Статистика фотонов

Статистика фотонов - это теоретическое и экспериментальное исследование статистических распределений, полученных в экспериментах по подсчету фотонов , в которых фотодетекторы используются для анализа внутренней статистической природы фотонов в источнике света. В этих экспериментах свет, падающий на фотодетектор, генерирует фотоэлектроны , а счетчик регистрирует электрические импульсы, генерируя статистическое распределение количества фотонов. Разные источники света низкой интенсивности можно отличить по соответствующим статистическим распределениям, полученным в процессе обнаружения.

В зависимости от свойств источника света можно получить три режима статистических распределений: пуассоновский , суперпуассоновский и субпуассоновский. ^{[ 1 ]} Режимы определяются соотношением между дисперсией и средним числом отсчетов фотонов для соответствующего распределения. И пуассоновский, и суперпуассоновский свет можно описать с помощью полуклассической теории, в которой источник света моделируется как электромагнитная волна, а атом моделируется в соответствии с квантовой механикой. Напротив, субпуассоновский свет требует квантования электромагнитного поля для правильного описания и, таким образом, является прямой мерой корпускулярной природы света.

Пуассоновский свет

В классической теории электромагнетизма идеальный источник света с постоянной интенсивностью можно смоделировать пространственно и временно когерентной электромагнитной волной одной частоты. Такой источник света можно смоделировать следующим образом: ^{[ 1 ]}

E(x,t)=E_{0}\sin(kx-\omega t+\phi )

где $\omega$ - частота поля и $\phi$ представляет собой независимый от времени фазовый сдвиг.

Аналогом в квантовой механике является когерентное состояние. ^{[ 1 ]}

|\alpha \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\alpha }^{n}}{\sqrt {n!}}}e^{\frac {{-\left\vert {\alpha }\right\vert }^{2}}{2}}|n\rangle

Проецируя когерентное состояние на состояние Фока $|n\rangle$ , мы можем найти вероятность $P_{n}$ найти $n$ фотонов, используя правило Борна , которое дает

P_{n}={\frac {{\left\vert \alpha \right\vert }^{2n}}{n!}}e^{{-\left\vert \alpha \right\vert }^{2}}={\frac {{\langle n\rangle }^{n}}{n!}}e^{-\langle n\rangle }

Приведенный выше результат представляет собой распределение Пуассона с ${\Delta n}^{2}=\langle n\rangle$ что является отличительной чертой когерентного состояния.

Суперпуассоновский свет

Свет, подчиняющийся суперпуассоновской статистике, демонстрирует статистическое распределение с дисперсией. ${\Delta n}^{2}>\langle n\rangle$ . Примером света, демонстрирующего суперпуассоновскую статистику, является тепловой свет . Интенсивность теплового света колеблется случайным образом, и эти колебания приводят к суперпуассоновской статистике, как показано ниже путем расчета распределения флуктуаций интенсивности. ^{[ 2 ]} Использование распределения интенсивности вместе с формулой Манделя ^{[ 3 ]} которая описывает вероятность количества фотонов, зарегистрированных фотодетектором, можно получить статистическое распределение фотонов в тепловом свете.

Тепловой свет можно смоделировать как совокупность $N$ гармонические осцилляторы. Предположим, $j$ -й генератор излучает электромагнитное поле $E_{j}(t)=E_{0}e^{-i\omega t}e^{i\phi _{j}(t)}$ с фазой $\phi _{j}(t)$ . Используя теорию суперпозиции полей, полное поле, создаваемое $N$ осцилляторы

E(t)=\sum _{j=1}^{N}E_{j}(t)=\sum _{j=1}^{N}E_{0}e^{-i\omega t}e^{i\phi _{j}(t)}

После выдергивания всех переменных, не зависящих от индекса суммирования $j$ , случайная комплексная амплитуда может быть определена как

\beta (t)=\sum _{j=1}^{N}e^{i\phi _{j}(t)}=b(t)e^{i\Phi (t)}

где $\beta (t)$ был переписан с точки зрения его величины $b(t)=\left\vert \beta \right\vert$ и его фаза $e^{i\Phi (t)}$ . Поскольку осцилляторы некоррелированы, фаза наложенного поля будет случайной. Следовательно, комплексная амплитуда $\beta (t)$ является стохастической переменной. Он представляет собой сумму некоррелированных фаз осцилляторов, моделирующих флуктуации интенсивности теплового света. На комплексной плоскости он представляет собой двумерного случайного блуждающего существа с $N$ представляющие предпринятые шаги. Для больших $N$ случайный ходок имеет распределение вероятностей по Гауссу . Таким образом, совместное распределение вероятностей действительной и мнимой частей комплексной случайной величины $\beta (t)$ может быть представлено как,

p(\beta (t))=\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{\frac {-{Re(\beta (t))}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{\frac {-{Im(\beta (t))}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]

={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{\frac {-\left({Re(\beta (t))}^{2}+{Im(\beta (t))}^{2}\right)}{2\sigma ^{2}}}={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{2\sigma ^{2}}}

После $N$ шагов, математическое ожидание квадрата радиуса равно $\langle {\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}\rangle =2\sigma ^{2}=N$ . Ожидаемое значение $\langle \left\vert \beta (t)\right\vert \rangle =0$ что можно рассматривать как равновероятные все направления. Переписав распределение вероятностей в терминах $N$ приводит к

p(\beta (t))={\frac {1}{\pi N}}e^{\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{N}}

Используя приведенное выше распределение вероятностей, мы теперь можем найти среднюю напряженность поля (здесь для ясности опущено несколько констант).

\langle I(t)\rangle =\langle E^{*}(t)E(t)\rangle

={E_{0}}^{2}{\langle \left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}\rangle =N{E_{0}}^{2}

Мгновенная напряженность поля $I(t)$ дается

I(t)=E^{*}(t)E(t)=E_{0}^{2}{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}

Поскольку электрическое поле и, следовательно, интенсивность зависят от стохастической комплексной переменной $\beta (t)$ . Вероятность получения интенсивности между $I$ и $I+dI$ является

p(I(t))dI=p(I(\beta (t)))d^{2}\beta

где $d^{2}\beta$ — бесконечно малый элемент на комплексной плоскости. Этот бесконечно малый элемент можно переписать как

d^{2}\beta =2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert d\left\vert \beta (t)\right\vert

Вышеупомянутое распределение интенсивности теперь можно записать как

p(I(t))=p(\left\vert \beta (t)\right\vert )2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert {\left({\frac {dI}{d\left\vert \beta (t)\right\vert }}\right)}^{-1}

={\frac {1}{\pi N}}e^{\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{N}}2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert {\left(2E_{0}^{2}\left\vert \beta (t)\right\vert \right)}^{-1}

={\frac {1}{NE_{0}^{2}}}e^{\frac {-E_{0}^{2}{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{NE_{0}^{2}}}={\frac {1}{\langle I(t)\rangle }}e^{\frac {-I(t)}{\langle I(t)\rangle }}

Последнее выражение представляет распределение интенсивности теплового света. Последний шаг в демонстрации того, что тепловой свет удовлетворяет условию дисперсии для статистики суперпуассона, — это использование формулы Манделя. ^{[ 3 ]} Формула описывает вероятность наблюдения количества n фотонов и имеет вид

P(n)=\int _{0}^{\infty }{\frac {{\left(\epsilon I\right)}^{n}}{n!}}e^{-\epsilon I}P(I)dI

Фактор $\epsilon ={\frac {\eta }{h\nu }}$ где $\eta$ квантовая эффективность описывает эффективность счетчика фотонов. Идеальный детектор должен иметь $\eta =1$ . $I$ - интенсивность, падающая на область A фотодетектора, и определяется выражением ^{[ 4 ]}

Сравнение распределений Пуассона и Бозе-Эйнштейна. Распределение Пуассона характерно для когерентного света, а распределение Бозе-Эйнштейна характерно для теплового света. Оба распределения имеют одинаковое математическое ожидание $\langle n\rangle =6$ .

I=\iint \limits _{A}\int _{t}^{t+\tau }\,I(x,y,t')dt'\,dx\,dy

При замене P(I) на распределение вероятностей интенсивности теплового света формула Манделя принимает вид

P(n)=\int _{0}^{\infty }{\frac {{\left(\epsilon I\right)}^{n}}{n!}}e^{-\epsilon I}{\frac {e^{\frac {-I}{\langle I\rangle }}}{\langle I\rangle }}dI={\frac {{\epsilon }^{n}}{n!\langle I\rangle }}\int _{0}^{\infty }{I}^{n}e^{-\left(\epsilon +{\frac {1}{\langle I\rangle }}\right)I}dI

Используя следующую формулу для вычисления интеграла

$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}\quad \left(n=0,1,2,..a>0\right)$

Распределение вероятностей для количества n фотонов от источника теплового света равно

P(n)={\frac {1}{\left(\langle n\rangle +1\right)}}{\left({\frac {\langle n\rangle }{\langle n\rangle +1}}\right)}^{n}

где $\langle n\rangle =\epsilon I$ это среднее количество отсчетов. Это последнее распределение известно как распределение Бозе-Эйнштейна. Можно показать, что дисперсия распределения равна

{\Delta n}^{2}=\langle n\rangle +{\langle n\rangle }^{2}

В отличие от распределения Пуассона для когерентного источника света, распределение Бозе-Эйнштейна имеет ${\Delta n}^{2}>\langle n\rangle$ Характеристика теплового света.

