Теорема сравнения Зеемана

В гомологической алгебре теорема сравнения Зеемана , введенная Кристофером Зееманом , дает условия, при которых морфизм спектральных последовательностей является изоморфизмом.

Заявление

Теорема сравнения — Пусть $E_{p,q}^{r},{}^{\prime }E_{p,q}^{r}$ — спектральные последовательности первого квадранта плоских модулей над коммутативным кольцом и $f:E^{r}\to {}^{\prime }E^{r}$ морфизм между ними. Тогда любые два из следующих утверждений влекут за собой третье:

1. $f:E_{2}^{p,0}\to {}^{\prime }E_{2}^{p,0}$ является изоморфизмом для каждого p .
2. $f:E_{2}^{0,q}\to {}^{\prime }E_{2}^{0,q}$ является изоморфизмом для любого q .
3. $f:E_{\infty }^{p,q}\to {}^{\prime }E_{\infty }^{p,q}$ является изоморфизмом для каждого p , q .

Показательный пример

В качестве иллюстрации мы набросаем доказательство теоремы Бореля , согласно которой кольцо когомологий классифицирующего пространства является кольцом полиномов.

Прежде всего, если G является группой Ли и $\mathbb {Q}$ в качестве кольца коэффициентов мы имеем спектральную последовательность Серра $E_{2}^{p,q}$ для расслоения $G\to EG\to BG$. У нас есть: $E_{\infty }\simeq \mathbb {Q}$ поскольку EG сжимаема. У нас также есть теорема Хопфа, утверждающая, что $H^{*}(G;\mathbb {Q} )\simeq \Lambda (u_{1},\dots ,u_{n})$, внешняя алгебра, порожденная конечным числом однородных элементов.

Далее мы позволяем $E(i)$ — спектральная последовательность, вторая страница которой $E(i)_{2}=\Lambda (x_{i})\otimes \mathbb {Q} [y_{i}]$ и чьи нетривиальные дифференциалы на r -й странице имеют вид $d(x_{i})=y_{i}$ и градуированное правило Лейбница. Позволять ${}^{\prime }E_{r}=\otimes _{i}E_{r}(i)$. Поскольку когомологии коммутируют с тензорными произведениями, когда мы работаем над полем, ${}^{\prime }E_{r}$ снова является спектральной последовательностью такой, что ${}^{\prime }E_{\infty }\simeq \mathbb {Q} \otimes \dots \otimes \mathbb {Q} \simeq \mathbb {Q}$. Тогда мы позволяем

$f:{}^{\prime }E_{r}\to E_{r},\,x_{i}\mapsto u_{i}.$

Обратите внимание, что по определению f задает изоморфизм ${}^{\prime }E_{r}^{0,q}\simeq E_{r}^{0,q}=H^{q}(G;\mathbb {Q} ).$ Решающим моментом является то, что f является « кольцевым гомоморфизмом »; это зависит от технических условий, которые $u_{i}$ являются «трансгрессивными» (подробное обсуждение этого вопроса см. у Хэтчера). После рассмотрения этого технического момента мы заключаем: $E_{2}^{p,0}\simeq {}^{\prime }E_{2}^{p,0}$ как кольцо по теореме сравнения; то есть, $E_{2}^{p,0}=H^{p}(BG;\mathbb {Q} )\simeq \mathbb {Q} [y_{1},\dots ,y_{n}].$

Библиография

• Макклири, Джон (2001), Руководство пользователя по спектральным последовательностям , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 58 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-56759-6 , МР   1793722
• Ройтберг, Джозеф; Хилтон, Питер (1976), «О теореме сравнения Зеемана для гомологии квазинильпотентных расслоений» (PDF) , The Quarterly Journal of Mathematics , Second Series, 27 (108): 433–444, doi : 10.1093/qmath/ 27.4.433 , ISSN   0033-5606 , МР   0431151
• Зееман, Эрик Кристофер (1957), «Доказательство теоремы сравнения спектральных последовательностей», Proc. Кембриджская философия. Соц. , 53 : 57–62, doi : 10.1017/S0305004100031984 , MR   0084769