Квазистационарное распределение

По вероятности квазистационарное распределение — это случайный процесс , допускающий одно или несколько поглощающих состояний , достигаемых почти наверняка , но первоначально распределенный так, что может долго развиваться, не достигая его. Самый распространенный пример — эволюция популяции: единственное равновесие — это когда никого не осталось, но если мы смоделируем количество людей, оно, скорее всего, останется стабильным в течение длительного периода времени, прежде чем в конечном итоге рухнет.

Формальное определение

Рассмотрим марковский процесс $(Y_{t})_{t\geq 0}$ принимая значения в ${\mathcal {X}}$. Существует измеримое множество ${\mathcal {X}}^{\mathrm {tr} }$поглощающих государств и ${\mathcal {X}}^{a}={\mathcal {X}}\setminus {\mathcal {X}}^{\operatorname {tr} }$. Обозначим через $T$ время удара ${\mathcal {X}}^{\operatorname {tr} }$, также называемое временем убийства. Обозначим через $\{\operatorname {P} _{x}\mid x\in {\mathcal {X}}\}$ семейство распределений, где $\operatorname {P} _{x}$ имеет оригинальное состояние $Y_{0}=x\in {\mathcal {X}}$. Мы предполагаем, что ${\mathcal {X}}^{\operatorname {tr} }$ почти наверняка достигается, т.е. $\forall x\in {\mathcal {X}},\operatorname {P} _{x}(T<\infty )=1$.

Общее определение это: вероятностная мера $\nu$ на ${\mathcal {X}}^{a}$ называется квазистационарным распределением (КСР), если для любого измеримого множества $B$ содержится в ${\mathcal {X}}^{a}$, $$\forall t\geq 0,\operatorname {P} _{\nu }(Y_{t}\in B\mid T>t)=\nu (B)$$где $\operatorname {P} _{\nu }=\int _{{\mathcal {X}}^{a}}\operatorname {P} _{x}\,\mathrm {d} \nu (x)$.

В частности $\forall B\in {\mathcal {B}}({\mathcal {X}}^{a}),\forall t\geq 0,\operatorname {P} _{\nu }(Y_{t}\in B,T>t)=\nu (B)\operatorname {P} _{\nu }(T>t).$

Общие результаты

Время убийства

Из приведенных выше предположений мы знаем, что время убийства конечно с вероятностью 1. Более сильный результат, чем мы можем получить, состоит в том, что время убийства распределено экспоненциально: если $\nu$ является QSD, то существует $\theta (\nu )>0$ такой, что $\forall t\in \mathbf {N} ,\operatorname {P} _{\nu }(T>t)=\exp(-\theta (\nu )\times t)$.

Более того, для любого $\vartheta <\theta (\nu )$ мы получаем $\operatorname {E} _{\nu }(e^{\vartheta t})<\infty$.

Существование квазистационарного распределения

В большинстве случаев задают вопрос: существует ли QSD в данной структуре. Из предыдущих результатов мы можем вывести условие, необходимое для этого существования.

Позволять $\theta _{x}^{*}:=\sup\{\theta \mid \operatorname {E} _{x}(e^{\theta T})<\infty \}$. Необходимым условием существования QSD является $\exists x\in {\mathcal {X}}^{a},\theta _{x}^{*}>0$ и мы имеем равенство $\theta _{x}^{*}=\liminf _{t\to \infty }-{\frac {1}{t}}\log(\operatorname {P} _{x}(T>t)).$

Более того, из предыдущего пункта, если $\nu$ тогда это QSD $\operatorname {E} _{\nu }\left(e^{\theta (\nu )T}\right)=\infty$. Как следствие, если $\vartheta >0$ удовлетворяет $\sup _{x\in {\mathcal {X}}^{a}}\{\operatorname {E} _{x}(e^{\vartheta T})\}<\infty$ тогда не может быть QSD $\nu$ такой, что $\vartheta =\theta (\nu )$ потому что в противном случае это привело бы к противоречию $\infty =\operatorname {E} _{\nu }\left(e^{\theta (\nu )T}\right)\leq \sup _{x\in {\mathcal {X}}^{a}}\{\operatorname {E} _{x}(e^{\theta (\nu )T})\}<\infty$.

Достаточное условие существования КСР дается с учетом переходной полугруппы $(P_{t},t\geq 0)$ процесса перед убийством. Тогда в условиях, ${\mathcal {X}}^{a}$ является компактным хаусдорфовым пространством и что $P_{1}$ сохраняет множество непрерывных функций, т.е. $P_{1}({\mathcal {C}}({\mathcal {X}}^{a}))\subseteq {\mathcal {C}}({\mathcal {X}}^{a})$, существует QSD.

История

Работы Райта о частоте генов 1931 г. и Яглома о ветвящихся процессах в 1947 г. уже заложена идея таких дистрибутивов. Термин «квазистационарность», примененный к биологическим системам, был затем использован Бартлеттом в 1957 году. который позже придумал «квазистационарное распределение».

Квазистационарные распределения также были частью классификации убитых процессов, данной Вер-Джонсом в 1962 году. а их определение для цепей Маркова с конечным состоянием было сделано в 1965 году Дэррохом и Сенетой.

Примеры

Квазистационарные распределения можно использовать для моделирования следующих процессов:

• Эволюция популяции по численности людей: единственное равновесие — когда никого не осталось.
• Эволюция заразной болезни в популяции по числу заболевших: единственное равновесие – это исчезновение болезни.
• Передача гена: в случае нескольких конкурирующих аллелей мы измеряем количество людей, у которых есть один, и состояние поглощения — это когда у всех один и тот же ген.
• Модель избирателя : где каждый влияет на небольшую группу соседей и мнения распространяются, мы изучаем, сколько людей голосуют за конкретную партию, и равновесие достигается только тогда, когда в партии нет избирателей или за нее голосует все население.