Субпуассоновский свет

Свет, который управляется субпуассоновской статистикой, не может быть описан классической электромагнитной теорией и определяется формулой ${\Delta n}^{2}<\langle n\rangle$ . ^{[ 1 ]} Появление сверхбыстрых фотодетекторов позволило измерить субпуассоновскую природу света. Примером света, демонстрирующего субпуассоновскую статистику, является сжатый свет. Недавно исследователи показали, что субпуассоновский свет может быть индуцирован в квантовой точке, проявляющей резонансную флуоресценцию. ^{[ 5 ]} Метод, используемый для измерения субпуассоновской структуры света, представляет собой гомодинную схему корреляции интенсивности. ^{[ 6 ]} В этой схеме гетеродин и поле сигнала накладываются через светоделитель. Затем наложенный свет разделяется другим светоделителем, и каждый сигнал регистрируется отдельными фотодетекторами, подключенными к коррелятору, с помощью которого можно измерить корреляцию интенсивностей. Доказательства субпуассоновской природы света демонстрируются путем получения отрицательной корреляции интенсивности, как было показано в . ^{[ 5 ]}

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д М. Фокс, Квантовая оптика: Введение , Oxford University Press, Нью-Йорк, 2006 г.
^ И. Дойч, Курс квантовой оптики, осень 2015 г., http://info.phys.unm.edu/~ideutsch/Classes/Phys566F15/Lectures/Phys566_Lect02.pdf . Проверено 9 декабря 2015 г.
^ Jump up to: ^а ^б Мандель, Л. (1 сентября 1959 г.). «Флуктуации фотонных пучков: распределение фотоэлектронов». Труды Физического общества . 74 (3). Издательство ИОП: 233–243. дои : 10.1088/0370-1328/74/3/301 . ISSN 0370-1328 .
^ Дж. В. Гудман, Статистическая оптика , Уайли, Нью-Йорк, (1985) 238-256, 466-468.
^ Jump up to: ^а ^б Шульте, Карстен Х.Х.; Хэнсом, Джек; Джонс, Алекс Э.; Маттисен, Клеменс; Ле Галль, Клэр; Ататюре, Мете (31 августа 2015 г.). «Квадратура выжала фотоны из двухуровневой системы». Природа . 525 (7568). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 222–225. arXiv : 1506.06827 . дои : 10.1038/nature14868 . ISSN 0028-0836 .
^ Фогель, Вернер (1 мая 1995 г.). «Гомодинные корреляционные измерения со слабыми гетеродинами». Физический обзор А. 51 (5). Американское физическое общество (APS): 4160–4171. дои : 10.1103/physreva.51.4160 . ISSN 1050-2947 .

[Fox2006-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д М. Фокс, Квантовая оптика: Введение , Oxford University Press, Нью-Йорк, 2006 г.

[Deutsch-2] И. Дойч, Курс квантовой оптики, осень 2015 г., http://info.phys.unm.edu/~ideutsch/Classes/Phys566F15/Lectures/Phys566_Lect02.pdf . Проверено 9 декабря 2015 г.

[Mandel1959-3] Jump up to: ^а ^б Мандель, Л. (1 сентября 1959 г.). «Флуктуации фотонных пучков: распределение фотоэлектронов». Труды Физического общества . 74 (3). Издательство ИОП: 233–243. дои : 10.1088/0370-1328/74/3/301 . ISSN 0370-1328 .

[Good1985-4] Дж. В. Гудман, Статистическая оптика , Уайли, Нью-Йорк, (1985) 238-256, 466-468.

[Schulte2015-5] Jump up to: ^а ^б Шульте, Карстен Х.Х.; Хэнсом, Джек; Джонс, Алекс Э.; Маттисен, Клеменс; Ле Галль, Клэр; Ататюре, Мете (31 августа 2015 г.). «Квадратура выжала фотоны из двухуровневой системы». Природа . 525 (7568). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 222–225. arXiv : 1506.06827 . дои : 10.1038/nature14868 . ISSN 0028-0836 .

[Vogel1995-6] Фогель, Вернер (1 мая 1995 г.). «Гомодинные корреляционные измерения со слабыми гетеродинами». Физический обзор А. 51 (5). Американское физическое общество (APS): 4160–4171. дои : 10.1103/physreva.51.4160 . ISSN 1050-2947 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]