Проблема представления на конечной решетке
В математике , проблема представления конечной решетки или проблема конечной конгруэнтной решетки , спрашивает, каждая конечная решетка ли изоморфна конгруэнтной решетке некоторой конечной алгебры .
Предыстория [ править ]
Решетка , называется алгебраической если она полна и компактно порождена . В 1963 году Гретцер и Шмидт доказали, что каждая алгебраическая решетка изоморфна конгруэнц- решетке некоторой алгебры . [1] Таким образом, ограничений на форму конгруэнц-решетки алгебры практически нет. Проблема представления на конечной решетке спрашивает, верно ли то же самое для конечных решеток и конечных алгебр. То есть, каждая ли конечная решетка является конгруэнц-решеткой конечной алгебры?
В 1980 году Палфи и Пудлак доказали, что эта проблема эквивалентна проблеме определения того, встречается ли каждая конечная решетка как интервал в решетке подгрупп конечной группы . [2] Обзор теоретико-группового подхода к проблеме см. в Pálfy (1993). [3] и Палфи (2001). [4]
Эту проблему не следует путать с проблемой решетки конгруэнций .
Значение [ править ]
Это одна из старейших нерешенных проблем универсальной алгебры . [5] [6] [7] Пока не будет дан ответ, теория конечных алгебр будет неполной, поскольку для данной конечной алгебры неизвестно, существуют ли априори какие-либо ограничения на форму ее решетки конгруэнций.
Ссылки [ править ]
- ^ Г. Гретцер и ET Шмидт, Характеризации конгруэнц-решеток абстрактных алгебр , Acta Sci. Математика. (Сегед) 24 (1963), 34–59.
- ^ Палфи и Пудлак. Решетки конгруэнций конечных алгебр и интервалов в решетках подгрупп конечных групп. Алгебра Универсалис 11(1), 22–27 (1980). DOI
- ^ Петер Пал Палфи. Интервалы в решетках подгрупп конечных групп. В группах '93 Голуэй/Сент. Эндрюс, Том. 2, том 212 журнала London Math. Соц. Серия лекций, стр. 482–494. Кембриджский университет. Пресс, Кембридж, 1995.
- ^ Петер Пал Палфи. Группы и решетки. В группах Сент-Эндрюс 2001 г. в Оксфорде. Том. II, том 305 журнала London Math. Соц. Серия лекций, страницы 428–454, Кембридж, 2003. Cambridge Univ. Нажимать.
- ^ Джоэл Берман. Решетки конгруэнций конечных универсальных алгебр. Докторская диссертация, Вашингтонский университет, 1970 г. ПроКвест 302550051 .
- ^ Бьярни Йонссон. Темы универсальной алгебры . Конспекты лекций по математике, Vol. 250. Шпрингер Верлаг, Берлин, 1972.
- ^ Ральф Маккензи. Конечные запрещенные решетки. В: Универсальная алгебра и теория решеток.(Пуэбла, 1982), Конспекты лекций по математике, том. 1004, стр. 176–205. Шпрингер, Берлин(1983). DOI
Дальнейшее чтение [ править ]
- ДеМео, Уильям Дж (2012). «Решетки конгруэнций конечных алгебр». arXiv : 1204.4305 [ мат.GR ].
- Даулинг, Т. А. (февраль 1973 г.). «Класс геометрических решеток, основанный на конечных группах» . Журнал комбинаторной теории, серия B. 14 (1): 61–86. дои : 10.1016/S0095-8956(73)80007-3 .
{{cite journal}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )