Дюрен, Питер; и др., ред. (1986), Гипотеза Бибербаха , Математические обзоры и монографии, вып. 21, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. xvi+218, doi : 10.1090/surv/021 , ISBN 978-0-8218-1521-2 , МР 0875226
Бибербах, Л. (1916), «О коэффициентах тех степенных рядов, которые обеспечивают простое представление единичного круга», Отчет о сессиях. Пруссия. Академическая наука Физ-матем. Класс : 940–955
Конвей, Джон Б. (1995), Функции одной комплексной переменной II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94460-9
де Бранж, Луи (1985), «Доказательство гипотезы Бибербаха», Acta Mathematica , 154 (1): 137–152, doi : 10.1007/BF02392821 , MR 0772434
де Бранж, Луи (1987), «Основные концепции доказательства гипотезы Бибербаха», Труды Международного конгресса математиков, Vol. 1, 2 (Беркли, Калифорния, 1986) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 25–42, MR 0934213
Драсин, Дэвид; Дюрен, Питер; Марден, Альберт, ред. (1986), «Гипотеза Бибербаха», Материалы симпозиума по случаю доказательства гипотезы Бибербаха, проведенного в Университете Пердью, Вест-Лафайет, Индиана, 11–14 марта 1985 г. , Математические обзоры и монографии, том. 21, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xvi+218, doi : 10.1090/surv/021 , ISBN 0-8218-1521-0 , МР 0875226
Фекете, М.; Сегё, Г. (1933), «Замечание о нечетных простых функциях», J. London Soc. , с1-8 (2): 85–89, дои : 10.1112/jlms/s1-8.2.85
Фитцджеральд, Карл; Поммеренке, Кристиан (1985), «Теорема де Бранжа об однолистных функциях», Trans. амер. Математика. Соц. , 290 (2): 683, номер документа : 10.2307/2000306 , JSTOR 2000306.
Гарабедян, ПР; Шиффер, М. (1955). «Доказательство гипотезы Бибербаха для четвертого коэффициента». Журнал рациональной механики и анализа . 4 : 427–465. ISSN 1943-5282 . JSTOR 24900366 .
Голузина, Е.Г. (2001) [1994], «Гипотеза Бибербаха» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Гриншпан, Аркадий З. (1999), «Гипотеза Бибербаха и функционалы Милина», The American Mathematical Monthly , 106 (3): 203–214, doi : 10.2307/2589676 , JSTOR 2589676 , MR 1682341
Гриншпан, Аркадий З. (2002), «Логарифмическая геометрия, возведение в степень и границы коэффициентов в теории однолистных функций и непересекающихся областей», в Кунау, Райнер (ред.), Геометрическая теория функций , Справочник комплексного анализа, том. 1, Амстердам : Северная Голландия , стр. 273–332, doi : 10.1016/S1874-5709(02)80012-9 , ISBN. 0-444-82845-1 , МР 1966197 , Збл 1083.30017 .
Хейман, В.К. (1955), «Асимптотическое поведение p-валентных функций», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 5 (3): 257–284, doi : 10.1112/plms/s3-5.3.257 , MR 0071536
Хейман, В.К. (1994), «Теорема Де Бранжа», Многовалентные функции , Кембриджские трактаты по математике, том. 110 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN 0521460263
Кепф, Вольфрам (2007), гипотеза Бибербаха, функции де Бранжа и Вайнштейна и неравенство Аски-Гаспер
Кореваар, Джейкоб (1986), «Гипотеза Людвига Бибербаха и ее доказательство Луи де Бранжа» , The American Mathematical Monthly , 93 (7): 505–514, doi : 10.2307/2323021 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2323021 , MR 0856290
Литтлвуд, Дж. Э. (1925), «О неравенствах в теории функций», Proc. Лондонская математика. Соц. , с2-23: 481–519, doi : 10.1112/plms/s2-23.1.481
Литтлвуд, Дж. Э.; Пейли, EAC (1932), «Доказательство того, что нечетная функция Шлихта имеет ограниченные коэффициенты», J. London Math. Соц. , с1-7 (3): 167–169, doi : 10.1112/jlms/s1-7.3.167
Лёвнер, К. (1917), «Исследование искажений в конформных отображениях единичного круга /z/ <1, которые обеспечиваются функциями с ненулевыми производными», Бер. Брак Саксония Висс. Лейпциг , 69 : 89–106.
Лёвнер, К. (1923), «Исследования простых конформных отображений единичного круга. I», Math. , 89 : 103–121, doi : 10.1007/BF01448091 , hdl : 10338.dmlcz/125927 , JFM 49.0714.01
Милин, И.М. (1977), Однолистные функции и ортонормированные системы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR 0369684 (Перевод русского издания 1971 г.)
Неванлинна, Р. (1921), «О конформном картировании звездных областей», Офверс. Финская ветеринарная служба. Форх. , 53 : 1–21
Одзава, Мицуру (1 января 1969 г.). «О гипотезе Бибербаха для шестого коэффициента» . Математический журнал Кодай . 21 (1): 97–128. дои : 10.2996/кмдж/1138845834 .
Педерсон, Роджер Н. (декабрь 1968 г.). «Доказательство гипотезы Бибербаха для шестого коэффициента». Архив рациональной механики и анализа . 31 (5): 331–351. дои : 10.1007/BF00251415 .
Педерсон, Р.; Шиффер, М. (1972). «Доказательство гипотезы Бибербаха для пятого коэффициента». Архив рациональной механики и анализа . 45 (3): 161–193. дои : 10.1007/BF00281531 .
Робертсон, MS (1936), «Замечание о нечетных однолистных функциях» , Бюллетень Американского математического общества , 42 (6): 366–370, doi : 10.1090/S0002-9904-1936-06300-7
Зорн, П. (1986). «Гипотеза Бибербаха» (PDF) . Журнал «Математика» . 59 (3): 131–148. дои : 10.1080/0025570X.1986.11977236 . «Гипотеза Бибербаха Пола Цорна; Премия: Карл Б. Аллендорфер; Год премии: 1987» . Награды за писательство, Математическая ассоциация Америки (maa.org) .

Дальнейшее чтение

Лю, Сяосун; Лю, Тайшунь; Сюй, Цинхуа (2015). «Доказательство слабой версии гипотезы Бибербаха в нескольких комплексных переменных». Наука Китай Математика . 58 (12): 2531–2540. дои : 10.1007/s11425-015-5016-2 . S2CID 122080390 .