Полиномы Мейкснера – Поллачека

Не путать с полиномами Мейкснера .

В математике полиномы Мейкснера – Поллачека представляют собой семейство ортогональных полиномов P ^(л)
_n ( x ,φ ), введенные Мейкснером ( 1934 ), которые с точностью до элементарных замен переменных совпадают с полиномами Поллачека P ^л
_n ( x , a , b ) переоткрыт Поллачеком ( 1949 ) в случае λ=1/2 и позднее им обобщен.

Они определяются

$P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )={\frac {(2\lambda )_{n}}{n!}}e^{in\phi }{}_{2}F_{1}\left({\begin{array}{c}-n,~\lambda +ix\\2\lambda \end{array}};1-e^{-2i\phi }\right)$

$P_{n}^{\lambda }(\cos \phi ;a,b)={\frac {(2\lambda )_{n}}{n!}}e^{in\phi }{}_{2}F_{1}\left({\begin{array}{c}-n,~\lambda +i(a\cos \phi +b)/\sin \phi \\2\lambda \end{array}};1-e^{-2i\phi }\right)$

Примеры

Первые несколько полиномов Мейкснера – Поллачека имеют вид

$P_{0}^{(\lambda )}(x;\phi )=1$

$P_{1}^{(\lambda )}(x;\phi )=2(\lambda \cos \phi +x\sin \phi )$

$P_{2}^{(\lambda )}(x;\phi )=x^{2}+\lambda ^{2}+(\lambda ^{2}+\lambda -x^{2})\cos(2\phi )+(1+2\lambda )x\sin(2\phi ).$

Характеристики

Ортогональность

Полиномы Мейкснера–Полачека P _m ^(л) ( x ;φ) ортогональны на действительной прямой относительно весовой функции

$w(x;\lambda ,\phi )=|\Gamma (\lambda +ix)|^{2}e^{(2\phi -\pi )x}$

а отношение ортогональности определяется выражением

$\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )P_{m}^{(\lambda )}(x;\phi )w(x;\lambda ,\phi )dx={\frac {2\pi \Gamma (n+2\lambda )}{(2\sin \phi )^{2\lambda }n!}}\delta _{mn},\quad \lambda >0,\quad 0<\phi <\pi .$

Рекуррентное отношение

Последовательность полиномов Мейкснера – Поллачека удовлетворяет рекуррентному соотношению

$(n+1)P_{n+1}^{(\lambda )}(x;\phi )=2{\bigl (}x\sin \phi +(n+\lambda )\cos \phi {\bigr )}P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )-(n+2\lambda -1)P_{n-1}(x;\phi ).$

Формула Родригеса

Полиномы Мейкснера – Поллачека задаются формулой типа Родригеса

$P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )={\frac {(-1)^{n}}{n!\,w(x;\lambda ,\phi )}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}w\left(x;\lambda +{\tfrac {1}{2}}n,\phi \right),$

где w ( x ;λ,φ) — весовая функция, указанная выше.

Генерирующая функция

Полиномы Мейкснера – Поллачека имеют производящую функцию

$\sum _{n=0}^{\infty }t^{n}P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )=(1-e^{i\phi }t)^{-\lambda +ix}(1-e^{-i\phi }t)^{-\lambda -ix}.$

См. также

• Просеянные полиномы Поллачека

Ссылки

• Кукук, Рулоф; Лески, Питер А.; Свартау, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные полиномы и их q-аналоги , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN  978-3-642-05013-8 , МР   2656096
• Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Полиномы Поллачека» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Мейкснер, Дж. (1934), «Ортогональные полиномиальные системы с особой формой производящей функции», J. London Math. , с1-9 : 6–13, doi : 10.1112/jlms/s1-9.1.6
• Поллачек, Феликс (1949), «Об обобщении полиномов Лежандра» , Les Comptes de l'Académie des Sciences , 228 : 1363–1365, MR   0030037