Пространство Де Бранжа

В математике пространство де Бранжа (иногда называемое пространством Де Бранжа ) представляет собой концепцию функционального анализа и строится на основе функции де Бранжа .

Концепция названа в честь Луи де Бранжа, который доказал многочисленные результаты, касающиеся этих пространств, особенно гильбертовых пространств , и использовал эти результаты для доказательства гипотезы Бибербаха .

Функции Де Бранжа

Функция Эрмита-Билера , также известная как функция де Бранжа, представляет собой целую функцию E из $\mathbb {C}$ к $\mathbb {C}$ которое удовлетворяет неравенству $|E(z)|>|E({\bar {z}})|$, для всех z в верхней половине комплексной плоскости $\mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}$.

Определение 1

Учитывая функцию Эрмита-Билера E , пространство де Бранжа B ( E ) определяется как набор всех целых функций F таких, что $$F/E,F^{\#}/E\in H_{2}(\mathbb {C} ^{+})$$где:

• $\mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}$ — открытая верхняя половина комплексной плоскости.
• $F^{\#}(z)={\overline {F({\bar {z}})}}$.
• $H_{2}(\mathbb {C} ^{+})$ — обычное пространство Харди на открытой верхней полуплоскости.

Определение 2

Пространство де Бранжа также можно определить как все целые функции F, удовлетворяющие всем следующим условиям:

• $\int _{\mathbb {R} }|(F/E)(\lambda )|^{2}d\lambda <\infty$
• $|(F/E)(z)|,|(F^{\#}/E)(z)|\leq C_{F}(\operatorname {Im} (z))^{(-1/2)},\forall z\in \mathbb {C} ^{+}$

Определение 3

Существует также аксиоматическое описание, полезное в теории операторов.

Как пространства Гильберта

Дано пространство де Бранжа B ( E ) . Определите скалярное произведение: $$[F,G]={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\overline {F(\lambda )}}G(\lambda ){\frac {d\lambda }{|E(\lambda )|^{2}}}.$$

Можно доказать, что пространство де Бранжа с таким скалярным произведением является гильбертовым пространством .

Ссылки

• Кристиан Ремлинг (2003). «Обратная спектральная теория для одномерных операторов Шрёдингера: функция A». Математика. З. ​ 245 : 597–617. дои : 10.1007/s00209-003-0559-2 .