Привет, функция

В математике локальная функция Гойна $H\ell (a,q;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z)$ ( Карл Л. В. Хойн   1889 ) является решением дифференциального уравнения Хойна , которое голоморфно и имеет единицу в особой точке z = 0. Локальная функция Хойна называется функцией Хойна и обозначается Hf , если она также регулярна при z = 1, и называется полиномом Хойна , обозначаемым Hp , если он регулярен во всех трех конечных особых точках z = 0, 1, a .

Уравнение Хойна

Уравнение Хойна представляет собой линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка вида

${\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0.$

Состояние $\epsilon =\alpha +\beta -\gamma -\delta +1$ берется так, чтобы характеристические показатели регулярной особенности на бесконечности были α и β (см. ниже).

Комплексное число q называется акцессорным параметром . Уравнение Хойна имеет четыре регулярные особые точки : 0, 1, a и ∞ с показателями (0, 1 — γ), (0, 1 — δ), (0, 1 — ϵ) и (α, β). Каждое линейное ОДУ второго порядка на расширенной комплексной плоскости с не более чем четырьмя регулярными особыми точками, такое как уравнение Ламе или гипергеометрическое дифференциальное уравнение , может быть преобразовано в это уравнение путем замены переменной.

Слияние различных регулярных особенностей уравнения Гойна в нерегулярные особенности приводит к появлению нескольких сливающихся форм уравнения, как показано в таблице ниже.

Формы уравнения Хойна

Форма	Особенности	Уравнение
Общий	0, 1, а , ∞	${\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0$
сливающийся	0, 1, ∞ (нерегулярный, ранг 1)	${\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+\epsilon \right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z(z-1)}}w=0$
Двойное слияние	0 (нерегулярный, ранг 1), ∞ (нерегулярный, ранг 1)	${\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\delta }{z^{2}}}+{\frac {\gamma }{z}}+1\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z^{2}}}w=0$
Двуконфлюэнтный	0, ∞ (нерегулярный, ранг 2)	${\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}-\left[{\frac {\gamma }{z}}+\delta +z\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z}}w=0$
трехконечный	∞ (нерегулярный, ранг 3)	${\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(\gamma +z\right)z{\frac {dw}{dz}}+\left(\alpha z-q\right)w=0$

q-аналоговый

Q -аналог уравнения Хойна был открыт Ханом ( 1971 ) и изучен Такемурой (2017) .

Симметрии

Уравнение Хойна имеет группу симметрий порядка 192, изоморфную группе Кокстера диаграммы Кокстера D ₄ , аналогичную 24 симметриям гипергеометрических дифференциальных уравнений, полученных Куммером.Симметрии, фиксирующие локальную функцию Хойна, образуют группу порядка 24, изоморфную симметрической группе в 4 точках, поэтому существует 192/24 = 8 = 2 × 4 существенно различных решений, данных действием на локальную функцию Хойна этими симметриями, которые дать решения для каждого из двух показателей степени для каждой из четырех особых точек. Полный список 192 симметрий был предоставлен Майером (2007) с помощью машинного расчета. Несколько предыдущих попыток различных авторов перечислить их вручную содержали множество ошибок и упущений; например, большинство из 48 локальных решений, перечисленных Хойном, содержат серьезные ошибки.

См. также

• Полиномы Гейне–Стилтьеса , обобщение полиномов Хойна.

Ссылки

• А. Эрдели, Ф. Оберхеттингер, В. Магнус и Ф. Трикоми. Высшие трансцендентные функции, том. 3 (МакГроу Хилл, Нью-Йорк, 1953).
• Форсайт, Эндрю Рассел (1959) [1906], Теория дифференциальных уравнений. 4. Обыкновенные линейные уравнения , Нью-Йорк: Dover Publications , с. 158, МР   0123757
• Хойн, Карл (1889), «К теории функций Римана второго порядка с четырьмя точками ветвления» , Mathematical Annals , 33 (2): 161, doi : 10.1007/bf01443849 , S2CID   120008459
• Майер, Роберт С. (2007), «192 решения уравнения Гойна», Mathematics of Computation , 76 (258): 811–843, arXiv : math/0408317 , Bibcode : 2007MaCom..76..811M , doi : 10.1090/С0025-5718-06-01939-9 , МР   2291838 , С2КИД   749861
• Ронво, А., изд. (1995), Дифференциальные уравнения Хойна , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-859695-0 , МР   1392976
• Слиман, Б.Д.; Кузнецов, В.Б. (2010), «Функции Гойна» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Валент, Гальяно (2007), «Функции Гойна и эллиптические функции», Разностные уравнения, специальные функции и ортогональные полиномы , World Sci. Publ., Хакенсак, Нью-Джерси, стр. 664–686, arXiv : math-ph/0512006 , doi : 10.1142/9789812770752_0057 , ISBN.  978-981-270-643-0 , МР   2451210 , S2CID   8520520
• Хан В. (1971) О линейных геометрическо-разностных уравнениях с акцессорными параметрами. Функц. Эквац., 14, 73–78.
• Такемура, К. (2017), «Вырождения оператора Рейсенарса – Ван Дижена и уравнения q-Пенлеве», Journal of Integrable Systems , 2 (1), arXiv : 1608.07265 , doi : 10.1093/integr/xyx008 .